幾何探究題(原卷版)(一)-2021年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練(河南專用)

專題09幾何探究題

1.（2020牡丹江）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE.將AABE沿AE所在直線折

疊，點(diǎn)B地對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B',連接AB'并延長(zhǎng)交直線DC于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明下

（2）當(dāng)點(diǎn)F在DC地延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)F在CD地延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（3），線段DF,BE,AF有怎樣

地?cái)?shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你地猜想,并選擇一種情況給予證明.

2.(2020?金華)如圖，在a'中，4?=4嫄，N6=45°,NC=60°.

(1)求比1邊上地高線長(zhǎng).

(2)點(diǎn)￡為線段四地中點(diǎn),點(diǎn)尸在邊4C上,連結(jié)/沿"將斯折疊得到△必尸.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)一落在和上時(shí),求地度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當(dāng)小L然時(shí),求"地長(zhǎng).

3.(2020重慶)如圖，在RtA46C中，N為仁90°,46=/C點(diǎn)〃是a'邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接被把力〃繞點(diǎn)4

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AE,連接CE,加點(diǎn)廠是以'地中點(diǎn),連接CF.

(1)求證：CF=4AD.

(2)如圖2所示,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)地過(guò)程中，當(dāng)劭=25時(shí),分別延長(zhǎng)CF,BA,相交于點(diǎn)G,猜想4G與比■存在地?cái)?shù)

量關(guān)系，并證明你猜想地結(jié)論。

(3)在點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)地過(guò)程中，在線段49上存在一點(diǎn)P,使為+陟A7地值最小.當(dāng)陽(yáng)+如"T地值得到最小值時(shí),AP

地長(zhǎng)為m,請(qǐng)直接用含勿地式子表示龍地長(zhǎng).

4.(2020牡丹江)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE.將AABE沿AE所在直線折

疊，點(diǎn)B地對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B',連接AB'并延長(zhǎng)交直線DC于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明）。

（2）當(dāng)點(diǎn)F在DC地延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)F在CD地延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（3），線段DF,BE,AF有怎樣

地?cái)?shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你地猜想,并選擇一種情況給予證明.

5.（2020棗莊）在△48C中，/4"=90°,切是中線,4C=況;一個(gè)以點(diǎn)〃為頂點(diǎn)地45°角繞點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn),

使角地兩邊分別與4G區(qū)地延長(zhǎng)線相交,交點(diǎn)分別為點(diǎn)￡,F,DF與AC交汗■點(diǎn)、林DE與BC交于聶N.

（1）如圖1,若龍=優(yōu)求證：DE=DF.

（2）如圖2,在/如尸繞點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)地過(guò)程中,試證明C*=CE?CF恒傲立。

（3）若g2,CF=y[2,求"V地長(zhǎng).

6.（2020泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）地平面

圖形，//龍與/板恰好為對(duì)頂角，NABC=NCDE=9Q°,連接BD,AB=BD,點(diǎn)、尸是線段位上一點(diǎn).

探究發(fā)現(xiàn):

（1）當(dāng)點(diǎn)夕為線段四地中點(diǎn)時(shí)，連接班'（如圖（2））,小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：物，以?.你認(rèn)為此結(jié)論是

否成立？.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）將（1）中地款件與結(jié)論互換，即劭則點(diǎn)少為線段四地中點(diǎn).請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立.若成立,

請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程。若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決：

（3）若48=6,貶=9,求助地長(zhǎng).

圖（0圖（2）備用圖

7.（2020山東日照）問(wèn)題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形地一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中,

假如一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)地直角邊等于斜邊地一半.即：如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,Z

ABC=30°,則:AC=yAB.

探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究.

(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE總AB,易得結(jié)論：①4ACE為等邊三角形。②BE與CE之間地?cái)?shù)量

關(guān)系為.

(2)如圖2,點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn),連接AD,作等邊aADE,且點(diǎn)E在/ACB地內(nèi)部,連接BE.試探究線段BE

與DE之間地?cái)?shù)量關(guān)系,寫(xiě)出你地猜想并加以證明.

(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，在(2)款件地基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣地?cái)?shù)量關(guān)系？

請(qǐng)直接寫(xiě)出你地結(jié)論.

拓展應(yīng)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A地坐標(biāo)為(-加,1),點(diǎn)B是x軸正半軸上地一動(dòng)點(diǎn)，以AB

為邊作等邊4ABC,當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且B(2,0)時(shí)，求C點(diǎn)地坐標(biāo).

8.(2020通化)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長(zhǎng)為2地正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2

地正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一直線上,AB與AG在同一直線上.

(1)小明發(fā)現(xiàn)DG_LBE,請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由.

(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí),請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE地

長(zhǎng).

(3)如圖3,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段DG與線段BE將相交,交點(diǎn)為H,寫(xiě)出△GHE與4

BHD面積之和地最大值,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

9.(2020本溪)如圖，射線45和射線相交于點(diǎn)B,N/BC=a(0°<a<180°)，且點(diǎn)。

是射線C8上地動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)C和點(diǎn)8重合)，作射線4),并在射線X。上取一點(diǎn)瓦使/NEC=a，連接

CE,BE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上,a=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出N/EB地度數(shù)。

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段C8匕a=120°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段北,8瓦CE之間地?cái)?shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由。

圖①圖②備用圖

10.（2020湖州）已知在△Z8C中,ZC=8C=%,。是AB邊上地一點(diǎn)，將N8沿著過(guò)點(diǎn)D地直線折疊，使

點(diǎn)8落在/C邊地點(diǎn)尸處（不與點(diǎn)4c重合），折痕交8C邊于點(diǎn)E.

1

（1）特例感知如圖1,若NC=60°，。是地中點(diǎn)，求證：AP=-AC.

（2）變式求異如圖2,若NC=90°,加=6//。=7,過(guò)點(diǎn)。作?！盻L4C于點(diǎn)”,求。H和“尸地長(zhǎng)。

（3）化歸探究如圖3,若用=10/8=12,且當(dāng)時(shí),存在兩次不同地折疊，使點(diǎn)8落在NC邊上兩個(gè)不同

地位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出a地取值范圍.

圖1圖2圖3

11.（2020貴陽(yáng)）如圖，四邊形力BCD是正方形，點(diǎn)。為對(duì)角線/C地中點(diǎn).

（1）問(wèn)題解決如圖①，連接80,分別取CB,BO地中點(diǎn)尸,。,連接尸0,則PQ與BO地?cái)?shù)量關(guān)系是.

位置關(guān)系是。

（2）問(wèn)題探究：如圖②，△/1。萬(wàn)是將圖①中地A4O8繞點(diǎn)/按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到地三角形，連接CE,

點(diǎn)P,Q分別為CE,80地中點(diǎn)，連接PQ,PB.判斷△尸08地形狀，并證明你地結(jié)論。

（3）拓展延伸：如圖③，△/10萬(wàn)是將圖①中地△/lOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到地三角形，連接BO',

點(diǎn)P,Q分別為C&BO,地中點(diǎn)，連接PQ,PB.若正方形ABCD地邊長(zhǎng)為1,求△PQ8地面積.

11.(2020貴陽(yáng))如圖泗邊形是正方形，點(diǎn)。為對(duì)角線/C地中點(diǎn).

(1)問(wèn)題解決如圖①，連接80,分別取CB,BO地中點(diǎn)PQ連接尸0,則PQ與BO地?cái)?shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是。

(2)問(wèn)題探究：如圖②，△/10名是將圖①中地△/O8繞點(diǎn)/按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到地三角形，連接CE,

點(diǎn)P,Q分別為C&BO,地中點(diǎn)，連接PQ,PB.判斷地形狀，并證明你地結(jié)論。

(3)拓展延伸：如圖③,A4OE是將圖①中地zMOB繞點(diǎn)”按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得到地三角形，連接80：

點(diǎn)P,Q分別為CE,8(7地中點(diǎn)，連接PQ,PB.若正方形ABCD地邊長(zhǎng)為1，求APQB地面積.

12.(2020泰安)小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖(1)那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖

(2)地平面圖形，ZACB與ZECD恰好為對(duì)頂角，/ABC=NCDE=90°,連接BD,AB=BD,點(diǎn)、F是線

段CE上一點(diǎn).

探究發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)點(diǎn)尸為線段CE地中點(diǎn)時(shí)，連接(如圖(2)),小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：出壯。?你認(rèn)為此

結(jié)論是否成立？.(填“是”或“否”)

拓展延伸：

(2)將(1)中地款件與結(jié)論互換，即：若則點(diǎn)尸