2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版）8 .5 橢圓

§8.5橢圓

【考試要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)

稱性、頂點(diǎn)、離心率）.3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Q,3的距離的和等于常數(shù)（大于尸聲2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦慮，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

2.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形X

B\OLIJB2X

y227

標(biāo)準(zhǔn)方程^2-t-p=l(a>b>0)5+"=1(心〃>0)

范圍—aWxWa且一—b&x<b且一

4](—q,0),。2(。,0),Ai（O,—。），42（0，。），

頂點(diǎn)

5i(0,一份，①(0,b)昂(一七0),BzSO)

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2cl

焦點(diǎn)F](—c,O),/GO)&（0,—c）,或（0，。）

焦距\FtF2\=2c

對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸和y軸,對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率

a,b,c的關(guān)系片=從+一

【常用結(jié)論】

橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的點(diǎn)尸（沖，火）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PMB叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)NQPF2=。.

⑴當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，8最大,最大.

2

⑵鹿開外=1|PFi||PF2|sinO=btan1=c|y0|.

（3）|PF]|max=a+c,\PF]\min=a—C.

_<|PFI|+|PF|Y.

（4）|PFiHPB|W^―~2[）2^a2.

222

（5HC=|PFi|+|PF2|-2|PFiI|PF2|COS0.

（6）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2（a+c）.

r思考辨析，

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,B的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（X）

（2）橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.（V）

2?

⑶器+，=1（機(jī)工〃）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.（X）

（4）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（X）

（教材改編題】

1.橢圓存+樂(lè)=1上點(diǎn)尸到上焦點(diǎn)的距離為%則點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為（）

A.6B.3C.4D.2

答案A

27

解析由橢圓方程言+言=1,得。2=25,即。=5,設(shè)下焦點(diǎn)為Fi,上焦點(diǎn)為人，貝U|PQI

+|尸6|=2=10,因?yàn)閨P尸21=4,所以|PFi|=6,即點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為6.

2.已知橢圓C：，+§=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則C的離心率為（）

A.|B.|C.乎D.平

答案C

解析由已知可得"=4,c=2,則層=廬+/=8,所以。=2限，

則離心率6=。=乎.

3.若橢圓C：f+f=l,則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為（）

A.3B.2+小

C.2D邛+1

答案A

解析由題意知a=2,b=事,所以c=l,則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c=3.

■探究核心題型

題型一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1（1）（2022?麗江模擬）一動(dòng)圓P與圓A：（》+1）2+9=1外切，而與圓B：（工一1）2+）?=64

內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.雙曲線的一支

答案A

解析設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為r,

又圓4：（尤+1）2+?2=1的半徑為］,圓8：（x—l）2+y2=&|的半徑為8,

則|B4|=r+l,\PB\=S-r,

可得照|十|PB|=9,又9>2=依劇,

則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.

2,2

⑵設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：，+^=l（a>2）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，尸2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且NQPF2=60。,

則△PF/2的面積為.

答案羋

解析方法一由題意知，。=亞二i

又/FiPB=60°,\PFi\+\PF2\^2a,

|「16|=2人容一4,

AIF,BP=（|PQI+|PBI）2—2\PF{\\PF2\-2|尸尸山PF21cos60°

22

=4a-3>\PFi\\PF2\^4a-16,

山「&|=竽，

.*?S&PFE=||PQ||P&|sin60°

3&近

-232

4小

一31

方法二由題意得及=4,NQPB=60°,...S△因居=4Xtan30°=華.

延伸探究若將本例(2)中“NF|PF2=60。”改成“PFI_LPF2"，求的面積.

解-：PF\LPF2,

2222

.,.|PF1|+|PF2|=|FIF2|=4(?-4)

=4廿一16,

又|PB|+|P&l=2mIPFIF+IP尸2『=(伊尸1|+伊司)2—2甲尸1|仍尸2|,

...|PFIHPF2|=8,

,=3PQIFBI=4.

思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值

和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知△ABC的周長(zhǎng)為12,8(0,-2),C(0,2),則頂點(diǎn)A的軌跡方程為()

22

A.器+==l(x#0)

B-12+16=1(>^0)

C念+為=1(及。)

味+標(biāo)叱。)

答案A

解析..?△ABC的周長(zhǎng)為12,頂點(diǎn)8(0,-2),C(0,2),

：.\BC\=4,|AB|+|AC|=12-4=8,

...點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

又8>4,

.,.點(diǎn)A的軌跡是橢圓，且a=4,c—2,

：.b2=\2,

.,.橢圓的方程為去7+汽=l(xW0).

72

⑵(2023?鄭州模擬港尸為橢圓C：++髭=1的右焦點(diǎn)，4,B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△AB尸周

長(zhǎng)的最大值為()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如圖，設(shè)E為橢圓C的左焦點(diǎn)，

則由橢圓的定義可得△ABF的周長(zhǎng)為|AF|+|Bf]+1AB|=2〃一|AFi|+2a—|BFi|+=4〃+1

一|AB|—|=20+|AB|-|AFi|-|BFi|,

當(dāng)A,B,Fi共線時(shí),|AB|-|AFi|-|BFi|=0,

當(dāng)A,B,Fi不共線時(shí),|AB|-|AFi|-|BFi|<0,

所以△ABF周長(zhǎng)的最大值為20.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點(diǎn)1定義法

例2(2023?南京模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為吊(0,2),尸2(0,-2),P為橢圓上任意一點(diǎn)，

若I尸1EI是|「四，IP&I的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

答案D

解析由題意|PF||+|PF2l=2|QF2l=8=2a,故a=4,又c=2,則％=2小，

焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為瞪+岸1.

命題點(diǎn)2待定系數(shù)法

例3已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)Pi(#,1),P2(一小，一也),

則該橢圓的方程為.

答案卷+.=1

解析設(shè)橢圓的方程為/加+〃>2=1(〃2>0,心0,且

將外，尸2代入方程，

6機(jī)+〃=1,

得

3m+2幾=1,

解得j]

—

所以橢圓的方程為5+9=1.

思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

⑴定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

⑵待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的6Z,兒當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，

一般可設(shè)所求#有圓的方程為nvr+ny2=1（/H>0,n>0,不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系

數(shù)法求出m,n的值即可.

跟蹤訓(xùn)練2（1）“14<5”是方程“￡+1=1表示橢圓”的（）

KkDK

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

k—1>0,

解析當(dāng)方程盧；+尸7=1表示橢圓時(shí)，必有<5—Q0,所以1或<5且k￥3,

k~1j—k

K-1W5T,

當(dāng)1<g5時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)k=3時(shí)，方程變?yōu)椤?丁=2,它表示一個(gè)圓，

即“1必<5”是“方程￡"+1=1表示橢圓”的必要不充分條件.

K—1j—k

9,2

（2）（2022?南京師大附中模擬）已知過(guò)橢圓，+%=1（〃>/?（））的左焦點(diǎn)Q（—1,0）的直線與橢圓交

于不同的兩點(diǎn)A,B,與），軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C,入是線段AB的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程是（）

A.E=1Bf+4=1

C尤+￡=1口e+上=1

十2?口4十31

答案B

解析如圖，不妨設(shè)A（冽，泗）在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)Q（—1,0）,點(diǎn)C,人是線段A8

的三等分點(diǎn)，

得C為AQ的中點(diǎn)，B為8c的中點(diǎn),

所以&=1,

所以普+￡=1，

解得yo="即A0，

所以《0,聶）,B（-2,得）,

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程得4方+4，亨廠=1,

2

即34+力h=1,

a4相

結(jié)合層一戶=/=1,解得〃2=5,從=4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是獲+9=1.

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1離心率

22

例4（1）（2022?太原模擬）設(shè)尸1，乃是橢圓E：，+g=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q且斜

率為坐的直線交橢圓于點(diǎn)尸，若2NPFIF2=NPFFI,則橢圓E的離心率為（）

A.A/3+1B.V3-1

答案B

解析因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F1且斜率為手的直線交橢圓于點(diǎn)P,且2NPF|F2=NPF2FI,則有NPFIB

=30°,ZPF2FI=60°,

因此，在△PFi&中，NFIPF2=90°,令橢圓半焦距為c,于是得|PFi|=|FL21cos30。=小c,

尸尸2|=囚尸2卜sin30。=。，

由橢圓定義得2"=|尸~|+|尸6|=（小+l）c,則e=5=X^y=小一1,

所以橢圓E的離心率為小一1.

⑵（2022?全國(guó)甲卷）橢圓C：「+/=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸

對(duì)稱.若直線AP,AQ的斜率之積為*則C的離心率為（）

A.坐B.坐C.JD.1

答案A

解析設(shè)P（m,〃）（〃W0）,

則。（一加,n）,易知4-4,0）,

—,n_____n川1

所以kAP-kAQ^m+a_m+a=^^2=4-（-）

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,

加2九2Z.2

所以7=1,得獷=^5(標(biāo)一機(jī)-),

代入(*)式，得

所以e=G=V1一戶"浮

思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法

(1)直接求出〃，c,利用離心率公式e=：求解.

力2

(2)由a與人的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=求解?

(3)構(gòu)造a,c的方程.可以不求出a,c的具體值，而是得出。與c的關(guān)系，從而求得e.

命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題

(1)(2023?長(zhǎng)沙模擬)已知Q,尸2為橢圓，+方

例5=1(〃>6>0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率

為;，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則NF1MF2的最大值為()

7ic兀一2九c3兀

A4.]B，2C.-^-D彳

答案A

解析如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，/Q例巳最大,

：.\MO\=h,\MFi\=a,\OF2\=c,

..\QEAc1

..s】n/OMF2=|MF2|=『》

71

：./OMF?=E，

故N尸1加尸2=?

jr

所以NQMF2的最大值為不

(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓￡+￡=130)的離心率e=*F,A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右

頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則而?皮的最大值為

答案4

解析由題意知。=2,因?yàn)閑=5=；，

所以c=l,所以序=/—，=3,

故橢圓的方程為3+9=1.

設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(沖，泗)，-2<xo<2,一小WyoW小,

3

v22-

代入4+了v=1,4

因?yàn)槭?一1,0),4(2,0),

所以PF=(—1—xo,—yo),PA—(2—xo,—yo),

所以際?現(xiàn)=看一xo—2+M=58—m+l="(xo—2)2,

所以當(dāng)?shù)?一2時(shí)，兩?或取得最大值4.

思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

72

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023?鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓￡，+方=13*0)的左、右焦點(diǎn)分別為人，F(xiàn)z，

上頂點(diǎn)為A,射線AF,交橢圓E于點(diǎn)B,以AB為直徑的圓過(guò)F2,則橢圓E的離心率是()

A應(yīng)R^31正

答案D

解析由題意|AQ|=|AF2l=4,

設(shè)|8Fi|=r,貝！］出尸2|=2。一八

又以A3為直徑的圓過(guò)生，

所以巳，

所以a2+(2a—t')2—(a+t)2,

2

解得，=燙，

4

所以山公尸王，

在△AFiB和△BFiB中，由余弦定理得

￡

優(yōu)

4

-16

f

4C99z

2C

鏟

因?yàn)閆AF1F2+ZBFIF2=180°,

所以COSZAFIF2+COSZBFIF2=0,

c3c2-

即LF-=。，

整理得/=5，，

所以0=2=坐.

922

(2)已知橢圓宗+方=1(〃>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(c,0),上頂點(diǎn)為4(。，b),直線工=于上存在一點(diǎn)

戶滿足(碎+茂)?崩=0,則橢圓的離心率的取值范圍為()

A?1)B惇1)

。［與0D(0,乎］

答案C

解析取AP的中點(diǎn)Q,則由《即+為，

所以(前+蔭)?喬=2的?崩=0,

所以尸Q_L4P,所以△AFP為等腰三角形,

即|阿=|FP|,且|冏=/？+。2=。

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=5"上，

〃2〃2

所以|FP|2"—c,即。2丁一c,

足

所以葭a土》一1,所以/+e—120,

解得e2與1或eW子二1

又OVeVl,故為一WeVL

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

92

1.（2023?昆明模擬）已知橢圓,+看=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi，B，過(guò)尸2的直線交橢圓于M，N兩

點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由務(wù)《=1得”=2.

因?yàn)镸,N是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)i,B是橢圓的焦點(diǎn)，

所以|MFi|+\MF2\^2a,\NFt\+\NF2\=2a,

因此的周長(zhǎng)為|MFi|+|MM+WF||=|MFi|+|MF2|+|NF2l+|NF||=2a+2a=4a=8.

2.（2022?全國(guó)甲卷）已知橢圓C：樂(lè)+/=1（"＞匕＞°）的離心率為/A”4分別為C的左、右

頂點(diǎn)，2為C的上頂點(diǎn).若瑞?詼=-1,則C的方程為（）

A.希+5=1Bf+f=1

C.y+2-=1D.5+y2=i

答案B

解析依題意得4（一。,0）,從2（。,0）,5（0,b）,

所以5Ai=（一—b）,3A2=3，—b）,

BAiBA2=-a2+b2=—（a1—b2）=—?=—1,故c=1,

又C的離心率e=\=!=g，

所以4=3,。2=9,y=02一寸=8,

所以C的方程為5+W=i.

yo

3.（2022■貴陽(yáng)模擬）己知F”尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn)，且/尸聲&=30。，|PQ|

=小尸巳|，則橢圓C的離心率為（）

小T小一］小+1小+1

A?B?2C?D?3

答案B

解析令|PF2|="?,則|尸尸||=于，〃，

...|P￡|+|「巳|=（S+1）"，=2a,

ZB（小+1），"

Wci-2>

又由余弦定理知，（2c）2=（小川產(chǎn)+川―2.小〃I-7WC0S30°,

即4/="也

??〃Z=2c,付C=5，

._c_____m_____小―]

,?°a（小+\）m2

4.（2023?濮陽(yáng)模擬）已知橢圓C：宗+￡=13>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，6，直線產(chǎn)fcv（QO）

與C交于M,N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M,Fi，N,F2四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的

取值范圍是（）

A.售1）B停,1）

C.[存1）D（0,明

答案A

解析設(shè)橢圓的半焦距為c,

由橢圓的中心對(duì)稱性和M,Fi,N,B四點(diǎn)共圓，

知四邊形歷FiNB為矩形，

所以以FiB為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，

貝ijc>b,即c2>Z>2=a2—c2,

所以2c2>a2,

故當(dāng)<e<l.

5.（多選）（2022?重慶模擬）如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成《0〈咐）角的平面截圓柱，截面是

一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2,。=鼻，則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4

?v/2

B.橢圓的離心率為手

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是普+￡=1

D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為4-2^3

答案CD

解析設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為短半軸長(zhǎng)為6,半焦距為c,橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為

圓柱底面圓直徑，

H4

則由截回與圓柱底面成銳二面角得2a=cos解得〃=4,A不正確；

顯然6=2,則。=#&2一序=2小,離心率e=§=坐，B不正確；

當(dāng)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線為），軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程為木+1=1,C正確；

橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a—c=4—2小,D正確.

2

6.（多選）（2022?白山模擬）橢圓C："+V=1的左、右焦點(diǎn)分別為F2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

下四個(gè)命題中正確的是（）

A.若過(guò)點(diǎn)6的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)為8

B.橢圓C上存在點(diǎn)P,使得麗?配=0

C.橢圓C的離心率為3

D.若P為橢圓苧+V=1上一點(diǎn)，。為圓/+y2=l上一點(diǎn)，則點(diǎn)p,。的最大距離為3

答案ABD

解析由橢圓C：，+）2=1得“2=4,b2=l,c2=a2—b2=3,

過(guò)點(diǎn)后的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),則△ABFi的周長(zhǎng)為4〃=8,故A正確；

因?yàn)閏>〃，所以以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓交y軸于短軸頂點(diǎn)的外部，所以存在點(diǎn)P,

使得/尸出尸2=90。，即使得麗?羽=0,故B正確；

橢圓C的離心率6=?=坐，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镻為橢圓，+y2=l上一點(diǎn)，。為圓r+y2：1上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,。的坐標(biāo)為P（2,0）,Q（—

1,0）或P（—2,0）,Q（l,0）時(shí)，點(diǎn)P,Q的距離最大，|PQ|max=2+l=3,故D正確.

7.（2022.天津模擬）已知8（一小，0）是圓A：（x一?。?+尸=16內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一

點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為.

答案j+/=i

解析如圖，連接BO,由題意得|8￡）|=|C￡）|,則|BD|+|D4|=|CD|+|D4|=4>2小=|AB|,

由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±小，0),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,

故短半軸長(zhǎng)為1,故動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為示+V=L

8.(2023?平頂山模擬)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,l),橢圓C上的點(diǎn)到尸的距離的最小值

為1，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若尸為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，M(3,3),則|PM|-IPQ

的最小值為.

答案^+f=l1

解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(0,1),所以橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且c=l,

因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到F的距離的最小值為1,所以a-c=l,得。=2,

因?yàn)椤?=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為千+尹1；

將M(3,3)代入橢圓方程，得卜點(diǎn)=賽1，所以“點(diǎn)在橢圓外，

如圖所示，設(shè)橢圓C的另一個(gè)焦點(diǎn)為F',

則|Pfl+|PF'|=4,

所以|PM-|PQ=|PM+|PF'|-4.

當(dāng)尸，尸，M三點(diǎn)共線時(shí)，1PM+|PF'I取得最小值，

且最小值為IMF'|=4(3_0)2+(3+1戶5,

所以IPM-F內(nèi)的最小值為1.

9.已知橢圓C：泌＞0),焦點(diǎn)外(一c,0),F2(C,0),左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,

c),A到直線的距離為多.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若尸為橢圓C上的一點(diǎn)，ZFIPF2=60°,的面積為小，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解⑴由題意得，A(一〃,0),

直線EB的方程為x+y=c,

因?yàn)锳到直線的距離為限，

即:/+所以a+c=小。，

即(a+c)2=3〃，又h2=a2—c2,

所以(。+4=3伍2—，)，

所以2/+〃c—〃2=o,

即2e2+e-l=0,

解得6=3或e=-1(舍)，

所以橢圓C的離心率為今

⑵由(1)知離心率e=5=￡,即a=2c,①

因?yàn)镹QPF2=60。，△PF1F2的面積為小，

則占PBIIPBIsin60。=小，

所以|PFi||P尸21=4,

仍品|+|尸尸21=2。,

由方程組,,,

222

[\PF\|+IPF2I~2\PF1\\PF2\COS60°=(2c),

得/—，=3,②

聯(lián)立①②得。=2,c=l,所以/=/一/=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+^=1.

10.已知尸”F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，ZF1PF2=60°.

(1)求橢圓的離心率的取值范圍；

(2)求證：△QPF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).

⑴解不妨設(shè)橢圓的方程為方+1=1(?！罚?),焦距為2c.

在△F1PF2中,由余弦定理得，

|PF||2+|PF2|2一尸心|2

cos60-2|PF1|.|PF2|

_(|PFI|+|PBI)2—2IPF1HPF2ITQF2F

2\PF,\\PF2\'

4/-2IPQHPF2I—4c[l

用2\PFl\\PF2\~2'

所以|PaHPF2l=442-21PBl-|PF2|-4C2,

2

所以3\PFi\-\PF2\=4b,

4/

所以IPQMPF2尸亍.

IPF1I+IPF2I'

又因?yàn)镮P尸MPf2|W

當(dāng)且僅當(dāng)|PFi|=|PF2l=a時(shí)，等號(hào)成立，

所以3a224（“2—d），

c1

所以戶

所以e斗

又因?yàn)?<e<l,

所以所求橢圓的離心率的取值范圍是代，1）.

4〃2

⑵證明由（1）可知『「|卜『尸2|=丁，

所以=奶川伊尸2幽60。

序

一3，

所以△人2出的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).

過(guò)綜合提升練

11.（多選）（2023?長(zhǎng)沙模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地

球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律,

即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距

分別為2”,2c,下列結(jié)論正確的是（）

遠(yuǎn)近

地I地

點(diǎn)地點(diǎn)

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是[”-c,a+c]

B.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

D.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

答案ACD

解析根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a-c,a+c],A正確；

根據(jù)面積守恒定律，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度

最小，B不正確；

1-e2

1,比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C正確;

a+c1+e1-be

當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的速度更慢，根據(jù)面積守恒定律，則運(yùn)行時(shí)間更長(zhǎng)，D

正確.

12.（2022?邯鄲模擬）已知橢圓^+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,3,點(diǎn)P在橢圓上，設(shè)線段

P吊的中點(diǎn)為且|OB|=|OM，則△PQF2的面積為.

答案V15

解析由題意可得3,b—y[5,c—A/95—2.

如圖，因?yàn)?。，M分別是Q尸2和PQ的中點(diǎn)，所以|PF2l