2024年高考二級(jí)結(jié)論速解技巧交、并、補(bǔ)(且、或、非)之間的關(guān)系(德-摩根定律)（教師版）

專題02交、并、補(bǔ)(且、或、非)之間的關(guān)系(德?摩根定律)

一、結(jié)論

交、并、補(bǔ)(且、或、非)之間的關(guān)系(德?摩根定律)

⑴集合形式c,(An3)=(C,A)U(C,B),C,(AUB)=(C,A)A(C,B)

(2)命題形式:Aq)=(「p)v(」q),T。vq)=(」p)A(」q)

二、典型例題(高考真題+高考模擬)

例題1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合d三B={x|y=ln(3-x)},則(圖4)“。8)=

()

A.(2,3)B.[3,4]

C.(-co,2]u[3,+00)D.(-8,3]U[4,+CO)

【答案】C

【詳解】由題意得

A={X|2<X<4},8={X|X<3},AC8=(2,3),(Q,A)U([RB)=(-a),2]u[3,+o>),

故選:C

【反思】本題充分利用德摩根律&A)UQB)=4(403),解題時(shí)，可通過(guò)先求出Ac8=(2,3),再根據(jù)德

摩根律，利用結(jié)論，可以快速選出答案.

例題2.(2023春?四川瀘州?高二四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知P：尤2-7尤+10<0,q：

x2-4mx+3m2<0,其中相>0.

(1)若m=4且〃人4為真，求x的取值范圍；

(2)若「4是「。的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)4<x<5；(2)!<m<2

【詳解】由月一7彳+10<0,解得2<尤<5,所以P：2cx<5,

又/一4蛆+3/<0,且加〉0,解得加<x<3機(jī)，所以9：m<x<3m.

(1)當(dāng)m=4時(shí)，Q：4Vx<12,

因?yàn)椤ò肃l(xiāng)為真，所以，夕都為真，所以4<元<5.

(2)因?yàn)椤?是可的充分不必要條件，所以2是4的充分不必要條件，

m<2

因?yàn)镻：2Vx<5,Q：m<x<3m,所以<3機(jī)25,解得相42.

m>0

【反思】本例中第2問(wèn)，若「9是可的充分不必要條件，等價(jià)變換為〃是q的充分不必要條件，從而通過(guò)

求出命題p：2Vx<5,q：加<x<3根根據(jù)充分性和必要性條件，求出參數(shù)機(jī)的取值范圍.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023秋?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合M={x|0<x<4},W={x|3<x<5},則（以/1自解）=（）

A.{小<3或x24}B.{x\3<x<4}

C.{,x40或x>5}D.{x|0<x<5}

【答案】C

【詳解】由已知得4知={月彳<0或x24},（；N={尤|無(wú)<3或x>5},

或x>5}.

故選：C.

2.（2022秋?上海浦東新?高一?？茧A段練習(xí)）集合A,B,C是全集U的子集，且滿足=則

（）

A.AnB=AnCB.B=C

C.&A）cB=&A）cCD.An&B）=An&C）

【答案】C

【詳解】若C=AU8,如下圖示，

由圖知：AcB=AcC、B=C、An&B）=An（&C）不成立，A、B、D排除;

故選：C

3.（2022,高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)全集U,有以下四個(gè)關(guān)系式：

甲：AnB=A；乙：AUB=B；丙：圖圖A；T：?⑷口④為二&4.

如果有且只有一個(gè)不成立，則該式是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

【答案】C

【詳解】由題意，甲：

乙：A<^B

丙：GHUCJ7Aoet4=A

T：（G，A）u（q⑶=AS

由于甲、乙、丁是等價(jià)的，故如果有且只有一個(gè)不成立，則該式是丙

故選：c

4.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)命題）："x<0"是"Iog2（x+D<。"成立的必要不充分條件.命題公

若不等式ae*Nx恒成立，貝Me下列命題是真命題的（）

A.人4）B.Rvq

C.RAFD.RVrq

【答案】B

【詳解】log2（x+l）<。，解得：-l<x<0.

因?yàn)椋═O）氫-e,0）,所以"x<0"是"log2（x+l）<0"成立的必要不充分條件.故p為真命題;

若不等式—亙成立，所以。咕.

記〃力=土，只需/〃尤小.

求導(dǎo)得：:（司=宏,令-（力=0,解得:尤=1，列表得:

（一夕1）1(1,+°0)

尸（X）+0-

/W單增極大值單減

所以〃尤/=〃1)=:?

所以。2上故q為真命題.

e

對(duì)于A：「（。人4）為假命題.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：r7v?為真命題.故B正確；

對(duì)于C：可人小為假命題.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D："vrq為假命題.故D錯(cuò)誤；

故選：B

二、多選題

5.（2022秋?浙江?高一期中）已知集合A中含有6個(gè)元素，全集U=Au8中共有12個(gè)元素，（&A）U&8）

中有m個(gè)元素，已知加28,則集合2中元素個(gè)數(shù)可能為（）

A.2B.6C.8D.12

【答案】BC

【詳解】解：因?yàn)椋?A）3&B）=Q/（ACB）中有機(jī)個(gè)元素，

所以Ac8中有12-機(jī)個(gè)元素，

設(shè)集合B中元素個(gè)數(shù)為x,

又集合A中含有6個(gè)元素，

則x+6—（12—機(jī)）=12,即機(jī)=18—x,

因?yàn)闄C(jī)28,

所以）410,

又U=中共有12個(gè)元素，

所以xN6,

則6WxW10,

故選：BC

6.（2022秋?湖南株洲?高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)U為全集鳥，邑是U的兩個(gè)非空子集，且EUS2=U,則下

列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.S,uS2=0B.5^（^）

c.（卻百卜（02）=0D.CsJcQs?）”

【答案】ABD

【詳解】由題S”S2不為空集，所以S?S2W0,；.A錯(cuò)誤，

當(dāng)每qs2,s2=u時(shí)，滿足Eu邑=u旭00s2=0，，B錯(cuò)誤,

'''S1uS2=UCu^!n=Cu（S1uS2）==0,:.C正確，D錯(cuò)誤，

故選：ABD.

7.（2022秋?江西萍鄉(xiāng)?高一江西省蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)全集為U,在下列條件中，是B=A的充要

條件的有（）

A.AuB=AB.（Q/A）nB=0C.（Q7A）c（Q/B）D.AU（Q；B）=t/

【答案】ABCD

【詳解】對(duì)于A,若Au8=A,則3=4；反過(guò)來(lái)，若則AuB=A,故互為充要條件，故正確；

對(duì)于B,如下Venn圖，

若&A）c3=0,則8=A,若則（qA）cB=0,故正確;

選項(xiàng)C中，若@4口(18),則反過(guò)來(lái)，若BQA,則(卻力^可，故互為充要條件，故正確；

選項(xiàng)D中,若AU&B)=U,則@A)u(jB),故BqA；反過(guò)來(lái)，若BqA,則@A)u&8),故AU@B)=U,

故互為充要條件，故正確.

故選：ABCD.

三、解答題

8.(2023春?四川瀘州?高一四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)全集U=R,集合A={x|2x-1N1},

e={x|x2-4x-5<0}.

(I)求AClB,(]UA)U(]UB)；

(II)設(shè)集合C={x[m+l<x<2m-l},若BCC=C,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(I){x|尤<1或立5},(H)(-8,3].

【詳解】解：(I)?:全集U=R,集合A={尤|2尤含1}=任|應(yīng)1},

B={x|X2-4X-5<0}={尤|-1<%<5}

.,.AnB={x|l<x<5},

(CUA)U(CUB)={x|x<l或應(yīng)5}

(II)r集合C={x|m+1VxV2/n-l},BcC=C,

:.CUB,

當(dāng)C=0時(shí),2m-\<m+\

解得m<2

m+K2m-1

當(dāng)CH0時(shí)，由。=8得<m+l>-l,解得：2c加3

Im-1<5

綜上所述：機(jī)的取值范圍是(-8,3]

9.(2022秋?遼寧沈陽(yáng)?高一沈陽(yáng)市第一二。中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合&={尤卜2a+3