重慶市七校聯(lián)盟高三下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

七校聯(lián)盟2024年第一學(xué)月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.4．考試結(jié)束后，將答題卷交回.第I卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入已知條件求出的值，得的虛部.詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由，即，則有，解得，所以的虛部為1.故選：A.2.在的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是多少.【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，即含的系數(shù)為240.故選：C3.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幾何關(guān)系，確定，再利用向量線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?故選：D4.重慶，我國(guó)四大直轄市之一，這里資源豐富，旅游景點(diǎn)也多，不僅有山水自然風(fēng)光，還有人文歷史景觀．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來(lái)到重慶旅游，分別準(zhǔn)備從巫山小三峽、南川金佛山、大足石刻和酉陽(yáng)桃花源4個(gè)國(guó)家5A級(jí)旅游景區(qū)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景區(qū)游玩．記事件：甲和乙至少一人選擇酉陽(yáng)桃花源景區(qū)，事件：甲和乙選擇的景區(qū)不同，則概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】甲、乙兩位游客分別從4個(gè)景區(qū)選擇一個(gè)游玩的總情況數(shù)為種，其中甲和乙至少一人選擇酉陽(yáng)桃花源景區(qū)的情況數(shù)為，則，事件表示：甲乙選擇的景區(qū)不同，且至少一個(gè)選擇酉陽(yáng)桃花源景區(qū)，則符合要求的情況數(shù)為種，則，所以.故選：D5.已知，，直線和垂直，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】由題意可得出，再由基本不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€和垂直，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故選：C.6.已知函數(shù)的定義域均為，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知條件可求得，代入2024計(jì)算即可.【詳解】，以代，有，又，得，所以.故選：B.7.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想：是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件求出的通項(xiàng)公式，并求出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】依題意，，，則，則，即，而，解得，所以滿足條件的正整數(shù)的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．8.已知函數(shù)，，點(diǎn)與分別在函數(shù)與的圖象上，若的最小值為，則（）A. B.3 C.或3 D.1或3【答案】A【解析】【分析】平移直線使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則切線斜率為1，利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可得到方程，解出即可.【詳解】因?yàn)?，令，解得，而，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，即點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象相交，所以.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng)B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8C.已知互不相同的30個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)D.某人解答5個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，若，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由由相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷；對(duì)于B，由方程的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，，結(jié)合30個(gè)樣本數(shù)據(jù)互不相同即可判斷；對(duì)于D，由二項(xiàng)分布均值公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋唇M數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)相關(guān)性較弱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，故B正確；對(duì)于C，將這原來(lái)的30個(gè)數(shù)從小大大排列為，則，所以原來(lái)的22%分位數(shù)為，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，剩下28個(gè)數(shù)據(jù)為，則，所以剩下28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為，由于互不相同，所以C正確；對(duì)于D，某人解答5個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，若，則，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.是函數(shù)的一個(gè)周期B.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)的最大值為，最小值為D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】利用函數(shù)周期性及對(duì)稱性的定義可得A、B，使用換元法，令，可得，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得C、D.【詳解】對(duì)A：，故是函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；對(duì)B：，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)C、D：令，有，因?yàn)?，所以，則，由，則函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；函數(shù)由和復(fù)合而成，函數(shù)在上先增后減，在上遞減，且，則函數(shù)在上不是單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線不是曲線的切線B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，則D.若曲線上有且僅有四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)正方形，則【答案】BCD【解析】【分析】求導(dǎo)即可判斷A，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征即可判斷B，結(jié)合零點(diǎn)的定義代入計(jì)算，即可判斷C，由正方形的特點(diǎn)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可判斷D【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減.又因?yàn)椋?，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，此時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確.設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，則有，展開(kāi)后比對(duì)含項(xiàng)的系數(shù)，可得，故選項(xiàng)C正確.當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合圖像知不符合題意，故因?yàn)?，因此函?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.則此正方形必以為中心，不妨設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A，，，，其中一條對(duì)角線的方程為，則，即，解得，則，同理可得.由得，根據(jù)題意，方程只有一個(gè)正解，當(dāng)時(shí)，顯然不成立.故，則，因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則.設(shè)，根據(jù)題意，只需要直線與函數(shù)的圖像只有唯一的公共點(diǎn)即可.結(jié)合雙勾函數(shù)的圖像可得，解得.所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性，結(jié)合正方體分析可知只有一個(gè)正解，進(jìn)而可得結(jié)果.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】由是等差數(shù)列可得，再求三角函數(shù)值即可【詳解】由是等差數(shù)列，可得，又，所以，所以故答案為：13.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線的左，右兩支于兩點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】首先利用雙曲線的定義求出和，然后在中用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)槭钦切危?，，由雙曲線定義可知，即，再由可得在中，，即，整理得：，，所以故答案為：14.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為_(kāi)__.【答案】10π【解析】【分析】把平面沿展開(kāi)到與平面共面的的位置，確定當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，求出此時(shí)的線段的長(zhǎng)度，的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即可得外接球的球心與半徑，由球的表面積公式求解即可．【詳解】把平面沿展開(kāi)到與平面共面的的位置，延長(zhǎng)到，使得，連結(jié)，如圖1所示，則，要使得的長(zhǎng)度最小，則需，，，四點(diǎn)共線，此時(shí)，因?yàn)椋?，，所以，所以，，故，，所以，，，，所以的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓如圖2，連接，由于，所以，又所以，所以的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓所以三棱錐外接球的球心為，半徑為，故外接球的表面積為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，為邊上的一點(diǎn)，，且__________，求的面積．（從下面①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）.①是的平分線；②為線段的中點(diǎn).【答案】15.16.所選條件見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由恒等變換公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果；（2）若選①，由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；若選②，由向量的運(yùn)算結(jié)合余弦定理，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由倍角公式得：，所以，因?yàn)?，即，所以，所?【小問(wèn)2詳解】若選①：由平分得：，，即.在中，由余弦定理得，則，聯(lián)立，得，解得，，若選②：由題設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理得，則，聯(lián)立，得，.16.如圖，在斜三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均相等，O，D分別是AB，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，且，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)E，連接OE，，可得四邊形為平行四邊形，則有，利用線面平行的判定定理可證得平面；（2）可證得平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)E，連接OE，，∵O，E分別是AB，的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．【小問(wèn)2詳解】連接OC，∵，∴為正三角形，∴，∵，且，∴平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O(shè)為原點(diǎn)，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由，可得．則，，，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．17.某無(wú)人飛機(jī)研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無(wú)人飛機(jī)，在投放市場(chǎng)前對(duì)100架新能源無(wú)人飛機(jī)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100架新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無(wú)人飛機(jī)，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則）（3）該無(wú)人飛機(jī)研發(fā)中心依據(jù)新能源無(wú)人飛機(jī)的載重量和續(xù)航能力分為卓越A型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計(jì)分析可知卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場(chǎng)前決定分別按卓越A型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機(jī)共抽取6架，然后再?gòu)倪@6架中隨機(jī)抽取3架進(jìn)行綜合性能測(cè)試，記隨機(jī)變量是綜合性能測(cè)試的3架中卓越A型的架數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）由直方圖中每個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率再相加可得；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)計(jì)算；（3）隨機(jī)變量的可能取值為，分別求出其概率后得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【小問(wèn)1詳解】估計(jì)這100架新能源無(wú)人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值為：.【小問(wèn)2詳解】，.【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)可知抽取的6架新能源無(wú)人飛機(jī)中，卓越A型?卓越型和卓越型的架數(shù)分別為3架?2架和1架，隨機(jī)變量的可能取值為.，，隨機(jī)變量的分布列如下表：0123.18.已知實(shí)數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍，（2）設(shè)是方程的實(shí)根，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，再結(jié)合題意即可得解；（2）由（1）知是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，根據(jù)，作差可得，則要證，即證，即證，設(shè)，則只需證，即證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求證即可；再證，由題意可得，再根據(jù),可得,則,設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得證.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得，綜上所述，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，則有，即，，作差得，先證，即證，即證，設(shè)，則只需證，即證，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，則，則成立，也即成立；再證，因?yàn)槭欠匠痰母?，則，又有，，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，則，故要證，只需證，即證，只需證，因?yàn)椋瑒t，且在上單調(diào)遞減，則只需證，又因?yàn)?，即證，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，則，則，從而，故成立.綜上所述，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.19.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上.（1）求的準(zhǔn)線方程.（2）已知點(diǎn)，，是的兩條切線，，是切點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.①若，求證：；②設(shè)圓在，處的切線的交點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).附：若點(diǎn)在圓上，則圓在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】（1）（2）①證明