離散型隨機(jī)變量的均值 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七章

隨機(jī)變量及其分布7.3.1

離散型隨機(jī)變量的均值復(fù)習(xí)舊知1、離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.2、兩點(diǎn)分布列X01P1-pp復(fù)習(xí)舊知3、數(shù)據(jù)的均值和方差已知一組樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，…，xn樣本均值：樣本方差：學(xué)習(xí)目標(biāo)1.

理解離散型隨機(jī)變量均值的概念和含義,會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值;2.

掌握離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)和兩點(diǎn)分布的均值;3.

會利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變量的取值水平,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題.4.

核心素養(yǎng):數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算。情境導(dǎo)學(xué)情境一：某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？權(quán)數(shù)情境導(dǎo)學(xué)情境二：甲、乙兩名射箭運(yùn)動員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢?情境導(dǎo)學(xué)假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為

當(dāng)n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于

即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值為9，該值可以反映甲運(yùn)動員的射箭水平.所以，從平均值的角度比較，甲運(yùn)動員的射箭水平比乙運(yùn)動員高.

情境導(dǎo)學(xué)情境三：某商場要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？如果用X表示一顆糖果對應(yīng)的單價，請寫出隨機(jī)變量X的分布列.新知生成一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）：Xx1x2...xnPp1p2...pn則稱

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.典例剖析例1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少?解：因?yàn)镻(X=1)=0.8

，

P(X=0)=0.2,

所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.

即該運(yùn)動員罰球1次的得分X的均值是0.8.思考：通過例1，你能總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)？X01P1-pp歸納總結(jié)求隨機(jī)變量X的期望關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)定值：確定隨機(jī)變量X的所有可能取值；(2)求概率：求出每種取值相應(yīng)的概率；(3)寫分布列：寫出隨機(jī)變量X的分布列并檢驗(yàn)；(4)求期望：利用公式計算E(X)．典例剖析例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值.新知探究觀察擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X的均值為3.5.隨機(jī)模擬這個試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計算平均數(shù).根據(jù)觀測值的平均數(shù)(樣本均值)繪制統(tǒng)計圖，分別如圖(1)和(2)所示.觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別?探究：1、樣本平均值和隨機(jī)變量均值的區(qū)別與聯(lián)系新知探究①區(qū)別:

隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個隨機(jī)變量,它隨樣本的不同而變化；②聯(lián)系:

對于簡單隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加樣本的平均值越來越接近于總體的均值.因此我們常用樣本的平均值估計總體的均值.探究：1、樣本平均值和隨機(jī)變量均值的區(qū)別與聯(lián)系新知探究探究

設(shè)Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．（1）Y的分布列是什么？

（2）E(Y)=？探究：2、隨機(jī)變量均值的性質(zhì)XX1X2...Xi...XnYP新知生成離散型隨機(jī)變量均值的運(yùn)算性質(zhì)：(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，(2)E(aX)＝aE(X)，(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.小試牛刀m典例剖析例3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如表所示.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下:按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首.求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.典例剖析典例剖析思考1:如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果按ACB的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值是多少？典例剖析思考2:你認(rèn)為哪個順序獲得的公益基金均值最大？按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大；對于例3，決策的原則是選擇期望值大的猜歌順序，這稱為期望值原則.典例剖析例4根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3：不采取措施.工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？典例剖析典例剖析鞏固練習(xí)1.

甲乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一種零件，他們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同，在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1，X2，其分布列分別為哪臺機(jī)床更好