海南省定安縣定安中學2023-2024學年度高二年級上冊開學考試數(shù)學試題【解析版】

海南省定安縣定安中學2023-2024學年度高二上學期開學考試數(shù)學試

題【解析版】

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.集合4={1,2,3,4},B={3,4,5,6},則AB=()

A.{123,4,5,6}B.{3,4}C.{1,2,3,4,5}D.(2,3,4,5,6}

2-i

2.復數(shù)=在復平面內對應的點所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如圖，正六邊形ABCDE尸中，BA+CD+EF=（）

D.CF

4.已知向量4=(2,4),Z>=(-1,1),則2d+〃=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

5.已知向量”,人滿足|“|=1,出|=后,|a-26|=3,則”功=（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.在ABC中，角ARC的對邊分別為a,"c,a=S-j3,b=6,A=60°,則sin8=()

7.某市為了解高中教師對新冠肺炎防控知識的掌握情況，調研組采用分層抽樣的方法，從甲、乙、丙三

所不同的高中共抽取60名教師進行調查.已知甲、乙、丙三所高中分別有180名、270名、90名教師，則

從乙校中應抽取的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

8.從1,2,3,4這四個數(shù)中依次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率為（）.

A.-B.-C.-D.g

6392

二、多項選擇題（每題均有多個選項正確，每題5分，沒有選全對2分，選錯0分，共計20

分）

9.己知民/是三個不重合的平面，/是直線，給出的下列命題中，正確的命題有（）

A.若/上兩點到a的距離相等，則〃/a

B.若Ila,1邛,則C4

C.若a〃夕，lap,且〃/a,則〃0

D.若夕〃夕,a〃7,則#//?

10.下列關于復數(shù)Z=*的四個命題，其中為真命題的是（）

1-1

A.z的虛部為1B.z2=2i

C.z的共朝復數(shù)為-1+iD.|z|=2

11.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀大小完全相同的小球，從中任取2球，事件A=取出的兩球同

色，3=取出的2球中至少有一個黃球，C=取出的2球中至少有一個白球，取出兩個球不同色，E=

取出的2球中至多有一個白球.下列判斷中正確的是（）

A.事件A與。為對立事件B.事件5與C是互斥事件

C.事件C與E為對立事件D.事件P（C_E）=1

12.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本大,々，，斗的離散程度的是（）

A.樣本為,々，，x”的標準差B.樣本為,々，，x”的中位數(shù)

C.樣本內,々，的極差D.樣本內,々，，%的平均數(shù)

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（a-26）_Lb,則/=.

14.AABC的內角A&C的對邊分別為a也c.若AABC的面積為"一1）,則人=.

4

15.i是虛數(shù)單位，復數(shù)9+消2i=__________.

2+1

16.如圖，在長方體ABCD-AIBICIDI中，AB=BC=2,AAi=l,則ACi與平面AIBICQI所成角的正弦

值為.

四、解答題(第17題10分，第18,19,20,21,22題12分，共計70分)

=asinB；③asin8=Z?cos(4-看)這三個條件中

17.在①(sinB-sinC)~usin,A-sinBsinC；②「sin臺；。

任選一個，補充在下面問題中并作答.

問題：△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若?=b+c，—，求4和8.

注：若選擇多個條件作答，按第一個解答計分.

18.某中學舉行電腦知識競賽，先將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布

(2)高一參賽學生的平均成績;

(3)按分層抽樣的方法從［70,80),［80,90),［90,100］中抽取6名學生，再從這6人中，抽取2人，則求這兩人

都是在［70,80)的概率.

19.在四棱錐P-A8CD中，底面為矩形，平面ABCD,點E在線段PC上，PC_L平面BDE.

(1)證明：80/平面PAC；

(2)若E4=l,AD=2,求幾何體E-BCD的體積.

20.某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓練情況統(tǒng)計甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績在

13s內(稱為合格)的概率分別為2:，43,、1若對這三名短跑運動員的100跑的成績進行一次檢測，則求：

543

(I)三人都合格的概率；

(II)三人都不合格的概率；

(III)出現(xiàn)幾人合格的概率最大.

21.如圖所示，已知ABCD為梯形，AB〃CD,CD=2AB,M為線段PC上一點.

(1)設平面PABCI平面PDC=/,證明:AB〃/;

(2)在棱PC上是否存在點M,使得PA〃平面MBD,若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由.

22.第19屆亞運會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務工作是亞運會成功舉辦的重要保障.某高校

承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組［45,55),

第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知

第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(2)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為19%,請估算被錄取至少需要多少分.

1.B

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可.

［詳解］因為集合A={1,2,3,4},5={3,4,5,6},

所以A8={3,4}.

故選：B.

2.A

【分析】利用復數(shù)的除法可化簡制，從而可求對應的點的位置.

1-31

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i山2士后.，上斗.C1)

【詳解】----——-------=-----=——，所以該復數(shù)對應的1V點為|

l-3i10102122)

該點在第一象限，

故選：A.

3.D

【詳解】將,F平移到工j，/尸平移到乙:，，

BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF，

故選D.

本題主要考查平面向量的基本概念及線性運算

考點：向量的加法.

4.D

【解析】由4與。的坐標，通過線性運算即可求得.

【詳解】因為4=(2,4),故2。=(4,8),則：

2a+6=(3,9).

故選：D.

【點睛】本題考查向量的坐標運算，屬基礎題.

5.C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】解：???|"2w2=|4|24.萬+4時，

又|&|=1,|6|=百a-2b\=3,

；?9=1-4。?。+4x3=13-4〃?b，

??ah=\

故選：c.

6.D

【分析】利用正弦定理求得正確答案.

b8736

【詳解】由正弦定理得」一

sinAsinB'sin60°sinB

6xsin60°3G_3

sin3=

8出86一§

故選：D

7.C

【分析】利用分層抽樣的定義求解即可

【詳解】從乙校中應抽取的人數(shù)為180+；27；01+90-60=30.

故選：C.

8.B

【分析】從1，2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，可有種方法，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍

的只有1,2；2,4.兩種選法.利用古典概型的概率計算公式即可得出.

【詳解】從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，可有C：種方法，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍

的只有1,2；2,4.兩種選法.所以其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率為3=：.

63

故選B.

【點睛】本題考查了古典概型的概率計算，屬于基礎題.

9.BCD

【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關系逐項判斷即可得結論.

【詳解】a,夕是三個不重合的平面，/是直線.

對于A,若/上兩點到a的距離相等，則當兩點在平面的同側時，〃/a,

當兩點在平面的異側時，/與a相交，故A錯誤；

對于B,若〃啰，則存在直線4使得〃/加，又因為/_Le,所以加，a,又利u),所以故B

正確；

對于C,若a",SB，且〃/a,則由線面平行的判定定理得〃/，故C正確；

對于D,若a//p,a//y,則6///,故D正確.

故選：BCD.

10.AB

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，即可結合選項逐一求解.

【詳解】z=j==]+故虛部為1，共軌復數(shù)為1—i，1zUVi7喬=&,

1-1+1I

22

z=（l+i）=2i,故AB正確，CD錯誤,

故選：AB

11.AD

【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件的知識確定正確答案.

【詳解】設。是樣本空間，

A選項，由于Au"=Q,AcO=0,所以A與。是對立事件，A選項正確.

B選項，由于5cC=“取出的2球中，一個黃球一個白球”，

所以3與C不是互斥事件，B選項錯誤.

C選項，由于CcE="取出的2球中，恰好有1個白球”，

所以C與E不是對立事件，C選項錯誤.

D選項，由于CuE=C,所以P（。￡）=1,所以D選項正確.

故選：AD

12.AC

【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.

【詳解】由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

故選：AC.

13.

5

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為?！?（1,3）—2（3,4）=（1—32,3—4為，所以由可得，

a

3（l-3A）+4（3-42）=0,解得4=晟.

3

故答案為：-.

【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設。=（x，x）力=（%，必），

a_Lb=a力=0o不W+y%=0,注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分.

24

14.y（或120）

【解析】由已知結合余弦定理及三角形的面積公式進行化簡即可求解.

【詳解】解：由余弦定理可得"2-2-。2=-2/?CCOSA,

△ABC的面積為佻&二￡1=-BbccosA,

42

又因為S4ABe=[bcsinA=--feecosA.

22

所以tanA=-G，

由AG（0,兀）可得

27r

故答案為：y.

【點睛】本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡單應用，屬于基礎試題.

15.4-i

【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得結果.

9+2i（9+2i）（2-i）20-5i

【詳解】2+i-（2+i）（2-i）-5--1,

故答案為：4—i.

16.1

-

【詳解】解：因為長方體ABCO-ABCa中,AB=BC=2,4A=1,

則AC=V22+22+l2=3,

則作出AC,與平面AB￡R所成角NAGA,

結合直角三角形可知其正弦值為1.

3

B

17.選擇見解析；A=［,B==或二

31212

【分析】若選擇條件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A；

若選擇條件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin/的值，進而得出角A；

若選擇條件③，由正弦定理結合兩角和與差的正弦公式可求出tanA,進而得出角A.

再利用正弦定理化簡缶+/>=2c，把C=TI-(A+B)代入，化簡求值即可；

【詳解】解析：選擇條件①，由(sin8-sinC),=sin?A-sin8sinC及正值定理知(b-c)?=a2-be，

整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA="=區(qū)=:

2bc2bc2

VAG(O,7T),A=y；

由yfla=b+c得應sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B),

整理得sin(嗯［=4,

即V2sin—=sinB+sinI—+B

???8+巳蘭或/解得B書或錄

選擇條件②，因為A+3+C=7r,所以字==-?；

由Z?sinB+C=asinB得,bcos—=asinB

22

AAA

由正弦定理知，sin3cos—=sinAsinB=2sin—cos—sinB；

222

4A1

XsinB>0,cosy>0,可得sin]=]；

又因為Ae(O,兀)，所以，9=2故A=g；

263

由y[la=b+c得6sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B),

整理得［嗯卜等,

即&sin]=sin8+sin仁+3),sin

...匹唱,...5+X需),...崎弋吟,解得嶗瞪

選擇條件③，由“sin8=/?cos(Aq)及正弦定理得sinAsin8=sin8cos(A

*/sinB>0,sinA=cosIA--|=——cosA+—sinA解得tanA=5/3,

I6)22

,/.A=y；

由y/2a=Z?+cWV2sinA=sin5+sinC=sinB+sin(A+B),

即小嗚=5出8+5布K+可，整理得時8+e

2

吟）,?,?8+3信篇，，B+冷哼解得8弋唔

18.⑴眾數(shù)為65,中位數(shù)為65

(2)67

⑶一

15

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖確定眾數(shù)與中位數(shù)即可；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)即可；

（3）根據(jù)古典概型求解基本事件總數(shù)與所求事件總數(shù)即可得答案.

【詳解】（1）由題圖可知眾數(shù)為65,

因為[50,60）的頻率為0.03x10=0.3；[60,70）的頻率為0.04x10=0.4；

[70,80）的頻率為0.015x10=0.15；[80,90）的頻率為。01x10=0.1；

[90,100]的頻率為0.005x!0=0.05；

所以設中位數(shù)為60+x,則0.3+xx0.04=0.5,解得x=5,所以中位數(shù)為60+5=65；

（2）由（1）可得，平均成績?yōu)?5x0.3+65x0.4+75x0.15+85x0.1+95x0.05=67,

所以平均成績?yōu)?7；

（3）按分層抽樣的方法從[70,80）,[80,90）,[90,100]中抽取6名學生,則分別抽取了3人，2人，1人.

設這6人分別為AB,C,D,E,F.

再從其中抽取2人，這一共有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,總共15種情

況.

兩人都在[70,80）有CD一種情況，

則求這兩人都是在[7Q80）的概率為七.

19.（1）證明見解析

【分析】(1)先由線面垂直的性質證出必，BD與PC_L8。，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可;

(2)設AC與8。的交點為。，連接0E,利用力小=為<如?肛可求三棱錐E-88的體積.

【詳解】(1)證明：1ft4_L平面43CD,Qu面ABC3,

:.PA1BD.

「。，平面也汨，8E>u平面跳圮，

:.PCLBD.

又PA\PC=P,PAPCU平面PAC

平面PAC

(2)如圖，設AC與BO的交點為。，連接0E.

由(1)知，平面PAC,:.BDA.AC,

由題設條件知，四邊形ABC。為正方形.

由40=2，得4c=8。=2夜，0C=也.

在Rt/SPAC中，PC=-JPA'+AC2=J12+(2V2)2=3.

易知RtPAC^RtOEC,

.OECE_OCOECE^72rF_4

PAACPC12V2333

V..?=-5BD=--OECEBD=----2>j2=—.

…fl8r3cCmb03263327

20.(1),；(II)'；(III)1人.

2

【分析】記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A,B,C,顯然事件A,B,C相互獨立，則P(A)=-,

P(B)=j3,P(C)=g1,從而根據(jù)不同事件的概率求法求得各小題.

【詳解】記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件A,B,C,

231

顯然事件A,B,C相互獨立，貝1」尸(4)=),P(B)=：,P(C)=-

設恰有k人合格的概率為R(k=0,1,2,3).

2311

(I)三人都合格的概率：^=P(ABC)=P(A)P(B)-P(C)=-x-x-=—

______3121

(II)三人都不合格的概率：/?,=/>(ABC)=P(A)-P(B)P(C)=-x-xj=-.

(III)恰有兩人合格的概率：^=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+-x-x-+-x^x-=—.

54354354360

1231255

恰有一人合格的概率：q=a—A=i--------.

1°231060106012

因為5231

126010

所以出現(xiàn)1人合格的概率最大.

PM1

21.(1)見解析；(2)存在，—=-

MC2

【詳解】試題分析：(1)因為AB〃CD,根據(jù)線面平行的判定定理可得AB〃平面PCD,再根據(jù)線面平行的性