直線與圓的位置關系第2課時切線的判定與三角形的內切圓課件北師大版數學九年級下冊

3.6直線與圓的位置關系第2課時切線的判定與三角形的內切圓九年級下

北師版1.理解并掌握圓的切線的判定定理并能運用其解決相關問題.2.了解三角形的內切圓和內心的概念及性質.學習目標重點難點轉動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿切線方向飛出的.新課引入l如圖，AB

是

⊙O

的直徑，直線

l

與AB的夾角為∠α.當l繞點

A

旋轉時，OABα（1）隨著∠α

的變化，點O

到

l

的距離

d

如何變化？直線

l

與

⊙O

的位置關系如何變化？dll思考一

圓的切線的判定新知學習∠α

從90°變小到0°，再由0°變大到90°，點O

到

l

的距離

d

先由r

變小到0，再由0變大到r.直線

l

與⊙O

先相切，再相交，最后又相切.lOABαdlllOABαdll（2）當∠α

等于多少度時，點O

到

l

的距離

d

等于半徑r？此時，直線

l

與⊙O

有怎樣的位置關系？為什么？當∠α=90°時，點O

到l的距離

d

等于半徑r.此時，直線

l與⊙O

相切.切線的判定定理過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.ABC符號語言O歸納∵l⊥OA

，且l

經過⊙O上的A

點，∴直線l

是⊙O

的切線.溫馨提示切線必須同時具備兩個條件：1.直線過半徑的外端;2.直線垂直于這條半徑.例1判斷下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)解：(1)不是，因為沒有垂直.(2),(3)不是，因為沒有經過半徑的外端點A.做一做用三角尺過圓上一點畫圓的切線.如下圖所示，已知⊙O

上一點A，過點A畫⊙O

的切線．Al（2）過點P沿著三角尺的另一條直角邊畫直線l，則l就是所要畫的切線.

畫法：如圖所示.（1）連接OP，將三角尺的直角頂點放在點P處，并使一直角邊與半徑OP

重合；1.已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB．求證：直線AB是⊙O的切線．OBCA證明：連接OC(如圖).∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰△OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線.針對訓練2.如圖,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中點，⊙O

與AB相切于E.求證：AC是⊙O的切線．OCEAFB分析：根據切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OE是⊙O的半徑就可以了.而OD是⊙O的半徑，因此需要證明OE=OD.證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E

，

∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．又OE⊥AB，OF⊥AC.歸納(1)已明確直線和圓有公共點，連結圓心和公共點，即半徑，再證直線與半徑垂直.簡記“有交點，連半徑,證垂直”;(2)不明確直線和圓有公共點，過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑.簡記“無交點，作垂直,證半徑”.圖1圖2證切線時輔助線的添加方法：切線的判定方法有三種：①定義法：直線與圓有唯一公共點；②數量關系法：直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③判定定理：切線的判定定理．即經過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線.歸納

如圖是一張三角形的鐵皮，工人師傅要從中截下一塊圓形的用料，怎樣才能使截下的圓的面積盡可能大呢？二

三角形的內切圓及內心第一種情況ABCABC第二種情況ABC第三種情況ABC第四種情況可能有以下幾種情況：第四種情況是我們想要的，你是怎么畫出來的？作法：1.分別作∠ABC，∠ACB的平分線BE和CF，交點為I.2.過I作BC的垂線，垂足為點D.3.以點I為圓心，以ID的長為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓.已知：如圖，△ABC.求作：⊙I，使它與△ABC的三邊都相切.ABCI●EF┓D┓┗┗歸納1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI☉I是△ABC的內切圓，點I是△ABC的內心，△ABC是☉I的外切三角形.思考與△ABC的三條邊都相切的圓有幾個？因為∠B和∠C的平分線的交點只有一個,并且交點O到△ABC三邊的距離相等且唯一，所以與△ABC三邊都相切的圓有且只有一個.D名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內心在三角形內部．ABOABCO歸納例3

如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的長.解：設AF=x，則AE=x.CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.針對訓練1.下列說法錯誤的是()A．三角形有且只有一個內切圓B．等腰三角形的內心一定在它的底邊的高上C．三角形的內心不一定都在三角形的內部D．若I是△ABC的內心，則AI平分∠BACC2.如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內心，求∠BIC的度數.ABCI解：連接IB，IC.∵點I是△ABC的內心，∴BI，CI分別平分∠ABC，∠ACB.在△IBC中，3.如圖，在△ABC中，I是內心，∠BAC的平分線和△ABC的外接圓相交于點D.求證：DI＝DB.證明：連接BI.∵I是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD.∴BD=ID．歸納求三角形內切圓的問題，一般的作輔助線的方法為：一是連頂點、內心產生角平分線；二是連切點、內心產生半徑及垂直條件.你學會了嗎？隨堂練習1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D,E,F,若⊙O的半徑為2,則△ABC的周長為()A.14B.20C.24D.30D2.如圖，點I是△ABC的內心，AB=5，AC=4，BC=3，將△ABC平移使點C與點I重合，重疊部分面積為_______△ABC∽△GFIK△ABC為直角三角形ID=IE=IH等面積求出IH，CK3.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點M是△ABC的中線AD上一點，以M為圓心作⊙M.設半徑為r

（1）如圖，當點M與點A重合時，分別過點B，C作⊙M的切線，切點為E，F.求證：BE=CF

解：（1）如圖1，連接AE，AF，∵BE和CF分別是⊙O的切線，∴∠BEA=∠CFA=90°，∵AB=AC,AE=AF,∴Rt△BAE≌Rt△ACF(HL),∴BE=CF;（2）如圖2，若點M與點D重合，且半圓M恰好落在△ABC的內部，求r的取值范圍；（2）如圖2，過點D作DG⊥AB于點G，∵AB=AC=5，AD是中線，∴AD⊥BC，∴AD=∴∴∴當0<r<

半圓M恰好落在△ABC內部G（3）當M為△ABC的內心時，求