奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

8.4.1、奇函數(shù)與偶函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)8.4.3函數(shù)

f(x)在[0,]上展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)8.4正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)第1頁(yè)展開(kāi)式中只含有正弦函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，稱為正弦函數(shù)，只含有余弦函數(shù)包含常數(shù)項(xiàng)稱為余弦級(jí)數(shù).假設(shè)以2

為周期周期函數(shù)f(x)

在[,]內(nèi)是奇函數(shù)，那么傅里葉級(jí)數(shù)一定是正弦級(jí)數(shù).即此時(shí)傅氏系數(shù)8.4.1、奇函數(shù)與偶函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第2頁(yè)于是在區(qū)間()內(nèi)f(x)cosnx為奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零，所以又因f(x)sinnx在區(qū)間()內(nèi)是偶函數(shù)，第3頁(yè)故有

同理能夠推出，當(dāng)函數(shù)

f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)，即此時(shí)傅里葉系數(shù)為第4頁(yè)設(shè)周期函數(shù)f(x)在其一個(gè)周期上表示式例4試將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù).解函數(shù)f(x)圖形如圖所表示，≤≤f(x)

O

x第5頁(yè)所以我們應(yīng)依據(jù)(12.6.6)式計(jì)算傅里葉系數(shù).由圖形對(duì)稱性可知f(x)是偶函數(shù)，第6頁(yè)即故所求傅里葉級(jí)數(shù)收斂于f(x)，又因?yàn)閒(x)處處連續(xù)，第7頁(yè)

(x)稱為f(x)周期延拓函數(shù).且以2為周期函數(shù)，假如

(x)滿足收斂定理?xiàng)l件，我們構(gòu)想有一個(gè)函數(shù)

(x)，設(shè)函數(shù)f(x)定義在[0,]上，它是定義在()上而在[0,]上，

(x)=f(x).那么

(x)在()上就可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，取其[0,]上一段，即為f(x)在[0,]上傅里葉級(jí)數(shù)，8.4.3函數(shù)

f(x)

在[0,]上展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)第8頁(yè)在理論上或?qū)嶋H工作中，下面周期延拓是最為慣用:將f(x)先延拓到(,0)，使延拓后函數(shù)成為奇函數(shù)，然后再延拓為以2為周期函數(shù).這種延拓稱為周期奇延拓;yx322

O周期奇延拓第9頁(yè)這種延拓稱為周期偶延拓.將f(x)先延拓到(,0)，使延拓后函數(shù)為偶函數(shù)，然后再延拓為以2

為周期函數(shù)，周期偶延拓yx322

O第10頁(yè)顯然，周期奇延拓結(jié)果為正弦級(jí)數(shù)，其傅里葉系數(shù)按公式(12.6.5)計(jì)算.即(因在[0,]上，

(x)=f(x)).周期偶延拓結(jié)果為余弦級(jí)數(shù)，

其傅里葉系數(shù)公式為第11頁(yè)例5試將解按式(12.6.8)計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)，第12頁(yè)且延拓函數(shù)在x=0，處連續(xù)，所以(0≤