山東省泰安市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)含解析

高一數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足z0+i）=l一”。為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.

【詳解】因?yàn)閦(l+i)=l—2i,

l-2i(l-2i)(l-i)l-i-2i+2i213.

所以z---------1

1+i-(l+i)(l-i)-222

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-，位于第三象限.

故選：C

2.已知尸（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.2,則P（A5）=（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

【答案】B

【解析】

【分析】依題意根據(jù)P（43）=P（A）+P（8）—P（AB）計(jì)算可得;

【詳解】解：因?yàn)镻（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.2

則P（AB）HP（A）P（B）,所以事件A與事件B不相互獨(dú)立，

..尸(A3)=尸(A)+P(B)_尸(A5)=0.5+0.3-0.2=0.6.

故選：B

3.如圖，某圓柱側(cè)面展開圖的斜二測(cè)直觀圖為平行四邊形A'3'C'。'，已知

A'OJB'O'UOE-C'ETD'E'MTI,則該圓柱的體積為()

A.2/B.2兀2C.兀4D.兀2

【答案】B

【解析】

【分析】利用斜二測(cè)畫法得到原圖矩形ABC。中，筋=3。=2兀，從而求出圓柱的高，底面半徑，從

而求出圓柱的體積.

【詳解】由斜二測(cè)畫法得，在原圖矩形ABC。中，AB=BC=2n,所以該圓柱的高為2兀，底面半徑為

27r

—=1,故該圓柱的體積為兀X2兀=2兀2.

271

故選：B

4.已知加，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是()

A.若加〃a,〃ua,則/篦〃〃B.若〃？〃“，w_La,則〃J_a

C.若加_L〃，加〃a,則〃〃aD.若a_L尸，加_La,則加〃尸

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若“〃a,〃ua,則小〃〃或異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，若m〃n,mVa,則〃_La,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若加_1_〃，加〃。，則〃//a或〃ua或相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若。，/?,mla,則加〃尸或機(jī)u〃，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B

5.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，參保險(xiǎn)

種比例定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠.已知該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)

種的參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如上統(tǒng)計(jì)圖例，則以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

8%254周歲

參保人數(shù)比例

A.18~29周歲人群參保總費(fèi)用最少

B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的20%

C.54周歲以上的參保人數(shù)最少

D.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表一一分析即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由扇形統(tǒng)計(jì)圖及折線圖可知，8%x6000<20%x4000,

故不小于54周歲人群參?？傎M(fèi)用最少，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，30周歲以下參保人群約占參保人群的20%,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，54周歲以上的參保人數(shù)約占8%,人數(shù)最小，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種更受參保人青睞，故D正確；

故選：A.

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次，甲表示事件”第一次骰子正面向上的數(shù)字是2"，乙表示事件“兩次骰

子正面向上的數(shù)字之和是5"，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲乙互斥B.乙丙互為對(duì)立C.甲乙相互獨(dú)立D.甲丙相互獨(dú)立

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)古典概型的概率公式分別求出三個(gè)事件的概率，再利用互斥事件、對(duì)立事件以及事件的

獨(dú)立性定義P（AB）=P（A）P（3）判斷各選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的所有可能情況為36種，

甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”包含的基本事件有：

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,則片=提=:；

乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”包含的基本事件有：

（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,則鳥=與=1

丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”包含的基本事件有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,則4=三=:；

366

對(duì)于A,甲乙有可能同時(shí)發(fā)生不是互斥事件，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,除了乙丙以外還有其他事件發(fā)生不是對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,甲乙同時(shí)發(fā)生的概率為4=上7［鳥，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,甲丙同時(shí)發(fā)生的概率為巴=力=46，D正確.

故選：D.

7.已知口=1,分），a1（a+b］,則向量。在向量〃上的投影向量為（）

A.（一1,一6）B.（-A/3,-1）C.與D.一；，-乎

\/\/

【答案】D

【解析】

【分析】先算W，再求與向量b同向的單位向量和a在。上的投影，然后由投影向量定義可得.

1-1,一bA應(yīng)、

【詳解】由題知W=Jl+3=2,與向量力同向的單位向量為忖=（］，5-）

因a_L（a+h）,所以+=&-+a./?=1+2cos〈a,6〉=0,得cos〈a,/?〉=-g

所以向量a在向量匕上的投影為14cos〈a,?！?—；,

所以向量a在向量》上的投影向量為-臬，芻=（」「當(dāng)

22244

故選：D

8.已知正四面體A8CO的體積為26，E為棱AB的中點(diǎn)，球。為該正四面體的外接球，則過點(diǎn)E的

平面被球。所截得的截面面積的最小值為（）

99

加

兀

-兀-

A.4471D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)正四面體的體積求出棱長(zhǎng)和正方體的邊長(zhǎng)，再利用正方體的體對(duì)角線等于外接球

的直徑，即可求出球的半徑R,當(dāng)過點(diǎn)E的截面到球心。的距離最大為4=邁時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小

2

值，最后利用球的截面的性質(zhì)求出截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積最小值.

【詳解】如圖所示，球。為正四面體ABC。的外接球，即為正方體的外接球，

正四面體ABCQ體積為2n，

設(shè)正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為血?jiǎng)t正方體的棱長(zhǎng)為。，

所以a，—4x—x—xa~xa=2>/6,解得a=，

32

設(shè)正四面體ABC。的外接球的半徑為A,則(2R『=(V6)2+(V6)2+(V6)3,

372

基底R(shí)=

因?yàn)镋為棱A8的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作其外接球的截面，

當(dāng)截面到球心。的距離最大值時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值,

此時(shí)球心。到截面距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，即d=邁,

2

可得截面圓的半徑為：r=yjR2-d2=5

所以截面圓的面積最小值為：5=兀/=(6『兀=3兀.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=L—?jiǎng)t下列說法正確的是()

22

A.5的虛部是也i

2

B.z+z=|z|

C.復(fù)平面內(nèi)z和2分別對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為1

D.z2+z=0

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A,根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義判斷，對(duì)于B,通過計(jì)算判斷，對(duì)于C,利用兩點(diǎn)間的距離公式分

析判斷，對(duì)于D,通過計(jì)算判斷.

【詳解】對(duì)于A,由z=L-且i，得1=工+立i，所以1；的虛部為走，所以A錯(cuò)誤，

22222

0_［+j_立］=1，所以Z+彳=同，所以

對(duì)于B,因?yàn)閦+5=g+與i=1'|z|=j

⑵（2J

B正確，

和C百〕

對(duì)于C,因?yàn)槠矫鎯?nèi)z和N分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為

（22J122J

所以這兩個(gè)點(diǎn)間的距離為，>工一工］+（一也一走〕=g

所以C錯(cuò)誤，

卜221122）

6工c,-（1君?丫161百.3.21萬(wàn)

對(duì)于D,因?yàn)閦-+z=-----1+-+——1=-----i+—r+—+—i=0,所以D正確，

^22J2242422

故選：BD

10.已知函數(shù)〃x）=Asin（2x+°）（A>0,0<°<7t）的最大值為3,且/（X）的圖象關(guān)于直線x=5對(duì)

6

稱，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)“X）的最小正周期為2兀B./-=-

C.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)［一1,。］對(duì)稱D.函數(shù)“X）在兀兀

上單調(diào)遞減

62

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出A、。，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=Asin(2x+o)(A>O,O<0<7t)的最大值為3,所以A=3,

又/(x)的圖象關(guān)于直線％=工對(duì)稱，所以2x'+°=&+Ai,keZ,所以9=2+桁，keZ,

6626

因?yàn)?<0<兀，所以9=百，所以〃x)=3sin(2x+2],則函數(shù)〃x)的最小正周期丁===兀，故A

6\6J2

錯(cuò)誤；

f停)=3sin〔2x久卜35蟲+￡|=3冶=|,故B正確；

/(-1=3sin(->看)=3sinO=O,所以/(x)關(guān)于(一意,0)對(duì)稱，故C正確；

7C71I,c兀717KJT371

當(dāng)XE-，貝！J2xHG-,—因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)遞減,

62626

兀7C

所以函數(shù)“X)在上單調(diào)遞減，故D正確；

故選：BCD

11.已知點(diǎn)尸是-ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP=2xAB+yAC,x,yeR,則下列說法正確的是

()

A.若x=y=」，則點(diǎn)P是邊8c的中點(diǎn)

2

B.若點(diǎn)尸是邊8c上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則

*3

C.若2x+y=2,則PBC與ABC的面積相等

D.若點(diǎn)P在8C邊中線上，且2x+y=g,則點(diǎn)尸是二ABC的重心

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量線性法則及共線定理判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)x=y=4，則AP=AB+，AC,

22

1?1

即-即3尸=/AC,所以8P〃AC，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若點(diǎn)尸是邊8c上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以8尸=：BC,

所以AP=A8+6P=AB+—BC=AB+—（AC—AB）=-AB+—AC,

33、>33

又AP=2xA8+yAC,且48、AC不共線，所以x=y=；,故B正確；

對(duì)于C：若2x+y=2,則y=2-2x,

所以AP=2xAB+yAC=2xAB+（2-2x）AC,

如圖延長(zhǎng)AB到點(diǎn)。使得4?=%>,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E使得AC=CE,則AO=2A8，AE=2AC>

所以AP=xAO+（l-x）AE,所以。、P、￡；三點(diǎn)共線，

又為三角形ADE的中位線，所以A、P到BC的距離相等，所以5Ase=Spsc，故C正確;

對(duì)于D：取8c的中點(diǎn)"，所以AM=；A8+；4C,

又點(diǎn)P在3c邊的中線上，設(shè)AP=/IAA/，

'2111

又AP=2xA3+），AC,所以J,又2x+y=—，所以％=—,即AP=—AM,

2x=-2222

I2

此時(shí)P為AM的中點(diǎn)，則點(diǎn)P不是JRC的重心，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

12.如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，已知NAC8=9()o,AC=8C=CG=2,E為4G的中點(diǎn),

過AE的截面與棱B4,4G分別交于點(diǎn)尸，G,則下列說法正確的是（）

A.三棱錐A-AEF的體積為定值

B.線段C|G長(zhǎng)度的取值范圍是04

C.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合時(shí)，四棱錐C—AEEG的體積為2

D.存在點(diǎn)尸，使得

【答案】AC

【解析】

（分析】延長(zhǎng)FE交CC、延長(zhǎng)線于H,連接A"4G=G，過點(diǎn)￡作EM_LA4交A￡于點(diǎn)M,根

據(jù)匕-=%-AAF及錐體的體積判斷A;用BF長(zhǎng)表示GG長(zhǎng)并求出范圍判斷B；利用割補(bǔ)法求出體積

判斷C；取A片上靠近點(diǎn)瓦的四等分點(diǎn)M,依題意只要LAM即可，推出矛盾，即

可判斷D.

【詳解】在直三棱柱ABC-4與￡中，ZACB=90°,AC=BC=CC1=2,E為8c的中點(diǎn)，有

AB=2及，

延長(zhǎng)EE交CC延長(zhǎng)線于，，連接A”AG=G,如圖1,令5尸=xe[0,2],

于是光=tanNHEq=tan/FEB1=m，即"G=%，由GG//AC,得空=旦，即

C,EB、EACHC

x+2

四棱錐C—AFEG即C-ABEG的體積：

=

^C-ABEG^E-ACB+旌-ACG=§S48c'BB1+—5ACC-EC\

—x—X2X2X2H—x—x2x2xl=2,故C正確；

3232

對(duì)于D：取44上靠近點(diǎn)功的四等分點(diǎn)M,又A可知A"即AE在平面A844內(nèi)的射影,

要使4FJ.AE,只要A/J,AM即可,

若設(shè)ABAM^I,則/必1M+NAM/=90°,又N4AM+NA"/=9O°,

4MB、F

所以NE4,M=N41AM,所以一AA"SA耳尸，得則4尸=3,

AAt4四

所以不存在點(diǎn)尸，使得AFLAE,故D錯(cuò)誤;

當(dāng)

F

B

故選：AC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)在北京圓滿落幕.這是一場(chǎng)疫情肆虐下的體育盛

會(huì)，是一場(chǎng)團(tuán)結(jié)、友誼、奮進(jìn)、拼搏的盛會(huì)，是一場(chǎng)充分體現(xiàn)中華民族文化自信的盛會(huì).籌備期間，某

大學(xué)青年志愿者協(xié)會(huì)接到組委會(huì)志愿者服務(wù)邀請(qǐng)，計(jì)劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與

冬奧會(huì)的志愿服務(wù)工作.已知大一至大三的青年志愿者人數(shù)分別為50,40,30,則按分層抽樣的方法，

在大一青年志愿者中應(yīng)選派人.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣按比例抽取計(jì)算即可

【詳解】由題意，在大一青年志愿者中應(yīng)選派24xk^^=l°人

故答案為：10

14.已知。是第三象限角，且cos8=—巫，則tan28的值是.

10

3

【答案】一一##-0.75

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求得tan。的值，再根據(jù)正切二倍角公式求得tan2。的值.

【詳解】因?yàn)?。是第三象限角，且cos?=-?，

10

所以sin。=-71-cos20=-巨,則tan0-包g=3,

10cos。

gicn2tan?2x33

所以tan20=------=——-=一一.

1-tan2^1-324

3

故答案為：一：.

4

15.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高A8,選取與塔底3在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)。和。，測(cè)得

ZBCD=75°,ZBDC=45°,CD=20V3m,并在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°,則塔高AB=

【解析】

【分析】先在△88中，利用正弦定理求出8C,然后利用銳角三角函數(shù)可求出AB.

【詳解】在△8CD中，N5C￡>=75°,NBDC=45。,

則ZDBC=180°—/BCD-ZBDC=180°—75。-45。=60°,

所以CD?sin/BDC=BC-sinZDBC,

所以20>/3sin45。=OC?sin60°，得BC=2072，

AR

在RtaABC中，ZACB=30°,tanZACB=——,

BC

所以AB=BCtanNACB=2072tan30°=20垃x—=生員,

33

所以塔高48=生色111，

3

20V6

故答案為:

3

16.在銳角中，已知A=30。,AC=2,則8A-8C的取值范圍為

【答案】〔嗚

【解析】

【分析】利用正弦定理得到。=」一2sinC皿?.八2sinCeos“

c=--------,則BA-BC=accosB=--------；-----,再轉(zhuǎn)化為關(guān)

sinBsinBsin*2B

于8的三角形函數(shù)，由三角形為銳角三角形求出8的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

aba2c

【詳解】由正弦定理,即

sinAsinBsinCsin30°sinBsinC

2sinC

所以。二-----,c

sinBsinB

2sinCeosB

所以BA-BC=accosB=

sin25

2sin^+BJcosB

sin?8

Tl兀）

2sin—cosB+cos—sinB\cosB

=I66J

sin2B

cos2B+V3sinBcosB

sin2B

1+V3tanB1y/3

tan2Btan2BtanB

0<B<-

27171

因?yàn)?.ABC為銳角三角形，所以〈：,解得二<B（二,

八八5兀n兀32

0<C=-----B<—

I62

所以tanB>6，則0<------<—,

tanB3

(G

令，=—-—,則〃(/)=*+6/,顯然在0,-^-上單調(diào)遞增,

tanB3/

g4,所以/Oelo,：),

且/z(O)=O,h

3

即一+走eH,

tan'BtanB

所以BABC的取值范圍為(o,gJ

故答案為：^0,—j

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在銳角_48。中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,dc,向量〃?=倒"6),〃=(c,sinC),且

mHn.

(1)求B；

(2)若M為AB中點(diǎn)，a=3,的面積為迪，求CM的長(zhǎng).

2

TT

【答案】⑴-

3

(2)不

【解析】

【分析】(1)由向量共線的坐標(biāo)表示得到2萬(wàn)sinC=6c，再由正弦定理將邊化角，即可得解；

(2)由面積公式求出c,即可得到用0=1，再由余弦定理計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)橄蛄浚?(2乩⑹，h=(c,sinC),且為〃近,

所以2Z?sinC=，由正弦定理可得2sin5sinC=若sinC，因?yàn)閟inC>0,

所以sin8=等，又所以8=g.

【小問2詳解】

因?yàn)橐籄BC的面積為上叵，所以_lacsinB=2叵，

222

所以AO〃GR且A￡>=GF，

所以四邊形A0FG為平行四邊形，

所以AG〃ED，

又AGu平面￡45，￡>尸0平面￡45，所以0/7/平面EW.

K

【小問2詳解】

B

因?yàn)锳DSAB，AD//BC,所以AB13C,

所以SVBCD=5X2x1=1,

17

又AE_L平面ABC。，所以匕_Be=§x2xl=§,

因?yàn)锳DIAB，AD=AB=l，所以3。=1AD。+AB?=正，

由AE_L平面ABC。，A昆AOu平面ABCD,所以AELAB，AEA.AD,

又￡4=2，AD=AB^\,

所以EB=ED=EH=后，

所以SBE0=；X0X/（逐）一號(hào)=^'

132

設(shè)點(diǎn)C到平面BDE的距離為h,則VC_BDE=VE_BCD=-x-A=-,

4

解得力=§.

19.某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)，為了解居民對(duì)活動(dòng)的滿意程度，相關(guān)部門從甲，乙兩個(gè)社區(qū)各

抽取了20人進(jìn)行打分（分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿分100分）.

甲社區(qū)20名居民的打分記錄如下：

52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.

將乙社區(qū)20名居民打分分成[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,1（刈五組，并畫出了其頻率分布

直方圖

頻率

組距

0.030-------------------------——

0.025------------------——

0.020------------——

0.015--------------------------------------

0.010————

0.005-

7080J。由0乙我區(qū)居民打分

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求甲社區(qū)20名居民打分的第75百分位數(shù)；

（2）估計(jì)乙社區(qū)20名居民打分平均分（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

（3）現(xiàn)從甲，乙兩社區(qū)打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區(qū)的概率.

【答案】⑴85.5

（2）77

⑶3

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)公式計(jì)算可得；

（3）利用列舉法及古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)?0x75%=15,

所以這20個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是從小到大排列的第15和第16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即更坦=85.5,

2

即甲社區(qū)20名居民打分的第75百分位數(shù)為85.5.

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖可知，乙社區(qū)2（）名居民打分的平均分為：

55x0.1+65x0.2+75x0.25+85x0.3+95x0.15=77.

【小問3詳解】

甲社區(qū)打分不低于90分的有2人記作A、B,

乙社區(qū)打分不低于90分的有0.015x10x20=3人，記作〃、b、c,

從中任選2人的可能結(jié)果有AB、Aa.Ab.Ac、Ba、Bb、Be、ab、雙、兒共10個(gè)基本事件,

其中滿足2人不在同一社區(qū)的有Aa、Ab,Ac、Ba、Bb、比共6個(gè)基本事件，

所以2人不在同一社區(qū)的概率=3.

105

設(shè)f(x)=a-b.

(1)若=求cos(§-aj的值；

(2)將函數(shù)y=/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;，縱坐標(biāo)不變，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若函數(shù)y=g(x)一左在0,^7i上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

【答案】(1)-

6

⑵[0,|]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換可得/(X)的表達(dá)式，結(jié)合/(?)=：可得

sinl?+利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，即得答案.

⑵根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換規(guī)律可得y=g(x)的表達(dá)式，結(jié)合x的范圍求得y=g(x)的值域，即可求

得答案.

【小問1詳解】

由題意得/(%)-a-b=>/3sin—cos—+cos2X

222

V3.1+cosx.(兀)1

—sinxH---------sinXH—4—,

22t6j2

,/兀)12.n]1

由=得sma=7,即sina+—,

3v6723k0y6

【小問2詳解】

由題意得g(x)=sin[2(x-m)+m]+:=sin(2x-B]+:，

八5,c兀兀2

因?yàn)椤悖?，故—?/p>

12663

所以sin故g(x)e

53

故函數(shù)y=g（x）—%在0,—7i上有零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)攵的取值范圍為［0,g.

21.甲，乙兩人進(jìn)行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分

先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒有

人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平.假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為負(fù)的概率為

且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立.

（1）求第三局結(jié)束時(shí)甲獲勝的概率；

（2）求乙最終以2分獲勝的概率.

【答案】（1）—

【解析】

【分析】（1）對(duì)甲來說共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝），根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求

解.

（2）以比賽結(jié)束時(shí)的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行分類，在每一類中根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)事件A為“第三局結(jié)束甲獲勝”，

由題意知，甲每局獲勝的概率為不獲勝的概率為g.

若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）.

故P（A）=，XLX，+」X，XL=L

',2222224

【小問2詳解】

由題知，每局比賽中，乙獲勝的概率為』，平的概率為1一1—負(fù)的概率為:，

32362

設(shè)事件B為“乙最終以2分獲勝

若第二局結(jié)束乙獲勝，則乙兩局連勝，此時(shí)的概率=

若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）.

212

此時(shí)的概率鳥=—X—X—+—X—x—=

33333327

若第四局結(jié)束乙以2分獲勝，則乙第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情

況：

（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負(fù)，勝）,

（勝，負(fù)，平，勝），（平，勝，負(fù)，勝），（負(fù)，勝，平，勝），（平，負(fù)，勝，勝），（負(fù)，平，勝，勝）.

?……八1111,1111/7

此時(shí)的概率g=-x-x—X-X3+-X-X—x-x6=