2024年3月全國(guó)乙卷高三數(shù)學(xué)（文）模擬聯(lián)考試題附答案解析

2024年3月全國(guó)乙卷高三數(shù)學(xué)（文）模擬聯(lián)考試題（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）2024.03注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．的值為（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知集合，則（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)為平面內(nèi)不同的4點(diǎn)，若，且，則（

）A． B． C． D．5．近幾年隨著技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，下圖為2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加B．2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為410C．2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為915D．從2018~2022年企業(yè)注辦增加數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)不大于300的概率為6．如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某體育比賽領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)三視圖，則該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)除去下底面的所有面的面積之和為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，將的圖象順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到曲線，則的焦距為（

）A． B．4 C． D．88．函數(shù)在上沒(méi)有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．知名數(shù)學(xué)教育家單墫曾為中學(xué)生寫了一個(gè)小冊(cè)子《十個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題》，其中提到了開(kāi)普勒的將球裝箱的方法：考慮一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，分別以該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)及6個(gè)面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為（

）A． B． C． D．10．過(guò)點(diǎn)可作3條直線與函數(shù)的圖象相切，則（

）A． B．C． D．11．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．12．已知，則（

）A． B．C． D．二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是.14．函數(shù)是偶函數(shù)，則.15．平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍．若點(diǎn)A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．四邊形ABCD中，，，，設(shè)△ABD與△BCD的面積分別為，，則的最大值為.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求最小時(shí)對(duì)應(yīng)的n的值．18．某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)案例后，準(zhǔn)備利用所學(xué)知識(shí)研究成年男性的臂長(zhǎng)與身高之間的關(guān)系，為此他們隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了5名成年男性的身高與臂長(zhǎng)，得到如下數(shù)據(jù)：1591651701761806771737678(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.19．如圖，在三棱錐中，，其余各棱的長(zhǎng)均為6，點(diǎn)在棱上，，過(guò)點(diǎn)的平面與直線垂直，且與分別交于點(diǎn).(1)確定的位置，并證明你的結(jié)論；(2)求點(diǎn)到平面的距離.20．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上有極值點(diǎn)，求證：.21．已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個(gè)公共點(diǎn)A，C的焦點(diǎn)為F，直線AF的傾斜角為．(1)求證：；(2)若，直線l與直線交于點(diǎn)P，直線AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求證：．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的極坐標(biāo)方程；(2)若直線與交于點(diǎn)，求的周長(zhǎng).[選修4-5：不等式選講]23．已知.(1)若，求的最小值；(2)若，證明：.1．D【分析】由誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)求值.【詳解】，故選：D.2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B．3．C【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.4．D【分析】根據(jù)題意，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由得，即，又，所以，故選：D.5．B【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖判斷A、B、C，利用古典概型的概率公式判斷D.【詳解】由每年注冊(cè)增加數(shù)均為正數(shù)，可知2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加，故A正確；2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)從小到大排列為：，，，，，，，，，所以2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；2014~2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為，故C正確；從，，，，中任取兩個(gè)數(shù)字，結(jié)果有種，所取兩個(gè)數(shù)字平均數(shù)不大于的取法有，共種，所以所求概率，故D正確.故選：B.6．B【分析】根據(jù)三視圖可得組合體，根據(jù)面積公式可求所有面的面積之和.【詳解】解法一：該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可看作由3個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的組合體，每個(gè)長(zhǎng)方體的底面都是邊長(zhǎng)為的正方形，冠軍臺(tái)高，亞軍臺(tái)高，季軍臺(tái)高，該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)除去下底面的所有面的面積之和為3個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和減去3個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面積，減去2個(gè)底邊長(zhǎng)為高為的矩形面積，減去2個(gè)底邊長(zhǎng)為高為的矩形面積，即，解法二：該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可看作由3個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的組合體，每個(gè)長(zhǎng)方體的底面都是邊長(zhǎng)為的正方形，冠軍臺(tái)高，亞軍臺(tái)高，季軍臺(tái)高，前后兩個(gè)面的面積之和為，上面3個(gè)面的面積之和為，余下側(cè)面的面積之和為，所以該組合體除去下底面的所有面的面積之和為，故選：B.7．D【分析】由函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，求出頂點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到等軸雙曲線，直接求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象與對(duì)稱軸的一個(gè)交點(diǎn)就是曲線的頂點(diǎn)，該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后變?yōu)椋€也是等軸雙曲線，所以的焦距為8，故選：D8．C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，由在上沒(méi)有最小值，得，解得，所以的取值范圍是.故選：C9．D【分析】首先確定條件中的球落在正方體的部分，再求體積，即可求解.【詳解】以8個(gè)頂點(diǎn)為球心的球各有在正方體內(nèi)，以6個(gè)面的中心為球心的球各有在正方體內(nèi)，所以這些球在正方體的體積之和為4個(gè)半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為.故選：D10．A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線，由切線過(guò)點(diǎn)，整理得有3組解，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，由切線過(guò)點(diǎn)，所以有，整理得，設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，由得或，若，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時(shí)，解得或，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為函數(shù)極大值，為函數(shù)極小值；當(dāng)時(shí)，解得或，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為函數(shù)極大值，為函數(shù)極小值；有3個(gè)零點(diǎn)，則與異號(hào)，即，所以，得，所以.故選：A11．C【分析】設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程求出，，由橢圓的弦長(zhǎng)公式表示出，，代入，即可得出答案.【詳解】設(shè)，由得，由，設(shè)，可得：，所以，所以，所以，所以的離心率為，故選：C.12．A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.13．【分析】畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合圖象找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由解得：，即，同理求出，如圖所示，不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，設(shè)，則，作直線，把該直線平移到點(diǎn)處取得最小值，.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意，利用列出方程，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得，所以.故答案為：.15．【分析】首先根據(jù)塞爾瓦定理以及圓的幾何性質(zhì)，求解和，并求直線的方程，求解點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解圓的方程.【詳解】由△ABC的垂心到直線BC距離，設(shè)圓E半徑為r，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，聯(lián)立解得，，因?yàn)橹本€BC方程為，,且，所以直線EG方程為，設(shè)，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：16．##【分析】根據(jù)正弦定理得，再結(jié)合余弦定理及基本不等式得，得，設(shè)，由，可求得，從而可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)?，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，設(shè)，則，在中由余弦定理得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.17．(1)；(2)4或6.【分析】（1）通過(guò)基本量計(jì)算求解可得；（2）分，，討論數(shù)列的符號(hào)即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，當(dāng)時(shí)，又，，所以，因?yàn)闀r(shí)，所以數(shù)列的前4項(xiàng)或前6項(xiàng)之和最小，即最小時(shí)n的值為4或6．18．(1)說(shuō)明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由線性相關(guān)系數(shù)的公式代入計(jì)算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由線性回歸方程中的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得，，因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.997，說(shuō)明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由及（1）得，，所以關(guān)于的回歸方程為.19．(1)F，G滿足，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明平面，從而得到平面平面，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理確定，的位置并證明.（2）分別以為底，DG為高，以為底，點(diǎn)到平面的距離為高，利用等體積法求解.【詳解】（1）為線段的三等分點(diǎn)且靠近，為線段的六等分點(diǎn)且靠近，證明如下：取中點(diǎn)，連接，由已知可得，所以，因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)即為，過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)即為，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，平面與直線垂直（2）由題意可得，因?yàn)?，則，結(jié)合三角形內(nèi)角范圍有，由（1）可得，，所以的面積，又點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積，在中，，所以，同理，又，所以的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，由得，所以.20．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求的單調(diào)性（2）由（1）中的結(jié)論，得極值點(diǎn)的值，代入函數(shù)解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】（1），函數(shù)定義域?yàn)?，則有，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，由函?shù)和在上都單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，則時(shí)，；時(shí)，，（i）若，時(shí)，單調(diào)遞減，和時(shí)，單調(diào)遞增；（ii）若，，在上單調(diào)遞增；（iii）若，時(shí)，單調(diào)遞減，和時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）知在上有極值點(diǎn)，則，且，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，由，有，，所以，則在上單調(diào)遞減，得，所以在上單調(diào)遞減，有，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理，利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不等式問(wèn)題，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.21．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出，得直線的方程為再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合只有一個(gè)切點(diǎn)可得，從而可求解.（2）設(shè)，則直線的方程設(shè)為，與拋物線聯(lián)立后，分別求出其兩根關(guān)系，從而可求解.【詳解】（1）設(shè)，則l的方程為，與聯(lián)立得，因?yàn)橹本€l與拋物線C只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，整理得，所以，又，所以，因?yàn)?，，所以，，所以．?）時(shí)，C的方程為，把，代入得l的方程為，把代入得，所以，由（1）知，，設(shè)，設(shè)直線AB方程為，與聯(lián)立得，t，是該方程的