高中數學同步講義（人教A版選擇性必修一）第19講 2.3直線的交點坐標與距離公式（教師版）

第06講2.3直線的交點坐標與距離公式（2.3.1兩條直線的交點坐標+2.3.2兩點間的距離公式+2.3.3點到直線的距離公式+2.3.4兩條平行線間的距離公式）課程標準學習目標①掌握兩條直線的位置關系中的相交幾何意義，并能根據已知條件求出兩條直線的交點坐標，并能根據兩條直線相交的性質求待定參數。②會求平面內點與直線的距離，并能解決與距離有關的平面幾何問題。③.會用兩點間的距離公式求平面內兩點間的距離.。④能應用公式求兩平行線間的距離，以此解決與平面距離有關的綜合問題。1.會求兩條直線的交點坐標，通過兩條直線相交的性質，解決與直線相交有關的問題；2.掌握利用向量法推導兩點間距離公式的方法，并能用兩點間距離公式求兩點間的距離，以及解決與平面距離相關的問題；3.會用公式解決與點到直線距離有關的問題，并能解決與之相關的綜合問題；4.熟練應用公式求平面內兩平行線間的距離，以及與距離有關的參數的求解，能處理平面內與距離有關的問題.；知識點01：兩條直線的交點坐標直線：（）和：（）的公共點的坐標與方程組的解一一對應.與相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；與平行方程組無解；與重合方程組有無數個解.【即學即練1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點的坐標．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點坐標為(2)不相交(3)不相交【詳解】（1）解方程組，得，所以與相交，交點坐標為．（2）解方程組，方程組無解，所以與無公共點，即與不相交．（3）解方程組，因為方程可化為，所以方程組有無數組解，所以與有無數個公共點，即與不相交．知識點02：兩點間的距離平面上任意兩點，間的距離公式為特別地，原點與任一點的距離.【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點與點間的距離為，則________．【答案】9或【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.知識點03：點到直線的距離平面上任意一點到直線：的距離.【即學即練3】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點到直線的距離為__________．【答案】【詳解】由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故答案為：.知識點04：兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.【即學即練4】（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為直線，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之間的距離.故選：A.知識點05：對稱問題1、點關于點對稱問題(方法：中點坐標公式)求點關于點的對稱點由：2、點關于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）求點關于直線：的對稱點①設中點為利用中點坐標公式得，將代入直線：中；②整理得：【即學即練5】（2023秋·高二課時練習）若點關于直線對稱，則_________；__________．【答案】42【詳解】依題意，直線的斜率為，線段的中點，于是，整理得，解得，所以.故答案為：4；23、直線關于點對稱問題(求關于點的對稱直線，則）方法一：在直線上找一點，求點關于點對稱的點，根據，再由點斜式求解；方法二：由，設出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數.方法三：在直線任意一點，求該點關于點對稱的點，則該點在直線上.【即學即練6】（2023·高二單元測試）直線關于點的對稱直線方程是______．【答案】【詳解】設對稱直線為，則有，即解這個方程得（舍）或.所以對稱直線的方程中.故答案為：.4、直線關于直線對稱問題4.1直線：（）和：（）相交,求關于直線的對稱直線①求出與的交點②在上任意取一點(非點），求出關于直線的對稱點③根據，兩點求出直線4.2直線：（）和：（）平行,求關于直線的對稱直線①②在直線上任取一點，求點關于直線的對稱點，利用點斜式求直線.【即學即練7】（2023·高二課時練習）求直線關于直線對稱的直線的方程．【答案】【詳解】聯(lián)立兩直線方程，解得，即兩直線的交點為，取直線：上一點，設其關于直線：的對稱點，則，解得，即，因為所求直線過，，方程為，即.【即學即練8】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？计谥校┲本€關于直線對稱的直線方程為________【答案】【詳解】設所求直線方程為，且，直線與直線間的距離為，則直線與直線間的距離為，又，得，所以所求直線方程為，故答案為：.題型01求直線交點坐標【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點坐標是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【詳解】解方程組得，即直線與直線的交點坐標是(0,2)．故選：C.【典例2】（2023秋·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【詳解】聯(lián)立得，因為直線與直線的交點位于第一象限，所以，解得.故選：D【變式1】（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點坐標為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.【變式2】（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若直線與直線平行或重合，則，解得，若直線與直線相交，可得且，則有：聯(lián)立方程，解得，即交點坐標，由題意可得：，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故選：C.題型02由方程組解的個數判斷直線的位置關系【典例1】（2023秋·高二課時練習）判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．(1)直線；(2)直線．【答案】(1)相交，交點是(2)答案見解析【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標為.（2）當時，，，聯(lián)立，方程組有無數組解，故兩直線重合，當時，，，聯(lián)立，方程組無解，故兩直線平行，當，聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標為.綜上所述：當時，兩直線重合；當時，兩直線平行；當時，兩直線相交，交點坐標為.【典例2】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若關于、的方程組無解，則實數________【答案】【詳解】由題意關于、的方程組無解，即直線和直線平行，故，所以，此時直線即，確實與平行，故滿足題意，所以實數.故答案為：-2.【變式1】（2022·高二課時練習）若關于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．【答案】【詳解】依題意二元一次方程組有無窮多組解，即兩個方程對應的直線重合，由，解得或.當時，二元一次方程組為，兩直線不重合，不符合題意.當時，二元一次方程組為，兩直線重合，符合題意.綜上所述，的值為.故答案為：【變式2】（2022·高二課時練習）關于?的二元一次方程組有無窮多組解，則與的積是_____.【答案】-35【詳解】因為x?y的二元一次方程組有無窮多組解，所以直線與直線重合，所以，解得，所以，故答案為：-35題型03由直線交點的個數求參數【典例1】（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學?？茧A段練習）直線與直線相交，則實數的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【詳解】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實數k的值為且.故選：D【典例2】（2022·高二校聯(lián)考課時練習）若關于，的方程組有唯一解，則實數滿足的條件是________.【答案】/【詳解】由，可得，由關于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：【典例3】（2022·高二校聯(lián)考課時練習）已知三條直線，，.（1）若直線，，交于一點，求實數的值；（2）若直線，，不能圍成三角形，求實數的值.【答案】（1）或；（2）或或4或.【詳解】（1）∵直線，，交于一點，∴與不平行，∴，由，得，即與的交點為，代入的方程，得，解得或.（2）若，，交于一點，則或；若，則；若，則；若，則不存在滿足條件的實數.綜上，可得或或4或.【變式1】（2022·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.【變式2】（2022·高二課時練習）三條直線??有且只有兩個交點，求實數的值.【答案】或【詳解】由得：，即有一個交點，或；即或，解得：或.題型04由直線的交點坐標求參數【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與直線的交點在第四象限，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由方程組，解得，即兩直線的交點坐標為，因為兩直線的交點位于第四象限，可得且，解得，即實數的取值范圍為.故選：D.【典例2】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題意，直線，令，可得；令，可得，即，如圖所示，當直線過點，可得；當直線過點，可得，要使得直線與直線的交點在第一象限，則，即實數的取值范圍是.故答案為：.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線和交于一點，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】解：聯(lián)立得.把代入得.故選：C【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）兩直線和的交點在軸上，則的值是（

）A．-24 B．6 C．±6 D．24【答案】C【詳解】因為兩條直線和的交點在軸上，所以設交點為，所以，消去，可得．故選：．題型05三線圍成三角形問題【典例1】（2023秋·高二課時練習）使三條直線不能圍成三角形的實數的值最多有幾個（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若平行，則，即；若平行，則，即無解；若平行，則，即；若三條直線交于一點，，可得或；經檢驗知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個.故選：B【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線，，能構成三角形，求應滿足的條件．

【答案】且【詳解】為使三條直線能構成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．①若，則由，得；②若，則由，得；③若，則由，得，當時，與三線重合，當時，平行．④若三條直線交于一點，由，解得，將的交點的坐標代入的方程，解得(舍去)，或，所以要使三條直線能構成三角形，需且．【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）三條直線，，構成三角形，則的值不能為（

）A． B．C． D．－2【答案】AC【詳解】直線與都經過原點，而無論為何值，直線總不經過原點，因此，要滿足三條直線構成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，所以．故選：AC.【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．【答案】或1【詳解】顯然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交點，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或1題型06直線交點系方程及其應用【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.【答案】或【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點坐標為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.【典例2】（2022·高二課時練習）已知兩直線和的交點為．求：(1)過點與的直線方程；(2)過點且與直線平行的直線方程．【答案】(1)(2)（1）設過直線和交點的直線方程為，即．①把點代入方程①，化簡得，解得，所以過點P與Q的直線方程為，即．（2）由兩直線平行，得，得，所以所求直線的方程為，即．【變式1】（2022秋·高二課時練習）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.【變式2】（2022·高二單元測試）已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標．【答案】證明見解析，【詳解】證明：原方程整理為，則由得所以點坐標為．【變式3】（2022·高二課時練習）直線經過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.【答案】或【詳解】解：設直線方程為，化簡得,直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，直線的斜率為,或，解得或.代入并化簡得直線的方程為或.所以所求的直線方程為或.題型07求兩點間的距離公式【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，兩點分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點為，則線段的長為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【詳解】因為直線和互相垂直，所以，解得，所以線段AB的中點為，所以設，則，解得，所以，所以，故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過定點，直線過定點，與相交于點，則（

）A．10 B．13 C．16 D．20【答案】B【詳解】解：因為，所以直線與直線互相垂直且垂足為點，又因為直線過定點，直線，即過定點，所以在中，，故選：B.【變式1】（2023秋·高二課時練習）已知，點在軸上，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為點C在x軸上，設點，則，所以，化簡可得：，所以.故選：D.【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線和直線分別過定點和，則|________．【答案】【詳解】將直線的方程變形為，由，可得，即點，將直線的方程變形為，由，可得，即點，所以，.故答案為：.【變式3】（2023·高三課時練習）如圖，是邊長為1的正三角形，，分別為線段，上一點，滿足，，與的交點為，則線段的長度為___________.【答案】【詳解】解：以為原點，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.題型08距離公式的應用【典例1】（2023春·江西·高三校聯(lián)考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得：的幾何意義為點到點的距離之和的最小值，因為，，，所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，取的中點，連接，與交于點，連接，故，，因為，所以，故，則，故點到三角形三個頂點距離之和最小，即取得最小值，因為，所以，同理得：，，，故的最小值為.故選：B【典例2】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】,可以看作點到點的距離之和，作點關于軸的對稱點，顯然當三點共線時，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.【典例3】（2022秋·甘肅嘉峪關·高二?？计谥校┖瘮档淖钚≈凳莀____________.【答案】5【詳解】解：因為，設，，，則表示點到點，兩點的距離之和，即，點是軸上的點，則點關于軸的對稱點為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為.根據以上性質，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題的幾何意義為點到點的距離之和的最小值.由題可知,此時,且在軸上.故.,.故的最小值為故選：D【變式2】（2022秋·北京·高二北京工業(yè)大學附屬中學?？计谥校┲麛祵W家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，記點、、，則，當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，即的最小值為.故選：C.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）某同學在研究函數的性質時，聯(lián)想到兩點間的距離公式，從而將函數變形為，求得的最小值為________．【答案】【詳解】由變形所得函數知：表示x軸上的動點到兩定點的距離之和，∴當且僅當與重合時，有最小值為.故答案為：題型09求點到直線的距離【典例1】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）點(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．【答案】A【詳解】，故選：A【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知動點在直線上，則的最小值為_________.【答案】2【詳解】因為表示動點到坐標原點，所以的最小值為到線的距離.故答案為：2.【變式1】（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習）點在直線上，為原點，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【詳解】原點到直線的距離為，根據垂線段的性質可知的最小值是，故選：A【變式2】（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓經過點，則點到圓心的距離的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【詳解】設，依題意，，則，整理得，點到的距離，所以點到圓心的距離的最小值．故選：C題型10已知點到直線的距離求參數【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知到直線的距離等于3，則的值為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【詳解】由距離公式可得，，即解得或.故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線上存在一點，滿足，其中為坐標原點.則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為直線上存在一點P，使得，所以原點O到直線l的距離小于等于1，即，解得：，即k的取值范圍是.故選：C【典例3】（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）求滿足下列條件的直線的一般式方程：(1)經過直線,的交點，且經過點；(2)與直線垂直，且點到直線的距離為．【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）聯(lián)立，得，即，由兩點式得，即.（2）因為與直線垂直，所以直線的斜率為，設直線，即，依題意得，解得或，所以直線的方程為或.【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（

）A或 B．或15C．5或 D．5或15【答案】D【詳解】因為點到直線的距離為1，所以,解得或5.故選:D.【變式2】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（

）A．或 B．或15 C．5或 D．5或15【答案】D【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5．故選：D.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.題型11求點關于直線的對稱點【典例1】（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點與點關于直線對稱，則點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設，因點A與點B關于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點A坐標為.故選：C【典例2】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學?？计谀┮阎?，兩點關于直線對稱，則點的坐標為______.【答案】【詳解】解：設點，因為直線的斜率為，則有，解得：，所以點的坐標為.故答案為：【變式1】（2023·全國·高三對口高考）點關于直線的對稱點的坐標為_________．【答案】【詳解】設點關于直線的對稱點的坐標為，則，解得，即點關于直線的對稱點的坐標為.故答案為：.【變式2】（2023·高二課時練習）若點關于直線對稱的點是，求、的值．【答案】，.【詳解】因為點關于直線對稱的點是，所以有，解得，.題型12求到兩點距離相等的直線方程【典例1】（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中?？奸_學考試）已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【詳解】（1）若在的同側，則，所以，，（2）若在的異側，則的中點在直線上，所以解得,故選:D.【典例2】（2023·高二課時練習）已知點，到直線的距離都等于2，求直線的方程．【答案】或，，．【詳解】①當時，因為直線的方程為，所以可設直線l的方程為．由或，即直線l的方程為或．②當l過線段的中點時，設l的方程為，即．點到l的距離，即．又當軸時，斜率不存在，此時也符合題意．綜上直線的方程為：或，，．【變式1】（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【詳解】若斜率不存在時，過點的直線為，此時不滿足條件；若斜率存在時，設過點的直線，即．根據題意，可得，解得或，當時，直線方程為，當時，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或【變式2】（2023·高三課時練習）已知點，若直線過點，且、到直線的距離相等，則直線的方程為______.【答案】或【詳解】依題意，到直線的距離相等.的中點為，當過以及時，直線的方程為.直線的斜率為，當直線過并與平行時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或題型13直線關于直線對稱【典例1】（2023春·湖北武漢·高二華中科技大學附屬中學?？茧A段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在上取一點，則由題意可得其關于直線的對稱點在上，所以，得，在上取一點，則其關于直線的對稱點在上，所以，得，綜上，故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習）兩直線方程為，，則關于對稱的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設所求直線上任一點，關于直線的對稱點，，則，解出點在直線上，將式代入，得，化簡得，即為關于對稱的直線方程．故選：C【典例3】（2023·高二課時練習）如果直線與直線關于軸對稱，那么直線的方程是______．【答案】【詳解】解：∵直線的斜率為-1，且與y軸交于（0，1）點，又∵直線l與直線關于y軸對稱，∴直線l的斜率為1，且過（0，1）點，則直線l的方程為，故答案為：【典例4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是________.【答案】【詳解】設所求直線上任意一點，點P關于的對稱點為,如圖所示：則有，得∵點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線關于軸對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設點是所求直線上任意一點，則關于軸的對稱點為，且在直線上，代入可得，即.故選：C.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）求直線關于直線對稱的直線方程（

） B．C． D．【答案】B【詳解】設對稱直線方程為，，解得或（舍去）.所以所求直線方程為.故選：B【變式3】（2023·高二課時練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么______，______．【答案】6【詳解】解：直線上的點關于的對稱點在上，所以，解得，直線上的點關于的對稱點在上，所以，解得.故答案為：；【變式4】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預測）若直線與關于直線對稱，則實數a=______.【答案】【詳解】直線過點，點關于直線對稱點為，依題意可知點在直線上，所以.故答案為：題型14平行線間的距離問題【典例1】（2023秋·高二課時練習）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【詳解】由距離公式可知，所求距離為.故選：D【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】，由，解得，故過定點．，由，解得，故過定點，故，距離的最大值為．此時，，則，，解得，故．故選：C．【典例3】（2023秋·高一單元測試）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【答案】3【詳解】因為直線與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因為兩平行線間的距離為，所以，得，因為所以，得，所以，故答案為：3【變式1】（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）若平面內兩條平行線：，：間的距離為，則實數（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【詳解】因為兩直線：，：平行，可得且，解得或，當時，，，即，可兩平行線間的距離為，符合題意；當時，，，即，可兩平行線間的距離為，不符合題意，舍去.故選：A.【變式2】（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）若直線與之間的距離為，則a的值為（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【詳解】將直線化為，則直線與直線之間的距離，根據題意可得：，即，解得或，所以a的值為或.故選：C【變式3】（2023春·河南洛陽·高二?？茧A段練習）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，將直線變?yōu)?，又，所以兩平行線間的距離為.故選：A.題型15直線關于點對稱的直線【典例1】（2023·高二課時練習）關于原點對稱的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對于直線，將換為，換為得到，即，所以直線關于原點對稱的直線是.故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【詳解】設直線關于點對稱的直線上任意一點，則關于對稱點為，又因為在上，所以，即。故選：B【典例3】（2023·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程是______．【答案】【詳解】設對稱直線為，則有，解這個方程得（舍）或.所以對稱直線的方程中故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，故設，在l上取點，則點關于點的對稱點是，所以，即，故直線的方程為.故選：C【變式2】（2023秋·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程為__________．【答案】【詳解】在對稱直線上任取一點,設關于點對稱的點為，由于在直線上，所以，即，故答案為：題型16將軍飲馬問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【詳解】由關于的對稱點為，所以，可得，即對稱點為，又所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：D【典例2】（2023·高二課時練習）已知點和，在直線上找一點，使最小，并求這個最小值．【答案】，最小值【詳解】設關于直線的對稱點為，線段的中點為，所以，解得，即，所以的最小值為，此時直線的方程為，由解得，所以.【變式1】（2023春·四川資陽·高三四川省樂至中學?？奸_學考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設點關于直線的對稱點．根據題意，為最短距離，先求出的坐標．的中點為，直線的斜率為1，故直線的方程為，即．由，聯(lián)立得，，，則，故，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：C．【變式2】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）函數的值域為__________.【答案】【詳解】原式為，即可看作是動點到定點的距離之和，設關于軸的對稱點為，連接交軸于，此時最小，且最小值為，故函數的值域為，故答案為：A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點，，則A，B兩點的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．【答案】B【詳解】由兩點間的距離公式得．故選：B.2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【詳解】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．3．（2023春·廣西玉林·高二統(tǒng)考期中）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（

）A．2 B．3 C．5 D．10【答案】A【詳解】這兩條直線之間的距離為.故選：A4．（2023·全國·高三專題練習）若點到直線的距離為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【詳解】由點到直線的距離公式可得,故選：B.5．（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校?？计谥校┮阎本€：過定點，則點到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】由題意知，直線：恒過定點，直線：恒過定點，如圖所示，過作的垂線段，垂足為，那么必有，當且僅當與重合時取等號，從而的最大值為，即點到直線：距離的最大值是.故選：D.

6．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3【答案】B【詳解】對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項A錯誤；對B，要使，，，解之得，所以B正確；對C，過定點，該定點在上，但是當時，與重合，所以C錯誤；對D，，化簡得，此方程，無實數解，所以D錯誤.故選：B.7．（2023·全國·高三專題練習）十九世紀著名德國猶太人數學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點”，已知三角形的三個頂點坐標為，，，則的“好點”的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，設，則，所以點不是的“好點”；對于B，設，則，，所以，所以點是的“好點”；對于C，設，則，所以點不是的“好點”；對于D，設，則，所以點不是的“好點”.故選：B.8．（2023秋·廣東河源·高二龍川縣第一中學?？计谀┻^點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【詳解】若直線斜率不存在，即，此時，兩點到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；若直線斜率存在時，設直線方程為，由得：或，故直線方程為或，整理得或.故選：D二、多選題9．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）已知直線：，：（），則（

）A．直線過定點 B．當時，C．當時， D．當時，兩直線，之間的距離為3【答案】ABD【詳解】：（）變形為，由則因此直線過定點，故A正確；當時，：，：，所以，故兩直線平行，故B正確；當時，：，：，因為，故兩直線不垂直，故C錯誤；當時，則滿足，解得，此時：，：，即，則兩直線間的距離為，故D正確．故選：ABD．10．（2023秋·湖南長沙·高二?？计谀┤糁本€不能構成三角形，則的取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】因為直線不能構成三角形，所以存在，過與的交點三種情況，當時，有，解得；當時，有，解得；當過與的交點，則聯(lián)立，解得，代入，得，解得；綜上：或或.故選：ABD.三、填空題11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點，若直線上總存在點，滿足條件，則實數的取值范圍為________．【答案】【詳解】因為點在直線上，所以可設，由，得，由兩點間的距離公式可得整理可得，由，解得，即實數的取值范圍為，故答案為：12．（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級中學?？计谥校┕饩€沿著直線射到直線上，經反射后沿著直線射出，則實數______．【答案】6或－2【詳解】在直線上任意取一點，由題知點關于直線的對稱點在直線上，則，整理得，解得或.故答案為：6或－2.四、解答題13．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥校┮阎娜齻€頂點，，.(1)求直線的方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2)7【詳解】（1）因為，，所以，所以，化簡可得.（2）點到直線的距離，，則.14．（2023·全國·高三對口高考）已知三條直線、和且與的距離是．(1)求的值；(2)已知點到直線的距離與點到直線的距離之比是，試求出點的軌跡方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）將直線的方程化為，兩條