計算方法(六)插值函數(shù)的應用省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

插值函數(shù)應用第5章第1頁插值函數(shù)應用

插值方法是一個主要函數(shù)迫近方法，它在數(shù)值微積分和常微分方程數(shù)值解中有主要應用．第2頁由Newton-Leibniz公式，連續(xù)函數(shù)在上定積分其中是原函數(shù)。5.1.1數(shù)值求積公式及其代數(shù)精度無能為力。

不能用初等函數(shù)表示，即找不到原函數(shù)；，，沒有解析表示式，用表格方式給出時；大多數(shù)無窮積分，除特殊無窮積分外。N-L公式已經(jīng)不過大多數(shù)實際問題，經(jīng)常碰到困難是：第3頁即使找到原函數(shù)，不過太復雜上述積分就只能利用數(shù)值積分公式進行近似計算。

（5-1）設是定義在上可積函數(shù)，考慮帶權(quán)積分

在上非負可積，且至多有有限個零點。其中權(quán)函數(shù)所謂數(shù)值求積就是用本節(jié)只討論情形。近似計算值。．

（5-2）第4頁數(shù)值求積公式公式（5-2）稱為數(shù)值求積公式，是與無關(guān)常數(shù)，稱為求積系數(shù)，其中上點稱為求積節(jié)點。

求積系數(shù)求積節(jié)點大家熟知第一積分中值定理：不過詳細位置未知。其幾何意義為：數(shù)值積分公式產(chǎn)生背景矩形面積=曲邊梯形面積。第5頁我們能夠采取不一樣近似方法得到下述數(shù)值求積公式：稱為左矩形數(shù)值求積公式；稱為右矩形數(shù)值求積公式；稱為中矩形數(shù)值求積公式；稱為梯形數(shù)值求積公式。

第6頁（稱為步長），將分點取為插值節(jié)點（也是求積節(jié)點），得到數(shù)值求積公式稱為插值型求積公式。本節(jié)采取迫近函數(shù)是在等距節(jié)點上插值多項式，進行等分，令將則可表示為它Lagrange插值多項式及其余項之和，即

（5-3）所以第7頁稱為點Newton-Cotes公式，其中求積系

這么得到插值型求積公式

(5-6)（5-4）(5-5)求積余項

(5-7)標志著求積公式誤差大小。第8頁時三個公式，

在Newton-Cotes公式中，最慣用是

(5-8)此時這就是梯形求積公式：即梯形求積公式第9頁此時第10頁這稱為Simpson求積公式：

(5-9)深入可得Cotes公式

(5-10)Simpson求積公式Cotes求積公式第11頁練習題用梯形求積公式和Simpson求積公式計算積分解：由梯形求積公式：由Simpson求積公式：第12頁練習題用梯形求積公式和Simpson求積公式計算積分解：由梯形求積公式：由Simpson求積公式：第13頁假如某個數(shù)值求積公式對比較多函數(shù)能準確成立，即

那么這個公式使用價值就較大，能夠說這個公式精度較高．為衡量數(shù)值求積公式精度，引進代數(shù)精度概念。假如某個數(shù)值求積公式，對于任何次數(shù)不超出次代數(shù)多項式都是準確成立但對于次代數(shù)多項式不一定能準確成立，即則稱該求積公式含有次代數(shù)精度．

定義5.1第14頁次代數(shù)精度充要條件是它對顯然，一個數(shù)值求積公式含有這是確定代數(shù)精度最慣用方法。都能準確成立，但對不能準確成立。下面求梯形數(shù)值求積公式和Simpson數(shù)值求積公式代數(shù)精度。

，我們可得對于

故梯形數(shù)值求積公式含有1次代數(shù)精度。第15頁

,我們可得對于故Simposon數(shù)值求積公式含有3次代數(shù)精度。而第16頁普通n+1點Newton-Cotes公式求積余項，有以下定理：當然也能夠經(jīng)過求積余項預計,得到代數(shù)精度．以下先推導幾個求積余項，進而指出n+1點Newton-Cotes公式代數(shù)精度。定理5.1

若其中是奇數(shù)，且;若，則其中．

定理5.1是偶數(shù)，且，則第17頁當為偶數(shù)時，因為對次多項式所以由上述定理可知，點Newton-Cotes公式代數(shù)精度為梯形公式、Simpson公式及Cotes公式代數(shù)精度分別為1，3，5.當為奇數(shù)時，點Newton-Cotes公式代數(shù)精度為第18頁第19頁本節(jié)討論在大區(qū)間上，對于數(shù)值積分使用低階Newton-Cotes5.1.2復化求積公式公式分段處理方法。將等分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用點數(shù)少Newton-Cotes公式，然后再對全部子區(qū)間求和。這么得到數(shù)值求積公式稱為復化Newton-Cotes公式.將區(qū)間進行等分，假如在每個子區(qū)間上用梯形求積公式，即每個子區(qū)間長度則第20頁第21頁由此可得復化梯形公式同理可得復化Simpson公式

(5-14）

（5-13）復化梯形公式復化Simpson公式第22頁練習題解：由復化梯形求積公式：由復化Simpson求積公式：用復化梯形、復化Simpson求積公式計算積分第23頁本節(jié)介紹含有最高代數(shù)精度數(shù)值求積公式，即Gauss型求積插值型求積公式（并未要求取等距節(jié)點）代數(shù)精度最少為5.2Gauss型求積公式公式。(5-32)形如第24頁，則可兩點求積公式為：

兩點Newton-Cotes求積公式是等距節(jié)點梯形公式：其代數(shù)精度為1。

若不限制等距節(jié)點，我們特意去選取由代數(shù)精度定義，分別取令可得到以下非線性方程組：第25頁即最少含有3次代數(shù)精度，又取時，。

故含有3次代數(shù)精度。第26頁這么假如我們用代數(shù)精度最高標準，經(jīng)過求解階非線性方程組來確定全部和共個待定系數(shù)，

就能夠結(jié)構(gòu)出含有次代數(shù)精度數(shù)值積分公式。假如形如（5-32）求積公式含有代數(shù)精度次，則稱其為Gauss型求積公式，并稱其中求積節(jié)點為Gauss點.

定義5.2

定理5.2要使插值型求積公式

第27頁5.2.1Gauss型求積公式與全部次數(shù)不超出多項式在上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交。

要使插值型求積公式

定理5.2

（5-33）含有次代數(shù)精度，必須且只須以節(jié)點為零點次多項式定理5.2換句話為：是Gauss點是正交多項式。是Gauss點是正交多項式根。

第28頁例1求上關(guān)于兩點Gauss型求積公式。結(jié)構(gòu)二次正交多項式

，，令此時，得第29頁或取，由代數(shù)精度定義，得線性方程組則得含有3次代數(shù)精度Gauss-Legendre公式：

第30頁

則有

，這么。對于任意區(qū)間上權(quán)函數(shù)Gauss型求積公式，只需作變量替換：第31頁例，結(jié)構(gòu)求解含有3次代數(shù)精度數(shù)值積分公式。，此求積公式含有2個Gauss節(jié)點。，則取Gauss節(jié)點、求積系數(shù)：從而，得

解：由作變量替換：第32頁若取則含有3次代數(shù)精度公式為：

第33頁例2，確定使以下求積公式為Gauss型求積公式解：首先結(jié)構(gòu)上關(guān)于首項系數(shù)為1二次正交多項式，為此可設

，，，從而有

，，。第34頁第35頁則其零點為：令，用代數(shù)精度定義得：

從而。

第36頁第37頁5.3外推加速與Romberg算法5.3.1逐次分半法能夠推出以復合梯形公式為例。和以下關(guān)系（逐次分半法）其中第38頁復化梯形公式每個小區(qū)間上積分余項停頓準則：第39頁所以即類似地所以能夠?qū)⒆鳛榈ｎD標準第40頁另外，還能夠推出5.3.2外推加速與Romberg算法將復化梯形公式寫成上面已經(jīng)推出，是積分更加好近似。類似能夠推出是越來越好近似。第41頁普通地，有以下Romberg方法：能夠記成當時停頓第42頁例.用Romberg方法求，誤差小于解.因為停頓運算.取真值為第43頁第六章數(shù)值積分6.2.廣義積分6.2.1無界函數(shù)積分設在上連續(xù),在附近無界.計算第44頁1)區(qū)間迭代法令是一個收斂于點列,比如依次計算能夠在時停頓.每一個能夠用(比如)Romberg方法計算第45頁2)區(qū)間截斷假如能夠推出則能夠用近似替換例.計算其中而且解.因為在上,所以要求誤差小于能夠取第46頁3)變量替換比如,計算其中做變量替換,則化成正常積分第47頁4)Gauss求積公式使其含有次代數(shù)精度.例.求,其中而在附近無界.希望選取使其對準確成立.第48頁以為例.求解以下方程組解之,可得第49頁6.4矩形域上二重積分6.4.1插值型求積公式考慮二重積分利用梯形公式,有第50頁能夠深入取求積節(jié)點得到復化梯形公式其中系數(shù)排成以下矩陣第51頁6.4.2Gauss求積公式其中系數(shù)和節(jié)點由一維Gauss求積公式給出,使得求積公式對全部以下二元多項式準確成立:第52頁二維Gauss求積公式系數(shù)與節(jié)點表Gauss點系數(shù)1022130.55555555560.888888888940.34785