2024屆高考考前沖刺系列數(shù)學(xué)模擬試卷04（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）（含答案）

屆高考考前沖刺系列數(shù)學(xué)模擬試卷04（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知?是全集的兩個(gè)非空子集.若，則下列說(shuō)法可能正確的是（）A. B.C. D.2.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.3.已知直線和圓相交于A，B兩點(diǎn).若，則（）A.2 B. C.4 D.4.在倡導(dǎo)“節(jié)能環(huán)?！薄暗吞忌睢钡慕裉?，新能源逐漸被人們所接受，進(jìn)而青睞，新能源汽車作為新能源中的重要支柱產(chǎn)業(yè)之一取得了長(zhǎng)足的發(fā)展．為預(yù)測(cè)某省未來(lái)新能源汽車的保有量，采用阻滯型模型進(jìn)行估計(jì)．其中y為第t年底新能源汽車的保有量，r為年增長(zhǎng)率，M為飽和量，為初始值（單位：萬(wàn)輛）．若該省2021年底的新能源汽車擁有量為20萬(wàn)輛，以此作為初始值，若以后每年的增長(zhǎng)率為0.12，飽和量為1300萬(wàn)輛，那么2031年底該省新能源汽車的保有量為（精確到1萬(wàn)輛）（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.62萬(wàn) B.63萬(wàn) C.64萬(wàn) D.65萬(wàn)5.在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時(shí)，（）A. B. C. D.6.如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（）A.1 B. C.1或2 D.2或7.在無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，則“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件8.已知個(gè)大于2的實(shí)數(shù)，對(duì)任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（）A.14 B.16 C.21 D.23二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10.在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.對(duì)于任意的，都有B.對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C.若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D.若，則當(dāng)時(shí)，11.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，恒有，當(dāng)時(shí)（其中），.若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復(fù)數(shù)z滿足，則______13.已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是A，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則直線的斜率為．14.若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”，若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值為_(kāi)_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角正弦值．16．（本小題滿分15分）在中，．（1）求的大小；（2）若，再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求的面積．條件①：邊上中線的長(zhǎng)為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17．（本小題滿分15分）已知拋物線，是軸下方一點(diǎn)，為上不同兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)均在上.（1）若的中點(diǎn)為，證明：軸；（2）若在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.18．（本小題滿分17分）某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣某項(xiàng)指標(biāo)X值滿足12.2≤X≤21.8時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行X值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過(guò)疫苗小白鼠的總體，設(shè)．（1）求，；（2）小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過(guò)疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作為N的估計(jì)值）；（3）對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的X值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組n（n≤50）只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)n只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，n只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為n+9元．試給出n的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．附：若，則，．參考數(shù)據(jù)：，，，．19．（本小題滿分17分）對(duì)正整數(shù)，設(shè)數(shù)列.是行列的數(shù)陣，表示中第行第列的數(shù)，，且同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①每行恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同．記集合或中元素的個(gè)數(shù)為．（1）若，求的值；（2）若對(duì)任意中都恰有行滿足第列和第列的數(shù)均為1．①能否滿足？說(shuō)明理由；②證明：．2024屆高考考前沖刺系列數(shù)學(xué)模擬試卷04（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）參考答案一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.12345678DDDCBDBD二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.91011ACDACDABC三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12． 13．14． 三、解答題：本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程和解題步驟.15．（本小題滿分13分）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，利用空間向量求出線面角的正弦.【小問(wèn)1詳解】在四棱錐中，由，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，由（1）知直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以直線與平面所成角的正弦值為.16．（本小題滿分15分）【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理計(jì)算即可得；（2）選條件①或③：借助余弦定理與面積公式計(jì)算即可得；不可選條件②，不存在這樣的.【小問(wèn)1詳解】由，得，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又，所以；【小?wèn)2詳解】選條件①：邊上中線的長(zhǎng)為：設(shè)邊中點(diǎn)為，連接，則，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以的面積為，選條件③：：在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，的面積為．當(dāng)時(shí)，的面積為．不可選條件②，理由如下：若，故為鈍角，則，則，，即，其與為鈍角矛盾，故不存在這樣的.17．（本小題滿分15分）【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)題意求出的中點(diǎn)為的橫坐標(biāo)為，可證軸；（2）不妨設(shè)，則，將和表示為的函數(shù)，得，再換元，令，，得，根據(jù)在上為增函數(shù)，可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，，則的中點(diǎn)在拋物線上，所以，化簡(jiǎn)得，同理由的中點(diǎn)在拋物線上可得，因?yàn)?，所以是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，它與的橫坐標(biāo)相同，所以軸.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，則，由軸，得，因?yàn)樵谇€上運(yùn)動(dòng)，是軸下方一點(diǎn)，所以，且，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，又，所以，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）中，利用和求面積，將和表示為的函數(shù)，利用的范圍求面積的最大值是解題關(guān)鍵.18．（本小題滿分17分）【答案】（1）17，23（2）N的估計(jì)值為149或150（3）每只小白鼠平均檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式或者利用方差的性質(zhì)即可求解，（2）利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，利用單調(diào)性即可求解，或者列不等式求解的范圍即可求解，（3）利用二項(xiàng)式定理求解近似值，結(jié)合基本不等式即可求解.小問(wèn)1詳解】法1：記甲地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為，則，，，，所以．,法2：記甲地小白鼠樣本的X值為x1，x2，…，x120，平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本的X值為y1，y2，…，y90，平均數(shù)為，方差為．因?yàn)?，，，．所以．由，，可得．同理，于是．【小?wèn)2詳解】法1：因?yàn)?，所以．從注射過(guò)疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．記，則．由等價(jià)于N-101<0.32（N+1），當(dāng)且僅當(dāng)，知當(dāng)103≤N≤148時(shí)，α（N）<α（N+1）；當(dāng)N=149時(shí)，α（N）=α（N+1）；當(dāng)N>149時(shí)，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150時(shí)，α（N）最大，所以N的估計(jì)值為149或150．法2：因?yàn)?，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68．從注射過(guò)疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．若N=102，則．若N≥103，則化簡(jiǎn)得解得149≤N≤150．綜上，N的估計(jì)值為149或150．【小問(wèn)3詳解】記n只小白鼠檢測(cè)費(fèi)用為Y元，當(dāng)n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=n+9，當(dāng)n只小白鼠不都產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=11n+9，則P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=1-0.991n．因此．因?yàn)閚≤50，所以．故，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)取等號(hào)．于是每只小白鼠平均檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10．【點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）．19．（本小題滿分17分）【答案】（1）（2）①不滿足，理由見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）記，計(jì)算出、、即可得；（2）①由題意可得中滿足的的個(gè)數(shù)共有個(gè)，亦可得其為個(gè)，當(dāng)時(shí)，可得，此方程無(wú)解，故不滿足；②滿足，但的的個(gè)數(shù)為，亦可得其為，即有，借助該等式表示出后放縮即可得.【小問(wèn)1詳解】記，則，，，故；【