2023屆高考數(shù)學一輪復習收官卷一理科（含解析）(全國甲卷)

2023屆高考數(shù)學一輪復習收官卷（一）（全國甲卷理科）

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.）

1.（2022?北京?北理工附中高二期中）已知i為虛數(shù)單位，則二=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】C

［詳解】(i+i)—

1-i(l-i)(1+i)2,

故選：c.

2.(2022?天津?高三期中)己知全集。=卜€(wěn)附g6},集合A={1,2,3},8={1,3,5},則外(Au8)=

()

A.{1,2,4,5,6}B.{4,6}C.{0,4,6}D.{0,1,4,5,6）

【答案】C

【詳解】由題知U={01,2,3,4,5,6},AU8={1,2,3,5},

則d（AuB）={0,4,6},

故選:C.

3.（2022?福建?高三階段練習）4=（-2,，*），6=（1,2）,且卜+6卜卜-0,則加=（）

A.—1B.—C.—D.1

22

【答案】D

【詳解】由卜+*卜-耳得（。+@=（。叫:

即<7+b+2a-b=a+b-1a-b-）

解得ah=0,

因為a?b=-2+2?j=0,解得m=\.

故選：D.

y=—~>0）

4.（2022?四川?樂山市教育科學研究所三模（文））四參數(shù)方程的擬合函數(shù)表達式為.J1二j'7

常用于競爭系統(tǒng)和免疫檢測，它的圖象是一個遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)曲線，或雙曲線（如y=/）,

還可以是一條S形曲線，當a=4,h=-l,c=l,d=l時，該擬合函數(shù)圖象是（）

A.類似遞增的雙曲線B.類似遞增的對數(shù)曲線

C.類似遞減的指數(shù)曲線D.是一條S形曲線

【答案】A

【詳解】解：依題意可得擬合函數(shù)為丫=丁—+1,(x>0),

\+x

3X+13

BPy=—-H=()-+1=^3_+4,(X>0),

14-XX+lX+l

由y=?(x>l)向左平移1個單位，再向上平移4個單位得到丫=鼻+4,(x>0),

因為y=7在(1,一)上單調(diào)遞增，

所以擬合函數(shù)圖象是類似遞增的雙曲線；

故選：A

5.(2022?河南?濮陽南樂一高高三階段練習(理))把函數(shù)y=msinx+〃cosx的圖象向左平移。(。￡(0成

sin^=|)個單位長度，可得函數(shù)y=5cos無的圖象，則加+〃=()

A.7B.1C.9D.8

【答案】A

【詳解】將函數(shù)V=5cosx的圖象向右平移9個單位長度，得函數(shù)

y=5cos(x-0)=5(cos0cosx+sin0sinx)=5f^cosx+|-sinx

=3sinx+4cosx的圖象，則對于任意實數(shù)x,

有3sinx+4cosx=/Msinx+〃cosx，故，〃=3,n-4,故m+〃=7.

故選：A.

6.(2022?安徽蚌埠?一模)如圖，正方體ABC。-ABC。的一個截面經(jīng)過頂點AC及棱上一點K,

截面將正方體分成體積比為2:1的兩部分，則+T的值為(

3-百

2

【答案】C

【詳解】設正方體棱長為1,KB、=X,

如圖所示，該截面把正方體分為幾何體A8C-KqM和另一幾何體,

2

由面面平行的性質(zhì)可知：KMIIAC,

延長AK,CM,相交于點0,則Oe平面AB4A，且Ow平面8CGA，

又平面ABB^平面BCQB、=BBt,

所以。在直線上，即AK,CM,84三線共點，

所以幾何體ABC-KB]M為三棱臺，

其中三棱臺A8C-K&M上底面積是gd,下底面積為高等于1,

所以；+xl=1,解得：x=

所以AK=I-邑1=B,坐=三羯4=昱1

22K6275-12

故選：C

7.（2022?廣西北海?一模（理））已知數(shù)列｛q｝的前0項和為S“，且滿足5“=g（a“+?-1)＞則數(shù)列｛叫(｝

的前81項的和為（）

A.1640B.1660C.1680D.1700

【答案】A

【詳解】由5,=g(a“+〃-l)，

有“向=s“+i-s’,=5(“什1+”)_5(”“+〃-1)=萬4+1一萬4+萬，有q,+q“i=1?

01_“日[o,〃為奇數(shù)

又77由rti4=5=/可得q=n。，可得可喉“為偶數(shù)，

則數(shù)列｛,4,｝的前81項的和為2+4+6++80=40x(2+8°)=1640.

故選：A

3

8.(2022?河南?一模(理))已知函數(shù)￡(力=4，人(犬)=也應，力(x)=xsinx,f4(x)=xcosx,這

【答案】A

k|

【詳解】工(X)=￡=<

-三,x<0

當x<0時，工'(力=三二<0當x<0時恒成立，則￡(外在(一,0)上單調(diào)遞減；

當xwo時，fi(x>)=--r

當04x41時，(x)>0,當x>l時，/'(x)<0,

則力(x)在［0』上單調(diào)遞增，在(I,一)單調(diào)遞減；

故工(力對應得圖象為①；

山)衛(wèi)?n卜x，

xInx八1

----,0<x<1

、x

當0<x<l時，<(》)=寫」<0當0<x<l時恒成立，則力(X)在(0,1)上單調(diào)遞減;

當x21時，(x)=1

當IMxWe時，力'(x"0,當X>e時，力'(力<0,

則力(x)在［1,e］上單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減；

故力(x)對應得圖象為③；

力(x)=xsinx的定義域為R,Jify(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f3(x),

???力(x)為偶函數(shù)，故A(x)對應得圖象為②；

/,(x)=xcosx的定義域為R,Jiz,(-X)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f4(x),

4

.??力（X）為奇函數(shù)，故力（X）對應得圖象為④；

故選:A.

2

1.1m-am+l=O

9.（2022?上海奉賢?二模）已知平面向量〃，m,n,滿足a=4,,則當機與〃的夾

11[n2-a-n+}=0

角最大時，的值為（）

A.4B.2C.73D.1

【答案】C

【詳解】設a,肛〃的起點均為。，以。為原點建立平面坐標系，如圖所示，

不妨設。=（4,0）,m=（x,y）,JU!]m+y2>a-m=4x<

由,-c+1=0可得x~+y-—4x+1=0,即（x-2）_+y~=3,

???/n的終點M在以（2,0）為圓心，以白為半徑的圓上，

同理〃的終點N在以（2,0）為圓心，以6為半徑的圓上.

顯然當OM,QN為圓的兩條切線時，NMON最大，即根與〃的夾角最大.

設圓心為A,則4知=行，OM=<0曾-AM?=1，MsinZMOA=-y-,

ZMOA=60°,

設MV與x軸交于點8,由對稱性可知MN_Lx軸，且MN=2MB,

：.MN=2MB=2OMsinZMOA=2x\x—=y/3,

即當機與〃的夾角最大時，"H=6

故選：c

10.（2022?天津?二模）已知三棱錐S-ABC的底面是以A8為斜邊的等腰直角三角形，

SA=SB=SC=AB=2,設S,A,B,C四點均在以。為球心的某個球面上，則。到平面ABC的距離為

（）

5

A.立B.—C.—D.—

3234

【答案】A

【詳解】取46中點〃連CD,SD,如圖，

因46是等腰直角一ABC的斜邊，則〃是球。被平面ABC所截圓圓心，CD=\,

又SA=SB=SC=AB=2,則有SO_LA8,S￡）=g,ffijSD2+CD2=4=SC2,即NSZ）C=90,SD1CD,

而COIAB=￡>,8,ABu平面ABC,則SO_L平面ABC,由球的截面圓性質(zhì)知，球心0在直線助上，

球半徑R=或R=6+O。，由R2=OZ）2+12,即（6-0力）2=0。2+尸解得立，或

3

電+CW=On?+/得無解，

所以。到平面A8C的距離為在.

3

故選：A

11.（2022?湖北?丹江口市第一中學模擬預測）已知拋物線C：V=4x的焦點為￡直線/過焦點少與。

4

交于44兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于〃，少兩點，且|OE|=g|A3|,則直線/的方程為（）

A.x±>/3y-l=0B.x±y-l=0

C.2x±y-2=0D.x±2y-l=0

【答案】C

【詳解】設1人8|=2/（2北4）,48的中點為4/,W，），軸于點兒過4夕作準線戶_1的垂線,垂足分別為4出，

如下圖：

6

由拋物線的定義知2(1肱V|+1)=|A4j+忸閔=|AF|+13尸1=1AB|=2r,

故|MN|=r-l,

所以|OE|=2冊—(一1)2=|r,

即16--50+25=0，

解得r=|或r=|(舍去)，

故."的橫坐標為3;，

設直線/。=化*一1),4(%,頭),3(々,%)，

將y=-x-l)代入y2=4x,

得以2一(2公+4卜+公=0,

則玉+赴="聲=3,

解得k=±2,

故直線/的方程為2x±y-2=0.

故選：C.

12.(2022?江蘇?蘇州外國語學校模擬預測)設函數(shù)"x)=￡J+sinx,不等式

/(a—xe,)+/(lnx+x+l)40對犬>0恒成立，則實數(shù)a的最大值為()

A.e-1B.1C.e-2D.0

【答案】D

【詳解】因為/(-x)=F±-sinx,所以-/(x)=f(—x),所以f(x)為R上的奇函數(shù).

因為/'(x)=e曹_+cosx>2e?e—pcosx=1+cosx>0，所以/(*)在R上單調(diào)遞增.

不等式/(“一萬6')+/(111》+*+1)40可轉(zhuǎn)化為/(皿》+工+1)4/(疣*-4),

所以Inx+x+1<xe'—。，即a—lnx-x-1對x>0恒成立.

令g(x)=xev-lnx-x-1,則g(x)=elnvev-Inx-%-1=elnv+x-(lnx+x)-l,

令〃(x)=e"-x-l,則/?(x)=ev-1.

當x>0時，”*)>0,〃⑺在(0,+A)上單調(diào)遞增；當xvO時，"(x)vO,〃⑺在(7,0)上單調(diào)遞減.

所以Mx)min=/z(O)=e°-0-1=0,SP/i(x)>0,

所以g(%)NO,且當lnx+x=0時,g(x)取最小值0,

故。40,即實數(shù)a的最大值為0.

7

故選：D.

二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.（2022?河南商丘?三模（理））寫出同時滿足下面兩個性質(zhì)的數(shù)列｛。,,｝的一個通項公式勺=.

①｛4｝是遞增的等差數(shù)列；②%-/+為=1.

【答案】n-2（答案不唯一，滿足冷0,%=1即可）

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由。2-％+4=1，得4+24=1,

由①可知d>0,取。=1,則4=一1,

所以數(shù)列｛%｝的一個通項公式4=-1+5-1）=〃-2.

14.（2022?廣西北海?一模（理））（2x+iy（x-1）4的展開式中x4的系數(shù)為.

【答案】9

【詳解】（2X+1）2（X—1）4=（4X2+4X+1）（X—1）4,

展開式中%4的系數(shù)為4C；+4C：x（-l）+C：=9.

故答案為：9

15.（2022?全國?模擬預測）己知耳，尸?分別是雙曲線G￡-衛(wèi)=1的左右焦點，雙曲線C的右支上一

a~b

點0滿足=。為坐標原點，直線五衛(wèi)與該雙曲線的左支交于。點，且PQ=2￡P,則雙曲線C的

漸近線方程為.

\QF^m-2a,\PF2\=^m+2a.又|0。|=|0凰=g由周，,4鑿=90°?在Rt/V；Q8中，有

I。用，+|。閭2=忻植,，W+（，"-2a）2=4c2①.在RtPQ島中,有|PQ『+|Qg「=|Pg「,

8

臣J+(〃L=(；〃?+2aJ②，由②化簡可得利=4a,將其代入①中，得20/=公2=4(/+尸)，即

h=2at

雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)±?x=±2x.

a

故答案為：y=±2x.

16.(2022?河南省杞縣高中模擬預測(理))實數(shù)x,y滿足e'-24(x—3y-1)?,,則的值為.

【答案】]

【詳解】因為e"2w(x—3y—l)e31所以/⑴々<8一3丫一1.

顯然x-3y-l>0,令x-3y-2=f,則「>一1,且dWf+1,

令/(f)=e'-f-1(f>T),則/'(f)=e'-1,

所以當—l<r<0時，r(f)=e'—1<0；

當r>0時，r(f)=eT>0,

所以/⑺在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以對V/>T,/(r)>/(0)=0,即e'Wf+1,當且僅當1=0時等號成立.

綜上，當且僅當f=0時，e'Vf+l成立，

x2

此時x-3y-2=0,解得《一尸^.

故答案為：I

三、解答題(共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.其中第17—21題為必做題，每個試題

考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(一)必做題(共60分，每題12分.)

17.(2022?四川省綿陽南山中學模擬預測(理))記的內(nèi)角AB,。的對邊分別為％b,c,已知

4Z+2Z>COSC=0.

(1)tanC+3tan8的值；

⑵若反2,當角A最大時，求，ABC的面積.

【答案】(1)0

⑵百

(1)

<.*6f+2Z?cosC=0,由正弦定理得：sinA+2sinBcosC=0,

Vsin=sin[n-(^+C)]=sin(B+C),

9

/.sin(B4-C)+2sinBcosC=0,

/.sinCeosBd-3sinBcosC=0,

方程兩邊同時除以cosBcosC得:

/.tanC+3tan3=0,

(2)

tan8+tanC

方法一:VtanA=-tan(B+C)=-

1-tanBtanC

tanB-3tanB_2tanB

1-tanB(-3tanB)1+3tan2B

2,2百

=-------------------s——=----

-t-a-n--8--+--3--t-a-n--B------2ZV/—ta—nB-3tanB

當且僅當tan8=走，即B=g時等號成立，此時力取到最大值￡.

366

,:b=2,

r\

則C=n_A_8=』

3

2

由正弦定理得：三二—即—sin生，解得：c=26,

sinAsinCsin—

o3

二當4最大時，5"=*田；22科母

方法二：???〃+力cosC=0,

：.a+2b--+b^'=0,

2ab

2a2+/_2=0,

當且僅當下噎即”3時等號成立，此時，取到最大值町,

Yb=2,

?**c=2\/3，

10

.,.當［最大時，S^,BC=-/jcsinA=—-2-2-73?—=5/3

222

18.(2022?湖北?丹江口市第一中學模擬預測)如圖，在多面體A8CDEF中，四邊形CQ"1是邊長為2

的正方形，AB//CD,AD±CD,BE=3AB=3,A￡>=2.

(1)求證：平面平面BCE；

(2)求平面AQF與平面3CF所成銳角的余弦值.

【答案】(D證明見解析；

⑵①

5

(1)

證明：連接80，

因為8E=3A8=3,4O=2,

所以AB=1,

因為A8//C2/WJ.8,

所以

由勾股定理得：BD=\lAD2+AB2=y/5'

因為BE=3,DE=2,

BE2=DE1+BD1,所以8O_L￡)E,

11

又CDA.DE,CDBD=D,

所以平面ABC￡>,

又">u平面ABC。，

所以DEIAD,

又AOJ.C￡>,E。CD=D,

所以AD_L平面C3E產(chǎn)，

又CEu平面C￡)E尸，所以4JJLCE,

又DFLCE,ADDF=D,所以CE_L平面AOF,

又CEu平面BCE,所以平面AT>F_L平面BCE.

(2)

由(1)知D4,DC,/)E兩兩垂直，以〃為原點，。4。<7,。后的方向為矛，y,z軸的正方向建立如圖所示的空

間直角坐標系.

C(0,2,0),E(0,0,2),F(0,2,2),8(2/,0),CE=(0,-2,2),C8=(2,-1,0),CF=(0,0,2),

由CE_L平面ADF知CE=(0,-2,2)是平面ADF的一個法向量.

設平面8CF的法向量為"=(x,y,z),

CBn=02x-y=Q

由，得:

CFn=02z=0

解得：z=0,令x=l,則y=2,故”=(1,2,0),

設平面ADF與平面BCF所成銳角為0,

|CE.〃|IT屈

即cos0=

\CE\-\n\~242X45~5

所以平面4)尸與平面8b所成銳角的余弦值為典.

5

19.(2022?福建省漳州第一中學模擬預測)漳州某地準備建造一個以水仙花為主題的公園.在建園期間,

12

甲、乙、丙三個工作隊負責采摘及雕刻水仙花球莖.雕刻時會損壞部分水仙花球莖，假設水仙花球莖損壞后便

不能使用，無損壞的全部使用.已知甲、乙、丙工作隊所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%,35%,40%,

甲、乙、丙工作隊采摘的水仙花球莖的使用率分別為0.8,0.6,0.75（水仙花球莖的使用率

能使用的水仙花球莖數(shù)、

采摘的水仙花球莖總數(shù),

（1）從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機抽取三次，每次抽取一顆，記甲工作隊采摘的水仙花球莖被抽取到

的次數(shù)為久求隨機變量J的分布列及期望；

（2）已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，求它是由丙工作隊所采摘的概率.

【答案】（1）分布列見解析，期望為：3（2）先30

⑴解：在采摘的水仙花球莖中，任取一顆是由甲工作隊采摘的概率是%

依題意，4的所有取值為0,1,2,3,且

所以3=幻=域（'］圖"，左=0,1,2,3,

272791

即尸疇=1)=互,尸("2)=豆,尸&=3)=#

所以4的分布列為:

40123

272791

P

64646464

所以吁號3

4

（2）解：用A，4,A3分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊采摘，B表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后

能使用,

則P(A)=025,P(4)=0.35,尸(4)=04,

且尸國A)=0.8,P(網(wǎng)4)=0.6,P(B|A3)=0.75,

故P(B)=P(8A)+P(%)+P(%)=P(A)P(3IA)+P(4)P(*4)+P(4)P(*4)

=0.25X0.8+0.35X0.6+0.4x0.75=0.71,

P(&8)P(4)P(8l4)0.330

所以P(AJB)=

P(B)-P(B)-051-71

即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，它是由丙工作隊所采摘的概率為百.

20.（2022?黑龍江?哈爾濱市第一二二中學校模擬預測（文））已知拋物線C的頂點在坐標原點。，開

13

口向右，焦點為尸，拋物線上一點A的縱坐標為4,且用VQ4=16.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點M(8,0)作直線/交拋物線于&C兩點，判斷以BC為直徑的圓是否過原點0,并說明理由.

【答案】⑴V=8x

(2)過原點，理由見解析

【詳解】(1)由題意，設拋物線的方程為：V=2px(p>o),

所以點F的坐標為尸(日，0),點A的坐標為(q,4),

因為...-,4^-f—,4=16,則一f立］+16=16,解得p=4.

(P2八p)p(p2)

所以拋物線的方程為：/=8x.

(2)依題意可知直線/與x軸不平行，

設直線/的方程為*=外+8,

則聯(lián)立方程.二a”。得V-8外-64=0,

［x=份+8

所以)'|+必=弘，yry2=-64,

因為。3=(不，乂),。。=。2，%)，

所以03?OC=+y%=(心i+8)(61+8)+yy2

=(42+1),%+弘(乂+羥)+64=-64(獷+l)+8h84+64=0.

以BC為直徑的圓過原點O.

21.(2022?吉林?長春吉大附中實驗學校模擬預測)已知函數(shù)/(x)=or+g+c3>0)的圖象在點

處的切線方程為丫=工-1.

⑴若c=3,求“，b；

⑵若在［1,”)上恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】(1)。=一1,b=-2

(1)

解：***f(X)=0X4---I-c(ct>0),

X

：./(x)=a--^-,所以/⑴=。一8=1,即。=〃一1,

14

又?.?點在切線y=x-l上，

所以切點坐標為(1,0).

/.加一l+c=0,

所以c=1—2a,

又c=3,

所以Q=—1,b=—2.

(2)

解：由⑴可知人二々一1,c=l—2a,

:/(x)=<ix+(Ul-2a(a>0),〃尤)Nlnx在［1,+8)上恒成立，

設g(x)=/(x)-Inx,則g(x)=/(x)-lnx20在［1,+8)上恒成立,

?"(%］"，又因為g⑴=0,

(吁］),X/M),

X

1—y

當4=0時，g'(x)=\<0,

X

所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，g⑴=0,不符合題意.

當"0時，

而當---=1時4=7,

a2

若〃<0,g'(x)<0,xe(l,+a)),g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，g(l)=0,不符合題意.

若〃>()

1°當即“zg時，g'(x)20在上恒成立，

?，?而n=g(l)=0=a*g符合題意；

[-a

2°當—>1,即0<。<1一時，

a2

g(x)=0時x=9,且當14x<9時，g(x)<0,g(x)在上單調(diào)遞減，g⑴=0,不符合題意,

故舍去.

.?.綜上所述，。的取值范圍為；收).

(二)選考題(共10分，請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.)

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22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.（2022?四川攀枝花?三模（理））在平