2024高中數學教學論文-利用幾何畫板探索軌跡的教學-新人教版

2024高中數學教學論文-利用幾何畫板探索軌跡的教學-新人教版利用幾何畫板探索軌跡的教學研究性學習一得研究性學習是指學生在教師的指導下，從學生生活和社會經驗中，選擇和確定研究專題，仿照科學研究的方法和過程，主動地獲取知識，并應用知識來解決問題的學習活動。研究性學習圍繞一個主題或問題，以小組學習為主要形式，學生自主進行的探索性、實踐性、開放性課程。研究性學習是以問題的解決為主要形式的學習活動，問題是它的重要載體，整個學習活動以問題的自然形成序列。研究性學習更強調實踐，注重體驗，關注結果。其特點是內容強調開放性、學習強調主體性、注重學生之間合作學習、講求體驗式、活動化。下面通過對一個數學問題的探索，談談我的一點體會。教師：求曲線的方程、通過方程研究曲線的性質是解析幾何的兩大主要問題。今天與同學們討論一個問題：怎樣探索點的軌跡。問題是數學的心臟，思維從問題開始。我們先看一個具體的例子：如圖1，過橢圓()的左焦點F1作弦AB。現(xiàn)在來研究焦點弦AB有關的問題。軌跡1過原點O作弦AB的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程。圖1圖2幾何畫板演示：拖動主動點A在橢圓上轉動或制作點A在橢圓上運動的動畫按鈕，跟蹤點M，得到點M的軌跡是一個小圓。如圖2“怎樣求出這個小圓的方程？”學生：按一般思路，假設弦AB所在直線的斜率為k，則AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個方程解出交點(即垂足)M的坐標，最后消去參數k就得到點M的軌跡方程。哇！好復雜。學生們埋頭進行著復雜的運算。其中一個學生望著投影大屏幕，既不動手，也不說話。教師：“你為什么不動手做？”學生：“我在想……這個軌跡是一個圓，而且是以OF1為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法做出來。噢，我知道了。一般的解題思路很容易想出來，但運算也很復雜。我有一個很好也很簡單的方法：因為OM⊥AB，所以|OM|2+|F1M|2=|OF1|2，若設點M的坐標為(x，y)，點F1的坐標為(c，0)，則x2+y2+(x－c)2+y2=c2，即。這就是所求的軌跡方程。”“?。∵@么簡單？”同學們都驚訝起來。馬上又有一個學生說：“大家都被橢圓這個外表給迷惑住了。其實這個問題只與原點和點F1的坐標有關，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系。就是‘給定兩點O與F1，過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程。’這當然很容易解得?！苯處煟骸昂芎谩偛磐瑢W們討論得很不錯。在探求點的軌跡時，一定要注意設法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關系。平面幾何的有關結論對求點的軌跡很有用處。下面我們將問題改變一下：軌跡2如圖3，求弦AB中點P的軌跡方程。”“猜猜看，點P的軌跡是什么？”不少學生已經利用幾何畫板演示了出來：幾何畫板演示：拖動主動點A，得到點P的軌跡是一個小橢圓，并且這個小橢圓的長軸是線段OF1即半焦距。如圖4?！罢媸菣E圓?！睂W生的興趣被調動起來?！霸鯓忧筮@個小橢圓的方程？”教師在下面觀察學生的解法，卻發(fā)現(xiàn)不少學生圖3對這類問題無從下手。教師：“根據求軌跡方程的一般步驟，求哪一點的軌跡方程，就應該假設該點的坐標為(x，y)，因此先設P點坐標為(x，y)。要建立點P的坐標(x，y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個點A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中點F1是定點，A、B、P都是動點，但點A是主動點，引起點P運動的原因是由于點A在橢圓上運動。因此要找到點P與A、B、F這三個點的坐標之間的關系。這是解決問題的關鍵。”“點P與A、B兩點的坐標的關系怎樣？”學生：“根據中點坐標公式得到，?！薄叭绾螌、B、P、F1這四點的坐標聯(lián)系起來？”“利用直線的斜率?！薄爸本€AB的斜率怎樣表示？”“有，還有?！薄叭绾蔚玫?？”“……”“A、B兩點在哪？滿足什么方程？”圖4“在橢圓上。滿足，?！薄爸涝鯓忧罅藛幔俊睂W生很快得到下列解法(經過整理)：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，，則，，因為點A、B都在橢圓上，則，，兩式相減得，于是有，化簡得，此即為所求的軌跡方程。教師：“以上解法是很典型的。這里設點A、B的坐標，但并不需要求出，只是利用A、B的坐標進行過渡。這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法——設而不求。尋找動點之間的關系是求軌跡問題的關鍵。還有其它解法沒有？”一學生：“因為直線AB經過點F1，可以設直線AB的方程為y=k(x+c)，與橢圓方程聯(lián)立解方程組得出A、B兩點的坐標……”另一學生：“不必解出A、B的坐標，將直線AB的方程為y=k(x+c)代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點A、B的橫坐標x1，x2，正好可以利用韋達定理得到，，將點A、B的橫坐標都表示為直線AB的斜率k的函數，消去參數k就行了?！苯處煟骸昂芎谩Ｕ埻瑢W們將解法寫出來?！币韵率菍W生的另一種解法(經整理)：解法二：假設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程得設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，則，①=，②由①②得，代入y=k(x+c)得，整理得，即為所求的方程。學生：“我改變原橢圓的長軸或短軸的長，所求軌跡的形狀也隨著改變了，但這兩個橢圓的形狀仍然十分‘相似’，也不知有沒有必然的聯(lián)系？”學生：“與的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個橢圓的離心率是一樣的！因此它們的形狀相同?！苯處煟骸昂芎?。看來大家已經掌握了求軌跡的關鍵——尋找被動點與主動點之間的關系。剛才所探索的都是弦AB上特殊點的軌跡。同學們能否利用幾何畫板探索其它點的軌跡？請大家根據這個橢圓及弦AB，自行發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和解決問題?！睂W生們立即投入到探索中。一位學生：軌跡3“在弦AB上任意取一點Q，跟蹤點Q，動畫……哇！怎么點Q的軌跡是這樣的？”不少學生也發(fā)現(xiàn)了同樣的問題。教師將這位學生計算機上的畫面切換到大屏幕，幾何畫板演示：在弦AB上任取一點Q，跟蹤點Q，拖動主動點A，取到如下幾何圖形(如圖5～7所示)：圖5圖6圖7“呀！這是什么圖形？”“怎么會有這樣的圖形？”“自學習解析幾何以來還從沒見過這樣的圖形。”“該給這個軌跡起個什么名字呢？”學生們發(fā)出驚嘆。拖動點Q，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡也發(fā)生變化。當點Q接近中點P時，點Q的軌跡圖形接近于中點P的軌跡——小橢圓(如圖6)，而當點Q接近于點A或B時，軌跡圖形就接近于大橢圓(如圖7)。軌跡4“老師，我發(fā)現(xiàn)，如果將弦AB的兩端A、B分別與橢圓長軸兩個端點A1、A2連起來，則這兩條直線A2A與A1B的交點C好象在橢圓的準線上?！绷硪粋€學生叫起來?！袄蠋煟cQ的軌跡不是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，其軌跡方程一定很復雜。點C的軌跡這么簡單，那么應該可以求出其方程吧?！苯處煟骸霸囋嚳窗伞！辈扇〕Ｒ?guī)方法“交軌法”求解：設直線AA2、BA1的方程分別為y=k1(x－a)，y=k2(x+a)，將AA2的方程代入橢圓方程整理得,此方程的兩根是A、A2的橫坐標x1與a，故可求得A(x1，y1)點坐標為,圖8同理可求得B(x2，y2)點坐標為。由A、F1、B三點共線可得，即，將A、B兩點坐標代入并整理得a2(a+c)k12k2+a2(c-a)k1k22+b2(a+c)k1+b2(c-a)k2=0，將，代入上式得，分解因式得，因為直線AA2、BA1的交點在橢圓外，所以，故，即。即為直線AA2、BA1的交點的軌跡方程，而這就是橢圓的準線方程?！巴瑯拥牡览恚本€A2B與A1A的交點D也在準線上。”“老師，不管C、D兩點在左準線上怎樣運動，∠CF1D是一個定值。如圖9所示?！庇忠粋€學生發(fā)現(xiàn)了一個結論。同學們利用上個問題的解決方法，很快證明了出來。教師：“很高興看到你們能探索出這么多圖9結論出來。利用幾何畫板，你們還能探索出什么結論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請同學們課后盡量給出證明。”軌跡5“老師，如圖10作ΔOAB的重心G，其軌跡也是一個橢圓?！币晃粚W生說。(以下是學生課后提供的解答過程：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點為M(x0，y0)，則，，，，，，由，，得，此即為直線AB的斜率k，圖10又，∴，整理得.故ΔOAB重心G的軌跡方程為：。)下面是學生們得到的幾條奇形怪狀的曲線：軌跡6“ΔOAB的內心的軌跡是一條‘雞蛋形’曲線(如圖11所示)?！避壽E7“ΔOAB的垂心的軌跡是一條‘’形狀的曲線(如圖12所示)?！眻D11圖12軌跡8“ΔOAB的外心的軌跡是一條‘反’形狀的曲線(如圖13所示)。”軌跡9“ΔOAB中，過點A作OB的垂線，垂足的軌跡是‘兩葉花卉形’(如圖14所示)?！眻D13圖14軌跡10“老師，如圖15作ΔABF2的重心G，其軌跡也是一個橢圓?！?以下是學生課后的解答：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，則由F2(c，0)與G(x，y)可得AB中點M的坐標為，因為，所以，整理得，即。此即為ΔABF2的重心G的軌跡方程。)圖15又是幾條奇妙的曲線：軌跡11“ΔABF2的內心的軌跡是與橢圓相似的一條曲線(如圖16所示)?！避壽E12“ΔABF2的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖17所示)?！避壽E13“ΔABF2的外心的軌跡是一條‘反’形狀的曲線(如圖18所示)?！避壽E14“ΔABF2中，過點A作BF2的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖19所示)?！眻D16圖17圖18圖19軌跡15—18“延長AF2交橢圓于另一點C，聯(lián)BF2，ΔABC的重心、內心、垂心、外心的軌跡都是一不知名的曲線(如圖20～23所示)。”圖20圖21圖22圖23“老師，橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質。以上問題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結論？”“問得好。同學們探討一下這位同學提出的問題?！币韵率菍W生經過探索得出下面的結論(限于篇幅，本文略去解題過程)：軌跡19如圖24，過雙曲線的右焦點F2作弦AB，則弦AB的中點M的軌圖24跡是以OF2為實軸即實半軸長為的雙曲線，其方程為，其解答過程與橢圓相似，這里略去。并且此雙曲線與原雙曲線的離心率相同。若在弦AB上任取一點P，則點P的軌跡圖形如圖25～26，并且當點P圖25接近中點M時，P點軌跡接近中點M的軌跡——雙曲線；當點P接近點A或B時，P點軌跡接近原雙曲線。軌跡20如圖27，ΔOAB的重心G的軌跡是一雙曲線，其方程為。軌跡21如圖28，ΔABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為圖26圖27圖28軌跡21如圖28，ΔABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為。軌跡22如圖29，過拋物線的焦點F作弦AB，則弦AB的中點M的軌跡是以F為頂點的拋物線，其方程為.圖29圖30圖31如圖30～31，若在弦AB上任取一點P，則點P的軌跡并且當點P接近中點M時，P點軌跡接近中點M的軌跡——拋物線，當點P接近點A或B時，P點軌跡接近原拋物線軌跡23如圖32，ΔOAB的重心G的軌跡是一條拋物線，其方程為。軌跡24如圖33，K是拋物線的準線與x軸的交點，ΔKAB的重心的軌跡是一條拋物圖32圖33圖34線，其方程為。如圖34，通過探索還可得到拋物線有關的一些性質：如①以AB為直徑的圓與準線相切；②連接OA、OB兩條直線，分別交拋物線的準線于M、N兩點，則∠MFN=,并且AM、BN都垂直于準線。教師：“今天的問題同學們研究得很好。幾何畫板可以稱這數學實驗室。通過這個實驗室，同學們可以學會怎樣去探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。象上面的軌跡問題，找到了主動點與被動點之間的關系，問題就不難解。下面的這個問題，同學們課后去加以研究，下周將你們研究的結果展示出來：問題如圖35所示，過橢圓的左頂點A1作兩條互相垂直的弦A1A、A1B。對于弦AB提出一些問題并加以解決。例如：弦AB是否經過一個定點；弦AB上中點的軌跡問題；過A1或O點作弦AB的垂線，垂足的軌跡問題；ΔA1AB的重心、外心、內心、垂心等的軌跡問題；ΔA2AB的重心、外心、內心、垂心等的軌跡問題……更一般的問題：如果在橢圓上取其它點M，過點M作兩條互相垂直的弦MA、MB。對弦AB提出一些問題并加以解決。同樣，對雙曲線、拋物線也提出類似的問題。有關結果在下周展示出來?！闭n后對學生進行了調查。以下是一些學生的感受：“今天這堂課收獲很大。以往很多想不通的‘知其然而不知其所以然’問題，通過幾何畫板的動態(tài)顯示，現(xiàn)在弄清楚了?！薄敖裉爝@堂課真有意思。通過幾何畫板這個工具，不僅掌握了如何研究問題，圖35同時也知道了如何去發(fā)現(xiàn)問題?！薄巴ㄟ^這堂課，我想我們平時做的很多數學題大概就是這樣被發(fā)現(xiàn)的。”“我覺得老師要我們去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題這種教學方式對我們很有益處。這比題海戰(zhàn)術、高強度訓練的教學方式要好得多。不僅掌握了數學知識，而且讓我們知道了知識的產生過程。”記得我國著名數學教育家張奠宙教授說過，在數學方面的研究性學習，不必將問題搞得太大，可以讓學生對某個小問題進行討論，進行深入的研究。因此，研究性學習重在探索過程，注重知識的產生過程，改變學生在教室里等老師教知識，學生在課堂上被動接受知識的學習方式；教會學生學會學習，學會尋找解決問題所需的信息、資料、數據并不斷提高思維能力，進一步增強主體意識；引導學生學會利用多種方法思考問題，嘗試用相關學科知識分析和解決問題；引導學生在親身體驗成功與失敗、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中初步獲得科學研究的一般方法；培養(yǎng)學生的團隊精神與合作意識?？傊?，研究性學習強調：開放性、自主性、實踐性、探索性。參考書目：1.《幾何畫板在數學教學中的應用》，忻重義、萬福永編著；2.《利用幾何畫板教解析幾何》，陶維林編著；3.《幾何畫板范例教程》，陶維林編著。 例談恒成立不等式的求解策略含參數不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型，也是各類考試的熱點．這類問題既含參數又含變量，學生往往難以下手，怎樣處理這類問題呢？轉化是捷徑．通過轉化能使恒成立問題得到簡化，而轉化過程中往往包含著多種數學思想的綜合運用．下面就其常見類型及解題策略舉例說明．一﹑可化為一次不等式恒成立的問題例1．對于滿足的一切實數，不等式恒成立，試求的取值范圍．分析：習慣上把當作自變量，記函數，于是問題轉化為：當時，恒成立，求的取值范圍．解決這個等價的問題需要應用二次函數以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當復雜的．解：設函數，顯然，則是的一次函數，要使恒成立，當且僅當，且時，解得的取值范圍是．點評：本題看上去是一個不等式問題，但是經過等價轉化，把它化歸為關于的一次函數，利用一次函數的單調性求解，解題的關鍵是轉換變量角色．二﹑二次不等式恒成立問題例2．已知關于的不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍．分析：利用二次項系數的正負和判別式求解，若二次項系數含參數時，應對參數分類討論．解：(1)當時，即或，顯然時，符合條件，不符合條件;(2)當時，由二次函數對一切實數恒為正數的充要條件，得，解得．綜合(1)(2)得，實數的取值范圍為．三﹑絕對值不等式恒成立問題例3．對于任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．分析1：把左邊看作的函數關系，就可利用函數最值求解．解法1：設，則，，．分析2：利用絕對值的幾何意義求解．解法2：設﹑﹑在數軸上對應點分別是﹑﹑，則當點在線段上時，;當點在點的左側時，;當點在點的右側時，;因此，無論點在何處，總有，所以當時，恒成立，即對于任意實數，不等式恒成立時，實數的取值范圍為．分析3：利用絕對值不等式求解的最大值．解法3：設．且時等式成立，，．四﹑含對數﹑指數﹑三角函數的不等式恒成立問題例4．當時，不等式恒成立，求的取值范圍．分析：注意到函數，都是我們熟悉的函數，運用數形結合思想，可知要使對一切，恒成立，只要在內，的圖象在圖象的上方即可．顯然，再運用函數思想將不等式轉化為函數的最值問題，即．解：設，，則要使對一切，恒成立，由圖象可知，并且，故有，，又點評：通過上述的等價轉化，使恒成立的解決得到了簡化，其中也包含著函數思想和數形結合思想的綜合運用．此外，從圖象上直觀得到后還需考查區(qū)間右端點處的函數值的大小．五、形如“”型不等式形如“”或“”型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎是“在上恒成立，則();在上恒成立，則()”．許多復雜的恒成立問題最終都可歸結到這一類型．例5．已知二次函數，若時，恒有，求的取值范圍．解：，，即（1）當時，不等式顯然成立，（2）當時，由得． ，，．又，，．．綜上得，的取值范圍為．六、形如“”型不等式例6．已知函數，若對任意，都有成立，則的最小值為．解：對任意，不等式恒成立，，分別是的最小值和最大值．對于函數，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是2，即半個周期．的最小值為2七、形如“”型不等式例7．在，，，這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是()(A)(B)(C)(D)解：本題實質就是考察函數的凸凹性，即滿足條件的函數應是凸函數的性質，畫草圖即知，符合題意，故此題選（C）．八、形如“”型不等式例8．已知函數，，若當時，恒成立，求實數的取值范圍．解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零．令， ，即在上單調遞減，是最大值．，即．九、形如“”型不等式例9．已知函數，，若對任意，都有，求的范圍．解：∵對任意，都有成立，．，令得或;得． 在為增函數，在為減函數．，．例談轉化與化歸思想的應用在日常教學中，常遇到一些問題直接求解較為困難，然而通過觀察、分析等思維過程，可以將原問題轉化為一個新問題，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”.比較常見的表現(xiàn)形式有：陌生與熟悉的轉化，復雜與簡單的轉化、變量與常量的轉化、數與形的轉化、函數與方程的轉化、空間與平面的轉化、正與反的轉化、抽象與具體的轉化等等.下面就一些題目談談一些處理策略.1．陌生與熟悉的轉化例1已知求證：.解析：原條件可化為令則，因為，所以即,整理得所以成立.點評將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決.本題巧妙的將陌生的的分式經過整理變形，轉化為熟悉的兩角和差正切公式來解決.2．復雜與簡單的轉化例2已知函數，求函數的定義域，并證明是單調遞減函數.解析：由得，所以函數的定義域為.設，是單調遞減函數.則，由于在均為單調函數，由復合函數的單調性知：函數在上是單調遞減函數.點評：本題函數形式較復雜，直接化簡較難，通過引入三角進行換元，將復雜函數轉化為簡單的函數形式.但在引入參數角時，還需跟上合適的范圍以便求解.3．變量與常量的轉化例3對于滿足的一切實數，不等式恒成立，試求的取值范圍．解析：習慣上把當作自變量，記函數，于是問題轉化為：當時，恒成立，求的取值范圍．解決這個等價的問題需要應用二次函數以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當復雜的．設函數，顯然，則是的一次函數，要使恒成立，當且僅當，且時，解得的取值范圍是．點評本題看上去是一個不等式問題，但是經過等價轉化，把它化歸為關于的一次函數，利用一次函數的單調性求解，解題的關鍵是轉換變量角色．在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的.但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解.4．空間與平面的轉化例4如下圖所示，圖（a）為大小可變化的三棱錐.（1）將此三棱錐沿三條側棱剪開，假定展開圖剛好是一個直角梯形，如圖（b）所示.求證：側棱；（2）由（