2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-平面向量在解題中的應(yīng)用-蘇教版必修4

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-平面向量在解題中的應(yīng)用-蘇教版必修4平面向量在解題中的應(yīng)用向量作為一種重要的解題工具，一直是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容，向量的基礎(chǔ)性和工具性一直備受關(guān)注．本文通過一些例子來談?wù)勂矫嫦蛄吭诮忸}中的應(yīng)用．一、用向量證明垂直例1．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，自向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，求證：．證明：顯然，同時(shí)設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則．∵，，∴，∴·．∴．∴，即．說明：用向量垂直的充要條件處理解析幾何中的垂直問題，可以化繁為簡(jiǎn)，使知識(shí)前后聯(lián)系，融匯貫通，從而提高解題質(zhì)量．二、用向量證明三點(diǎn)共線例2．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，．求證：、、三點(diǎn)共線．證明：設(shè)a，b，則babab．又∵baab，∴．∴∥，∴、、三點(diǎn)共線．說明：充分利用三點(diǎn)共線和兩個(gè)向量共線（平行）的關(guān)系．三、用向量證明不等式例3．試證不等式：證明：設(shè)向量，，∴，，則．又∵，∴．說明：本題結(jié)論亦稱柯西不等式．等號(hào)只有在向量、共線時(shí)成立．四、用向量證明等式例4．試證：．證明：設(shè)向量，，∴．設(shè)向量與的夾角為，則．由，即得．例5．已知，求證：．證明：設(shè)向量，，且設(shè)向量與的夾角為，∴．又∵，∴，即．∴，∴，即．說明：本題中可把已知條件看作兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由此構(gòu)造出向量，是解決本題的關(guān)鍵，本題也可以利用恒等變形或三角代換等證法，但都不及引入向量，然后運(yùn)用向量的數(shù)量積證明簡(jiǎn)便．五、用向量求最值例6．求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的的值．解：設(shè)向量a，b，則a·b|a|·|b|，當(dāng)且僅當(dāng)b=a時(shí)取等號(hào)，∴，∴時(shí)，有最大值為6．例7．求函數(shù)的最大值．解：∵，設(shè)向量a，b，則a·b|a|·|b|，∴函數(shù)的最大值為．說明：利用a·b=|a|·|b||a|·|b|，恰當(dāng)設(shè)置向量，聯(lián)想數(shù)量積的結(jié)構(gòu)形式，求和式的最值較為方便．淺談對(duì)同角三角函數(shù)關(guān)系的研究同角三角函數(shù)關(guān)系是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的一個(gè)重要組成部分，理解它們內(nèi)在的關(guān)系，這對(duì)于解決相關(guān)問題顯得非常重要．下面本人談?wù)剬?duì)同角三角函數(shù)關(guān)系的研究：一、研究“”以及“”與“”之間的關(guān)系．上述關(guān)系為下面舉例說明：已知，求的值．解：∵，又∵，∴．若，，求的值．解：∵，又∵，∴．∵，∴．∴的值為．已知角是第三象限角，且，求的值．解：∵角是第三象限角，∴．又∵，∴的值為．二、研究“”與“、”之間的關(guān)系——充分利用．例4．已知，求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）方法一：∵，∴．方法二：∵，∴．∴．（2）∵，∴．說明：本題關(guān)鍵想方設(shè)法運(yùn)用“”這一條件；沒有分母，則通過去創(chuàng)造分母來解決問題．三、研究“”這一關(guān)系式的變形．變形形式有：①；②等．例5．已知，求的值．解：∵，∴．四、研究“同角三角函數(shù)關(guān)系”的證明．證明思路：一般情況下是“化切為弦”，有時(shí)也可“化弦為切”．例6．求證：．證明：方法一：∵左邊=右邊，∴本題得證．方法二：∵右邊=左邊，∴本題得證．五、研究“、、”與“0”之間的關(guān)系．例7．若，且，則可化簡(jiǎn)為．解：∵，且，∴．∴．例8．若，且，則的值等于（）A．B．C．D．解：∵，且，∴，故此題選C．六、相關(guān)練習(xí)已知，則角是第象限角．當(dāng)（Z），化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（）A．B．C．D．已知，則，．已知，求證：．答案：1．二、三；2．Ｃ；3．；4．提示：“化切為弦”．淺談對(duì)直線幾個(gè)問題的處理直線的相關(guān)知識(shí)是解析幾何的一個(gè)重要組成部分，為了掌握好直線的相關(guān)知識(shí)，下面談?wù)剬?duì)直線幾個(gè)問題的處理，供大家參考．1．求直線斜率的常用方法 （1）利用定義求斜率例1．已知直線過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，求直線的方程．解：根據(jù)題意得，所求直線有兩種情況：傾斜角為或，則所求直線的斜率為或，∴所求直線方程為：，或，即，或．點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知直線的傾斜角為時(shí)，可直接利用定義求直線的斜率，即．（2）利用斜率公式求斜率例2．已知直線的傾斜角是連接和兩點(diǎn)的傾斜角的2倍，求直線的斜率．解：∵，∴．即直線的斜率為．點(diǎn)評(píng)：如果已知直線過，那么可利用公式來求直線的斜率．（3）利用直線“斜截式”方程求斜率例3．直線的傾斜角是，則等于（）A．B．C．D．解：∵直線的傾斜角是，∴，∴．故選A．點(diǎn)評(píng)：如果直線的方程以一般形式給出，即，那么將的方程化為斜截式，即，就可以得到直線的斜率為．2．求截距的常用方法例4．求直線在軸和軸上的截距．解法1：將方程化為截距式方程：，∴直線在軸上截距為3，在軸上截距為-2．解法2：令，得；令，得．也就是說，直線與軸、軸分別交于．故直線在軸、軸上的截距分別為3，-2．點(diǎn)評(píng)：解法1是將直線方程化成“截距式”求截距，解法2是根據(jù)截距的定義求解．3．證明三點(diǎn)共線的方法例5．試判斷點(diǎn)是否在同一直線上？解法1：，∴，故三點(diǎn)共線．解法2：直線的方程為：，即．（*）∵點(diǎn)滿足方程（*），即點(diǎn)在直線上，∴三點(diǎn)共線．解法3：依兩點(diǎn)間的距離公式，有．由知，三點(diǎn)共線．點(diǎn)評(píng)：解法1是由過同一點(diǎn)的兩直線斜率相等來判定；解法2是證明第三點(diǎn)的坐標(biāo)滿足前兩點(diǎn)所確定的直線的方程；解法3的思路最為特別，它是考察這三點(diǎn)是否能構(gòu)成三角形，不能則共線．4．討論思想的應(yīng)用例6．直線經(jīng)過點(diǎn)，求的斜率和傾斜角．分析：由于過的斜率表達(dá)式中分母為，故應(yīng)進(jìn)行討論．解：（1）當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，斜率不存在，傾斜角為．（2）當(dāng)時(shí)，斜率為．當(dāng)時(shí)，傾斜角；②當(dāng)時(shí)，傾斜角．點(diǎn)評(píng)：求直線的斜率時(shí)，需對(duì)斜率是否存在的情況進(jìn)行討論，這一點(diǎn)大家比較注意；但當(dāng)斜率的表達(dá)式中含有字母又需求直線的傾斜角時(shí)，應(yīng)注意對(duì)斜率的正、負(fù)進(jìn)行討論．相關(guān)練習(xí)：1．直線的傾斜角的范圍是（）A．B．C．D．需視值而定2．直線的斜率為-3，那么它的傾斜角是（）A．B．C．D．3．直線的傾斜角為，則的值為（）A．B．C．2D．34．方程R)表示（）A．經(jīng)過點(diǎn)的一切直線B．經(jīng)過點(diǎn)且除外的一切直線C．經(jīng)過點(diǎn)的一切直線D．經(jīng)過點(diǎn)且除軸外的一切直線5．已知直線在兩坐標(biāo)軸上截距之和是2，并且經(jīng)過點(diǎn)，則直線方程為（）A．B．C．或D．或6．直線在軸上的截距是，而且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則（）A．B．C．D．7．若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為．8．過點(diǎn)且在軸上截距是軸上截距的2倍的直線方程是．9．一條直線過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積是4，求此直線的方程．10．為何值時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．上述練習(xí)答案：1．A，2．D，3．D，4．B，