彈性力學(xué)中的五個(gè)基本假定

如何由這些已知量求出未知量，彈性力學(xué)的研究方法是：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件。即在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束與位移的關(guān)系，建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問(wèn)題，即在邊界條件下從平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。對(duì)任何學(xué)科進(jìn)行研究時(shí)，總不可能將所有的影響因素都考慮在內(nèi)，否則該問(wèn)題將會(huì)變成非常復(fù)雜而無(wú)法求解。因此，在任何學(xué)科中總是首先對(duì)各種影響因素進(jìn)行分析，既必須考慮那些主要的影響因素，又必須略去那些影響很小的因素。然后抽象地概括出這些主要因素，建立一個(gè)所謂的“物理模型”，并對(duì)該模型進(jìn)行研究。當(dāng)然，研究的結(jié)果將可以用于任何符合該物理模型的實(shí)際物體。在彈性力學(xué)問(wèn)題中，通過(guò)對(duì)主要影響因素的分析，歸結(jié)為以下的幾個(gè)彈性力學(xué)基本假定。首先，是對(duì)物體的材料性質(zhì)作如下的四個(gè)基本假定：一連續(xù)性假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙，這樣物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、形變、位移等才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示它們的變化規(guī)律。實(shí)際上一切物體都是由微粒組成的，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)都不符合上述假定。但是可以想見(jiàn)，只要微粒的尺寸以及相鄰微粒之間的距離都比物體的尺寸小很多，那么關(guān)于物體連續(xù)性的假定就不會(huì)引起顯著的誤差。二完全彈性假定物體是完全彈性的。所謂完全彈性，指的是“物體在引起形變的外力被除去以后，能完全恢復(fù)原形而沒(méi)有任何剩余形變”。這樣的物體在任一瞬時(shí)的形變就完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過(guò)去的受力情況無(wú)關(guān)。由材料力學(xué)已知：塑性材料的物體，在應(yīng)力未達(dá)到屈服極限以前，是近似的完全彈性體；脆性材料的物體，在應(yīng)力未超過(guò)比例極限以前，也是近似的完全彈性體。在一般的彈性力學(xué)中，完全彈性的這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的。因此，這種線性的完全彈性體中應(yīng)力和形變之間服從胡克定律，其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。

三均勻性假定物體是均勻的，即整個(gè)物體是由同一材料組成的。這樣整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性才不隨位置坐標(biāo)而變。如果物體是由兩種或兩種以上的材料組成的，例如混凝土，那么也只要每一種材料的顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體而且在物體內(nèi)均勻分布，這個(gè)物體就可以當(dāng)作是均勻的。

四各向同性假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同。這樣物體的彈性常數(shù)才不隨方向而變。顯然，由木材和竹材做成的構(gòu)件都不能當(dāng)做各向同性體。至于由鋼材做成的構(gòu)件，雖然它含有各向異性的晶體，但由于晶體很微小，而且是隨機(jī)排列的，所以鋼材構(gòu)件的彈性（包含無(wú)數(shù)多微小晶體隨機(jī)排列時(shí)的統(tǒng)觀彈性），大致是各向相同的。凡是符合以上四個(gè)假定的物體，就稱(chēng)為理想彈性體。此外，還對(duì)物體的變形狀態(tài)作如下的小變形假定。

五位移和形變是微小的這就是說(shuō)，假定物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，就可以方便地用變形以前的尺寸來(lái)代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差；并且在考察物體的形變與位移的關(guān)系時(shí)，轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次和高次冪或乘積相對(duì)于其本身都可以忽略不計(jì)。例如：對(duì)于微小的轉(zhuǎn)角α，有cosα=1-1/2α2+···≈1，sinα=α-1/3!α3+···≈α，tanα=α+1/3α3+···≈α；對(duì)于微小的正應(yīng)變?chǔ)舩，有1/1