第一篇專題二培優(yōu)點3數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問題

專題二

能量與動量培優(yōu)點3數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問題當兩個物體之間或物體與擋板之間發(fā)生多次碰撞時，因碰撞次數(shù)較多，過程復(fù)雜，在求解多次碰撞問題時，通?？捎玫揭韵聝煞N方法：數(shù)學(xué)歸納法先利用所學(xué)知識把前幾次碰撞過程理順，分析透徹，根據(jù)前幾次數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)歸納法，可寫出以后碰撞過程中對應(yīng)規(guī)律或結(jié)果，通常會出現(xiàn)等差、等比數(shù)列，然后可以利用數(shù)學(xué)數(shù)列求和公式計算全程的路程等數(shù)據(jù)圖像法通過分析前幾次碰撞情況，畫出物體對應(yīng)的v－t圖像，通過圖像可使運動過程清晰明了，并且可通過圖像與t軸所圍面積求出物體的位移

(2023·山東煙臺市一模改編)如圖所示，P為固定的豎直擋板，質(zhì)量為2m的長木板A靜置于光滑水平面上(A的上表面略低于擋板P下端)，質(zhì)量為m的小物塊B(可視為質(zhì)點)以水平初速度v0從A的左端向右滑上A的上表面，經(jīng)過一段時間A、B第一次達到共同速度，此時B恰好未從A上滑落，然后物塊B與長木板A一起向右運動，在t＝0時刻，物塊B與擋板P發(fā)生了第一次碰撞，經(jīng)過一段時間物塊B與長木板A第二次達到共同速度，之后物塊B與擋板P發(fā)生了很多次碰撞，最終在t＝t0(未知)時恰好相對地面靜止。已知A、B間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞時無機械能損失且碰撞時間極短，求：例1(1)木板A的長度；解題指導(dǎo)關(guān)鍵表述解讀質(zhì)量為2m的長木板A靜置于光滑水平面上A不受地面的摩擦力，B不與擋板P碰撞時A、B動量守恒經(jīng)過一段時間A、B第一次達到共同速度，此時B恰好未從A上滑落減少的動能等于摩擦產(chǎn)生的熱量，即μmgL＝ΔEk解題指導(dǎo)過程分析A、B第二次達到共同速度時B離A左端的距離兩次碰撞之間的過程動量守恒，計算B相對A的位移，與摩擦生熱相關(guān)之后物塊B與擋板P發(fā)生了很多次碰撞A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，B與擋板P碰撞后A、B再次共速，A、B具有向右的速度，B再次與擋板P碰撞0～t0時間內(nèi)B經(jīng)過的路程B往復(fù)運動，每次向左的位移2倍之和等于路程依題意，設(shè)木板A的長度為L，A、B第一次達到共速時速度大小為v1，對物塊B和木板A由動量守恒定律有mv0＝(2m＋m)v1(2)A、B第二次達到共同速度時B離A左端的距離；由于物塊B與擋板P發(fā)生碰撞時無機械能損失且碰撞時間極短，因此物塊B第一次與擋板P碰撞后的速度大小不變，方向向左，設(shè)B、P第二次碰撞前A、B達到共速的速度大小為v2，取方向向右為正，根據(jù)動量守恒定律有2mv1－mv1＝(2m＋m)v2根據(jù)能量守恒定律有(3)0～t0時間內(nèi)B經(jīng)過的路程。如圖所示，在光滑水平面上放置一端帶有擋板的長直木板A，木板A左端上表面有一小物塊B，其到擋板的距離為d＝2m，A、B質(zhì)量均為m＝1kg，不計一切摩擦。從某時刻起，B始終受到水平向右、大小為F＝9N的恒力作用，經(jīng)過一段時間，B與A的擋板發(fā)生碰撞，碰撞過程中無機械能損失，碰撞時間極短。重力加速度g＝10m/s2。求：例2答案0

6m/s(1)物塊B與A的擋板發(fā)生第一次碰撞后的瞬間，物塊B與木板A的速度大小；解得v0＝6m/sB與A碰撞過程，由動量守恒定律和機械能守恒定律有mv0＝mvB＋mvA解得vB＝0，vA＝6m/s(2)由A、B靜止開始經(jīng)多長時間物塊B與木板A的擋板發(fā)生第二次碰撞，并求出碰后瞬間A、B的速度大小；第一次碰撞后A向右以速度vA＝6m/s做勻速直線運動，B做初速度為0、加速度為此時B的速度為vB1＝at＝12m/s，A的速度為vA1＝vA＝6m/s，第二次碰撞時，同樣由動量守恒定律和機械能守恒定律有mvA1＋mvB1＝mvA2＋mvB2解得vA2＝12m/s，vB2＝6m/s(3)畫出由A、B靜止開始到物塊B與木板A的擋板發(fā)生三次碰撞時間內(nèi)，物塊B的速度v隨時間t的變化圖像；答案見解析圖此時B的速度為vB3＝vB2＋at′＝18m/s由A、B靜止開始到B與A的擋板發(fā)生3次碰撞時間內(nèi)，物塊B的速度v隨時間t的變化圖像如圖所示(4)從物塊B開始運動到與木板A的擋板發(fā)生第n次碰撞時間內(nèi)，物塊B運動的距離。答案[2＋4n(n－1)]m(n＝1,2,3，4，…)由以上分析可知，從第二次碰撞后，到下一次碰撞，B向前運動的距離都比前一次多8m，由v－t圖像可知，從B開始運動到第1次碰撞，B運動的距離為2m；從第1次碰撞到第2次碰撞，B運動的距離為8m；從第2次碰撞到第3次碰撞，B運動的距離為8m＋8m＝16m；從第3次碰撞到第4次碰撞，B運動的距離為16m＋8m＝24m；根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，從物塊B開始運動到與木板A的擋板發(fā)生第n次碰撞時間內(nèi)，物塊B運動的距離專題強化練121.(2023·江蘇省淮安市二模)窗簾是我們?nèi)粘Ｉ钪泻艹Ｒ姷囊环N家具裝飾物，具有遮陽隔熱和調(diào)節(jié)室內(nèi)光線的功能。圖甲為羅馬桿滑環(huán)窗簾示意圖。假設(shè)窗簾質(zhì)量均勻分布在每一個滑環(huán)上，將圖甲中的窗簾抽象為圖乙所示模型。長滑桿水平固定，上有10個相同的滑環(huán)，滑環(huán)厚度忽略不計，滑環(huán)從左至右依次編號為1、2、3……10。窗簾拉開后，相鄰兩環(huán)間距離均為L＝0.2m，每個滑環(huán)的質(zhì)量均為m＝0.4kg，滑環(huán)與滑桿之間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.1。窗簾未拉開時，所有滑環(huán)可看成挨在一起處于滑桿右側(cè)邊緣處，滑環(huán)間無擠壓，現(xiàn)在給1號滑環(huán)一個向左的初速度，使其在滑桿上向左滑行(視為只有平動)。在滑環(huán)滑行的過程中，前、后滑環(huán)之間的窗簾繃緊后，兩個滑環(huán)立即以共同的速度向前滑行，窗簾繃緊的過程用時極短，可忽略不計。不考慮空氣阻力的影響，重力加速度g＝10m/s2。12(1)若要保證2號滑環(huán)能動起來，求1號滑環(huán)的最小初速度；12(2)假設(shè)1號滑環(huán)與2號滑環(huán)間窗簾繃緊前瞬間其動能為E，求窗簾繃緊后瞬間兩者的總動能以及由于這部分窗簾因繃緊而損失的動能；12設(shè)窗簾繃緊前瞬間滑環(huán)1的速度為v1，滑環(huán)2的速度為0，繃緊后共同速度為v，由窗簾繃緊前后動量守恒有mv1＝2mv12(3)9號滑環(huán)開始運動后繼續(xù)滑行0.05m后停下來，求1號滑環(huán)的初速度大小。12設(shè)1號滑環(huán)的初速度為v10，其動能為E0，1號滑環(huán)滑行距離L，1、2號滑環(huán)繃緊前瞬間，系統(tǒng)剩余動能為E1f＝E0－μmgL在1、2號滑環(huán)共同滑行距離L，2、3號滑環(huán)繃緊前的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為122、3號滑環(huán)繃緊后的瞬間，系統(tǒng)剩余動能為12由題意可知，8、9號滑環(huán)繃緊后還可以繼續(xù)滑行距離x＝0.05m(0<x<L)后靜止，因而有E90＝μ·9mgx122.(2023·全國乙卷·25)如圖，一豎直固定的長直圓管內(nèi)有一質(zhì)量為M的靜止薄圓盤，圓盤與管的上端口距離為l，圓管長度為20l。一質(zhì)量為m＝

M的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，圓盤向下滑動，所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等。小球在管內(nèi)運動時與管壁不接觸，圓盤始終水平，小球與圓盤發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短。不計空氣阻力，重力加速度大小為g。求(1)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大?。?212mv0＝mv1＋Mv1′12(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠距離；答案l12第一次碰撞后，小球做豎直上拋運動，圓盤所受摩擦力與重力平衡，勻速下滑，所以只要圓盤下降速度比小球快，二者間距就不斷增大，當二者速度相同時，間距最大，則有v1＋gt＝v1′根據(jù)運動學(xué)公式得最大距離為12(3)圓盤在管內(nèi)運動過程中，小球與圓盤碰撞的次數(shù)。答案412第一次碰撞后到第二次碰撞時，兩者位移相等，則有x球1＝x盤112之后第二次發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒有mv2＋Mv1′＝mv2′＋Mv2″根據(jù)能量守恒定律有聯(lián)立解得v2′＝0v2″＝v0同理可得當位移相等時x盤2＝x球212此時圓盤距下端管口13l，之后二者第三次發(fā)生碰撞，碰前小球的速度v3＝gt2＝2v0由動量守恒有mv3＋Mv2″＝mv3′＋Mv3″由機械能守恒有12當