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文檔簡介
2023-2024學(xué)年河北省定興中學(xué)高二上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)
模擬試題
一、單選題
1.一箱臍橙共有21個(gè),其中有3個(gè)是壞果,若從中隨機(jī)取一個(gè),則取到的臍橙不是壞果的
概率為()
A.-B.-C.-D.-
7777
【正確答案】D
【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得答案.
【詳解】依題意可得,取到的臍橙不是壞果的概率為告3=*
故選:D
2.若數(shù)歹∣J{(}的前〃項(xiàng)和S“=3〃+3"+1,則%=()
A.18B.19C.20D.21
【正確答案】D
【分析】利用S"與””的關(guān)系可得q=53-邑,計(jì)算即可.
【詳解】?3=53-52=37-16=21.
故選:D.
3.設(shè)橢圓片+片=1的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為A,B,則以線段AB為直徑的圓的方程為()
94
?-RT÷(y-ι)2=?B.卜一∣J+(5號(hào)
【正確答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.
【詳解】依題意可得A(0,2),B(3,0),則卜JF,線段AB的中點(diǎn)為(|/
故以線段AB為直徑的圓的方程為卜-5j+U-I)
故選:A.
4.在四面體ABCD中,CE=2ED,貝IJBE=()
A.-AB+-AC-}--ADB.—ABH—ACH—AD
3333
C.ΛB+-AC-^--ADD.AB+-AC+-AD
3333
【正確答案】B
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算即可求解.
2
【詳解】因?yàn)镃E=2ED,所以CE=Ie£>,則
—.__.一一.___..2/?-\1?
BE=BA+AE=-AB+AC+CE=-AB+AC+-?AD-AC]=-AB+-AC+-AD.
3、>33
故選.B
5.跑步是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng),通過跑步,我們能提高肌力,令肌肉量適當(dāng)?shù)鼗謴?fù)正常的水平,
同時(shí)提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平,加速脂肪的燃燒,養(yǎng)成易瘦體質(zhì).小孟最近給自己制定了一
個(gè)218千米的跑步健身計(jì)劃,第一天他跑了1千米,以后每天比前一天多跑0.5千米,則他
要完成該計(jì)劃至少需要()
A.29天B.28天C.27天D.26天
【正確答案】A
【分析】依題意可得,小孟從第一天開始每天跑步的路程依次成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1,公
差為0.5,然后利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】依題意可得,小孟從第一天開始每天跑步的路程依次成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1千米,
公差為0.5千米.設(shè)經(jīng)過n天后他完成健身計(jì)劃,
則〃+叫AX∕≥2I8,整理得〃2+3〃一872±0.因?yàn)楹瘮?shù)〃力=f+3x-872在[l,+∞)上
為增函數(shù),且/(28)<0,/(29)>0,
所以“≥29.
故選.A
6.已知平面ɑ的一個(gè)法向量為加=(—2,1,-1),向量AB=(O,-1,2),AC=(I,—1,0),則平面α
與平面A8C夾角的正切值為()
A.√2B.2C.√5D.√6
【正確答案】C
【分析】根據(jù)面面角的向量求法求出平面α與平面ABC夾角的余弦值,即可根據(jù)同角三角
函數(shù)的關(guān)系得出答案?
【詳解】設(shè)〃=(x,y,z)為平面ABC的法向量,
n?ΛB=-y+2z=0Aι
則,令x=2,得〃=(z2,2,1).
n?AC=x-y=O
m`n
所以平面α與平面4BC夾角的余弦值為ICOS(〃,",=_76
m∣∣∕?-6'
則平面α與平面ABC夾角的正弦值為』1-
所以平面α與平面ABC夾角的正切值為場=6.
故選:C.
7.在首項(xiàng)為3的數(shù)列{q}中,Ym,
am+n=-aman,設(shè)口=Iog24,則數(shù)列,
的前100項(xiàng)和為()
A.⑼n?θθ
D.—
201-≡IOI
【正確答案】A
【分析】令a=1得出用=;可,即可得出{q}的通項(xiàng)公式,再將{%}的通項(xiàng)公式代入
I]
?=Ioga中求得〃,再代入中,由裂項(xiàng)相消即可求得數(shù)列?的前100項(xiàng)和.
2nbb.??.
n,,+l+l
【詳解】令m=1,得4,所以{4}是首項(xiàng)為公比為:的等比數(shù)列,
2n1111
所以a,,=,'(’]=2'^,bn=Iog2a,l=}-2n,—?-
2UJ帥田(2M-1)(2M÷1)2?2n-l2〃+1/
所以數(shù)列Wd的前ι°°項(xiàng)和為ST+H++?-?)=^?
故選:A.
8.已知F為拋物線。:丫2=23(0>0)的焦點(diǎn),過尸且斜率為G的直線交C于4,B兩點(diǎn),
過A,B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A,B1,線段A尸交y軸于4,線段B/交y軸于
刀,14聞=2,則P的值為()
A.2B.4C.√3D.2y∕3
【正確答案】C
【分析】設(shè)A(XQJ,B{x2,y2),由題意可知&與為R片的中位線,則
?AlBt?=2?A2B2?=?yl-y2?=4,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.
【詳解】設(shè)Aa,χ),B(x2,y2),
由題意可知AB?為λFA1B1的中位線,則∣A4∣=2%見=IX-必|=4,
過且斜率為G的直線方程為:>=61-£|,
聯(lián)立得y2-型Py-P2=o,則%+%=迪p,yly2=-p?
.V=2px,?33
貝IJlyl-%I=4=J(y∣+必)2—4χ%=+4p2=^γ-p>解得P=石.
故選:C.
二、多選題
9.在正項(xiàng)等差數(shù)列{%}中,出=12,在正項(xiàng)等比數(shù)列出}中,"+α=6,則()
A.4+%+%=36B.4的最大值為3
C.0<ɑ?—6Z,<—D.4(b∣+2?3+々)>36
【正確答案】ABC
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A;由基本不等式及等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷B;由題
意d=4-%>0且4=%-8d=12-8d>0,即可判斷C;由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知q+%+%=3(4+8d)=3%=36,故A正確;
在正項(xiàng)等比數(shù)列{〃}中,6=H+"≥2師=也,當(dāng)且僅當(dāng)%=2=3時(shí),等號(hào)成立,則4
的最大值為3,故B正確;
設(shè){%}的公差為d,因?yàn)椤!?gt;0,所以I=%-%>。,Jl?,=?-8√=12-8J>O,所以
33
0<d<—,即0<α?-4V/,故C正確;
?3(?l+24+?5)=?l?3+2b;+=6+2Z≠4+6=他+dY=36,故D錯(cuò)誤,
故選:ABC.
10.已知P為直線Lx+y-7=0上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:(X-I)?+(y-2)2=l(C為圓心)
的切線,A為其中的一個(gè)切點(diǎn),則()
A.∣PC∣的最小值為2夜
B.I網(wǎng)的最小值為3
C.sin∕4CP的最小值為反
4
D.當(dāng)B為另一個(gè)切點(diǎn)時(shí),PA?P3的最小值為2啦-3
【正確答案】AC
【分析】直線/與圓C相離,則IPcl的最小值為C到直線/的距離,即可判斷A;由
IPAI=1PC『一1可判斷B;在直角三角形中求得Sinz4CP=J普,即可判斷C;設(shè)
『+而-3,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.
ZAPC=θ,PA?PB=∣PA∣2(l-2sin26∣)≈∣尸。
【詳解】圓C的圓心(1,2),半徑為1,
因?yàn)镃到直線/的距離為吟R=2√∑>l,所以直線/與圓C相離,所以IPq的最小值為
2√2,故A正確;
因?yàn)锳P_LAC,所以IPAl=JPCIMmin=療,故B錯(cuò)誤;
則sinZAC尸的最小值為J1^=坐
曬2一|時(shí)
SinNAeP=
PCIPo
故C正確;
八IAa1
設(shè)ZAPC=6,sm,=胃=畫,則
PA-PB=∣P4∣2cos26?=∣PA∣2(l-2sin2θ)=(IPCl?-?)I-2=IPel'3-3,令
百IPq
Z=∣PC∣2∈[8,-W),由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,24,8=:+一3在fe[8,M)上單調(diào)遞增,則
91
當(dāng)f=8時(shí),PA.PB的最小值為弓,故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
11.如圖,在四棱錐P-ABC。中,PA±nABCD,底面ABCD是正方形,SLPA=AB=I,
E,F分別為PD,PB的中點(diǎn),則()
P
A.EFJ,平面RIC
B.AB//平面EFC
C.點(diǎn)尸到直線CO的距離為布
D.點(diǎn)A到平面EFC的距離為生叵
11
【正確答案】AD
【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD-AP的方向分別為X,必z軸的正方向建立空間直角
坐標(biāo)系,由EF?AP=O,EFPC=0,利用線面垂直的判定定理可判斷A正確;求出平面
E尸。的法向量、A8的坐標(biāo),利用A3?m=2Ho可判斷B;設(shè)點(diǎn)A到平面£77C的距離為d,
'CFCD
AC?∕n9
由d=聯(lián)」可判斷D;設(shè)點(diǎn)尸到直線CD的距離為h計(jì)算好=CF-可判斷
f、百C.
【詳解】以4為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,A。,AP的方向分別為X,y,Z軸的正方向建立如圖空間
直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E((),l,l),F(l,0,l),£>(0,2,0),
則EF=(I,-1,0),AP=(0,0,2),PC=(2,2,-2),EC≈(2,1,-1),
因?yàn)樗鵄P=O-O+0=0,EFPC=2-2+0=0,
所以EFj.AP,EFA.PC,即£F_LAP,EFLPC,
又APPC=P,AP,PCU平面∕?C,
所以EFl平面∕?C,A正確;
設(shè)平面EfC的法向量為m=(x,y,z),貝“;令x=l,得加=(U,3),
因?yàn)锳B=(2,0,0),所以48m=2x0,B不正確;
AC?∕n2+2+0?./TT
設(shè)點(diǎn)A到平面ErC的距離為d,AC=(2,2,0),則d=C="”,D正確;
''同√l+l+911
設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h,CF=(-1,-2,1),CD=(-2,0,0),
則/「=CL—CFCD=5,即ZZ=6,C不正確.
IICDI)
故選:AD.
92
12.已知雙曲線C:*-g=ιg>0*>0)的左,右焦點(diǎn)分別為4(-c,0),E(G0),過點(diǎn)”
的直線/與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A,與雙曲線C的其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)B,
且忻用=2∣OBl(。是坐標(biāo)原點(diǎn)),下列結(jié)論正確的有()
2
A??BFt?=^4c-?BF2^
B.若AB=2耳A,則雙曲線C的離心率為普
C.?BFt?-?BF2?>2a
D.c-a<?AFl?<?l2c-a
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)忻用=2∣OBl可得BFJBE,根據(jù)勾股定理可判斷A,根據(jù)向量共線可得
A(色手1),代入雙曲線方程可得離心率,進(jìn)而判斷B,根據(jù)雙曲線的定義及三角形的三
邊關(guān)系即可判斷C,根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離以及A的坐標(biāo)的范圍即可判斷D.
【詳解】由于忻閭=2|0用=2|0段=2|0制,因此8K,叫,則
21
?BFl?=y∣?FlF2^-?BF2f=y∣4c-?BF2?,故A正確,
由于∣O8∣=c,tan∕8O乙=',c?2=∕+∕Λ因此易得B(α,b),6(-c,0),則
FtB=(a+c,b),由AB=2∕^4,則耳A=;耳B=(等,進(jìn)而),將
代入雙曲線的方程中得I-s)ID1'化簡得4∕-4e-9=0,解得
a2b~
e=生叵,由于e>l,故e=匕巫,故B正確,
22
設(shè)直線/與雙曲線的右支交于點(diǎn)M,則由雙曲線的定義可知:|崢|-|“勾=24,由三角形三
邊關(guān)系可得|"8|>|照|一忸國,則∣M6∣-∣M閭=忸娟+|MBlTMEI?|mHBq,故
?BFi?-?BF^?<2a,故C錯(cuò)誤,
設(shè)A(X,y),(Λ-<0),則
[4胤=J(x+c)2+尸=J(X+of+〃2(5-i-——?-2cx+a1=-x+a,
(2\
由于0<y<%=8,所以ι+g<26,進(jìn)而一億<了<_“,
故c-a<∣A用=—X—a<>∕2c—a,故D正確,
故選:ABD
三、填空題
13.空間向量0,滿足∣α+2?∣=∣a-0,且6=(2,1,-3),則=.
【正確答案】-7
【分析】先由空間向量的模的坐標(biāo)表示求W,把卜+20=卜-0兩邊同時(shí)完全平方,化簡可
求“b
【詳解】由6=(2,1,—3),可得W=J4+1+9=√ΓJ,
因?yàn)椴?28卜卜所以卜+261=Ia-M-,所以(α+2bj,
所以0~+4α?b+46~=""^—2α?Z>+6~,所以6a?∕+3x14=0,所以。*=-7,
故答案為.-7
14.若等比數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和S,,=5+α?6"∣,貝IJa=.
【正確答案】與
O
【分析】由S“求出4,結(jié)合等比數(shù)列求得。值.
n+l,1
【詳解】由題意w≥2時(shí),an=Sn-5?_,=5+α?6-(5+??6)=5a.6",
當(dāng)”=1時(shí),4=S∣=5+364,又{《,}是等比數(shù)列,所以5+36a=54x6,解得a=—”
6
45
故_二
6
15.圖1為一種衛(wèi)星接收天線,其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分,已知該衛(wèi)星接收
天線的口徑AB=6,深度MO=2,信號(hào)處理中心F位于焦點(diǎn)處,以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建
立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系X。),,若尸是該拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)。(晨,2),則忸尸|+忸。
的最小值為.
【分析】由題意可知點(diǎn)(2,3)在拋物線上,利用待定系數(shù)法求拋物線方程,結(jié)合拋物線定義
求IPFl+1區(qū)的最小值.
【詳解】設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),
Q
因?yàn)?3=6,MO=2,所以點(diǎn)A(2,3)在拋物線上,所以9=4p,故夕=不
Q
所以拋物線的方程為V=;X,
所以拋物線的焦點(diǎn)F件0),準(zhǔn)線方程為x=g
Q15135
在方程V=JX中取X=V可得V=三>4,所以點(diǎn)。在拋物線內(nèi),
2816
過點(diǎn)P作PP與準(zhǔn)線垂直,P'為垂足,點(diǎn)Q作QQ'與準(zhǔn)線垂直,。'為垂足,
15Q
則IPFl=IPPI,所以∣PF∣+∣PQ∣=∣PP∣+∣PQ∣N∣QQ1=V+9=3,當(dāng)且僅當(dāng)直線PQ與準(zhǔn)線垂
88
直時(shí)等號(hào)成立,
所以∣PE∣+∣PQ∣的最小值為3.
故3.
四、雙空題
16.對(duì)正整數(shù)〃,函數(shù)8(〃)是小于或等于"的正整數(shù)中與"互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.此函數(shù)以其首
名研究者歐拉命名,故被稱為歐拉函數(shù).根據(jù)歐拉函數(shù)的概念,可得以441)=,數(shù)列
{則7")}的前〃項(xiàng)和S,,=.
【正確答案】252(6"T)7"+1
6
【分析】由質(zhì)因數(shù)分解求得441的所有質(zhì)因數(shù),利用質(zhì)因數(shù)結(jié)合定義可求得9(441),因?yàn)槌?/p>
了7的倍數(shù)外,其他數(shù)都與7"互質(zhì),因此易得9(7"),然后由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{像(7")}
的前〃項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)?41=32χ72,
所以不大于441的數(shù)中,能被i(i=3,7)整除的數(shù)與441都不互質(zhì),
CRR../..?AA1441441441?__
所以1°(44l1)=441------j~+~2?=252,
因?yàn)槌?的倍數(shù)外,其他數(shù)都與7"互質(zhì),所以夕(7")=7"-}=6x7"T,
貝IJS.=6χ(l+2x7++n×T-'),所以7S,,=6x(7+2x7?++n×7,'),
所以-65,,=6x(l+7+,+7,,^l-n×7,')=6×—--n×7,,"∣=(l-6n)7,,-l,
I1-7)
故S∕6f7”.
6
故252;W"*.
6
方法點(diǎn)睛:數(shù)列求和的常用方法:
(1)公式法:等差數(shù)列和等比數(shù)列直接應(yīng)用其前〃項(xiàng)和公式計(jì)算;
(2)裂項(xiàng)相消法:最典型的數(shù)列:{〃“}是公差為d且各項(xiàng)均不為O的等差數(shù)列,數(shù)列{」一}
α,4+∣
_11z11、
的項(xiàng)需變形:——=7(-----------),然后求和;
??÷ιdal,α,,tl
(3)錯(cuò)位相減法:{a,J是等差數(shù)列,色」是等比數(shù)列,則數(shù)列{%〃,}的前〃項(xiàng)和需用此法;
(4)分組(并項(xiàng))求和法:例如僅,}是等差數(shù)列,仍“}是等比數(shù)列,則數(shù)歹∣J{%+4}的前W
項(xiàng)可用分組求和法;
(5)倒序相加法:與等差數(shù)列有類似性質(zhì)的數(shù)列:首末兩項(xiàng)及與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的
和相等,則可用倒序相加法求和.
五、解答題
17.在等差數(shù)列{q,}中,αιn=19,?=99.
(1)求{%}的通項(xiàng)公式;
⑵求數(shù)列"+2x(;).的前〃項(xiàng)和S,,.
【正確答案】⑴4=2”-1
(2)S11="2+1—(g)
【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求d和%,由此可求
通項(xiàng)公式;
(2)利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式求S,,.
【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列{q}的公差為止
因?yàn)?O=19,%o=99,
所以q+9d=19,q+49d=99,
所以a∣=l,d=2,
故=2”-l.
(2)由(1)q,+2x(;)=(2"-l)+2x(g),
所以S,,=l+2xg+3+2χ(g)+5+2χ(g)+…+(2W-I)+2Xe)
所以S,,=l+3+5+―+(2"-l)+2→(^
n(l÷2/1-1)C1
所以S.=+2×-×?-(l?
2314
故S,,="+i-(g).
18.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng),該活動(dòng)共有四關(guān),只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng),參加活
動(dòng)的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān),只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7,
第二關(guān)、第三關(guān)的通過率均為0.5,第四關(guān)的通過率為0.3,四關(guān)全部通過可以獲得一等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)
金為500元),通過前三關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為200元),如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等
獎(jiǎng),獎(jiǎng)金可以累加.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立,現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).
(1)求甲最后沒有得獎(jiǎng)的概率;
(2)己知甲和乙都通過了前兩關(guān),求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為900元的概率.
【正確答案】⑴0.825
(2)0.105
【分析】(1)分第一關(guān)未通過,第一關(guān)通過第二關(guān)未通過,前兩關(guān)通過第三關(guān)未通過三種情
況,結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式,求解即可;
(2)若獎(jiǎng)金為900,則甲和乙一人得一等獎(jiǎng)一人得二等獎(jiǎng),計(jì)算對(duì)應(yīng)概率即可.
【詳解】(1)記第一關(guān)未通過為事件A,第一關(guān)通過第二關(guān)未通過為事件8,前兩關(guān)通過第
三關(guān)未通過為事件C,甲最后沒有得獎(jiǎng)為事件。,
則尸(A)=O.3,P(B)=O.7x(1—0.5)=0.35,P(C)=O.7x0.5x(l-0.5)=0.175,
故P(D)=P(A)+P(3)+P(C)=0.825.
(2)記通過了前兩關(guān)時(shí)最后獲得二等獎(jiǎng)為事件E,通過了前兩關(guān)時(shí)最后獲得一等獎(jiǎng)為事件
F,
則P(E)=O.5X(1-0.3)=0.35,P(F)=O.5*0.3=0.15.
因?yàn)榧缀鸵易詈笏锚?jiǎng)金總和為900元,所以甲和乙一人得一等獎(jiǎng)一人得二等獎(jiǎng),
故甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為900元的概率為0.35x0.15+0.15x0.35=0.105.
19.已知圓M[x+3)2+y2=i6,圓M(x-3)?+/=4,圓P與圓M,圓N都外切,圓P的
圓心的軌跡記為Q.
(1)求。的方程;
⑵若直線L"3x-4與。交于4,B兩點(diǎn),求IABI.
【正確答案】(I)V-E=I(X>1)
8
⑵4θG
【分析】(1)設(shè)圓P的半徑為廠,由圓P與圓M和圓N都外切,得出IPMHPM等于定值,
由雙曲線的定義知,軌跡Q為雙曲線的右支(除去頂點(diǎn)),寫出方程即可.
(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程,利用韋達(dá)定理和弦長公式求出IA即即可.
【詳解】(1)M(-3,0),N(3,0),∣MN∣=6,
設(shè)圓P的半徑為r,因?yàn)閳AM與圓N的半徑分別為4,2,
所以IPM=4+r,∣PN∣=2+r,所以IPMTPNl=2,
又圓M與圓N相切于點(diǎn)(1,0),
所以軌跡。為以M(-3,0),N(3,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2的雙曲線的右支(除去頂點(diǎn)),
故。的方程為f-!=l(x>l)?
8
√-Z=,
(2)聯(lián)立8'得Y-24x+24=0,
y=3x-4,
設(shè)Aa,χ),B(x2,y2),由韋達(dá)定理可得玉+當(dāng)=中2=24,
22
??∣AB∣=√l+3×5∕(XI+X2)-4X1X2=40√3.
20.在等比數(shù)列{q}中,4=4,且3α,-a4=8.
⑴求{q,}的通項(xiàng)公式;
(2)若%≠4,C=4,("〃+4-網(wǎng),求數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和Srr.
【正確答案】(1)4,=2"或可=4
⑵S“=疝I?2""-2
【分析】(1)設(shè)公比為4,根據(jù)條件列出方程,求出生與夕的值,進(jìn)一步可得。.;
(2)求得〃,=2"?(2而i-M)=√^R?2"M-6?2",從而利用裂項(xiàng)相消法即可求出S“.
【詳解】ɑ)設(shè)公比為q,因?yàn)椤?4,且3o,-%=8,
所以12q-4q2=8,解得9=1或9=2.
當(dāng)q=1時(shí),αl=4,??=4;
當(dāng)q=2時(shí),α∣=2,an=2×2"^'=2".
(2)因?yàn)椋4,所以q,=2”,
所以2=2"?Q4TTJ6?2",
所以5,=血"一√T?2+百晝―0.2?++√^+T?2n+l-√Λ?2,,=√n+T?2,,+1-2.
21.如圖1,在平行四邊形488中,AB=2AD^4,ADAB=60°,E,尸分別為A8,CD
的中點(diǎn).將V45E沿OE折起到。E的位置,使得平面,平面BEOF,將C尸沿
8F折起到尸的位置,使得二面角E-BF-G的大小為120。,連接AG,A/,C1E,
得到如圖2所示的多面體Aa8。尸.
(1)證明.OE?LA尸
(2)求直線BG與平面AGE所成角的正弦值.
【正確答案】(1)證明見解析;
3√13-√39
26-
【分析】(1)取DE的中點(diǎn)。,連接AO,F。,證明A。,QE,FOLOE,由線面垂直判定定
理證明OEl平面4。尸,由此證明。ELA/;
(2)由面面垂直性質(zhì)定理證明A。,平面BEDF,建立空間直角坐標(biāo)系,求直線Ba的方向向
量與平面AGE法向量,利用向量夾角公式求兩向量夾角余弦可得結(jié)論.
【詳解】(1)在圖1中,連接EF,因?yàn)樗倪呅蜛BCo為平行四邊形,E,F分別為AB,CD
的中點(diǎn),AB=4,所以。F∕∕AE,DF=AE=2,
所以四邊形AEED為平行四邊形,又AT>=2=Af,所以四邊形AEED為菱形,
故AE=EF=田=ZM,同理可證四邊形8C/方為菱形,
故BC=CF=FE=EB,
所以在圖2中,連接ERAO=AEFO=FE,取OE的中點(diǎn)。,連接4。,尸。,
則AtO1DE,FOLDE,
又AoU平面AO尸,F(xiàn)oU平面AQF,At0FO=O,
所以上工平面AO尸,又AFU平面A。尸,所以DELA1F;
(2)由(I)AoJ?OE,因?yàn)槠矫鍭。EJ.平面8Ef>F,平面AOE平面3EDF=Z)E,AoU
平面4OE,
所以A。,平面BEZ*,又FoU平面BEDF,所以A。,尸O,
因?yàn)锳OLOE,A101FO,FOA.DE,
如圖以點(diǎn)。為原點(diǎn),以。E,OF,O4,分別作為XXZ軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)棣獷=防=FD=ZM=2,ZD1AE=60°,所以A(0Q6),E(1,0,0),fi(2,√3,θ),
取BF的中點(diǎn)M,連接GM,EM,因?yàn)閳D1中BC=CR=FE=E3,
所以圖2中£B=EF,CtB=CtF,所以J?BEEM,
所以NGME為二面角E-BF-Ci的平面角,
因?yàn)槎娼荅-B尸-G的大小為120。,所以NGME=I20,
過點(diǎn)Cl作GN_LEM,垂足為N,則NGMN=60,在CMN中,
NGMN=60,ClM=y∣3,NGNM=90,
所以GN=?∣,MN=今所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為",苧,|),
所以Ba=,A,E=(l,0,-√3),EC1=0,哈|
設(shè)平面AGE的法向量為〃,〃=(%,y,zj,
x-?/?z,=0
/1?AE=01
1,取則苔=一
因?yàn)?,所以U3出VJI?nZ[=Ji,3,y=1,
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