2023屆重慶大學城第一中學高考八模數(shù)學試題試卷

2023屆重慶大學城第一中學高考八模數(shù)學試題試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設命題\/a,b&R,|a-Z?|<|a|+|Z>|,則f為

A.\fa,b^R,>|a|+|/?|B.3a,b&R,<|a|+|Z?|

C.Ba,beR,|a-^|>|a|+|i?|D.3a,beR,>|a|+|^|

2.在A3C中，角A,8,C的對邊分別為a,上c,若c-acosB=(2a-b)cosA,貝!]ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

3.已知函數(shù)/(x)=cos2x+J5sin2x+1,則下列判斷錯誤的是()

A./(x)的最小正周期為萬B./(x)的值域為[7,3]

C.“X)的圖象關于直線*=5對稱D.7(x)的圖象關于點[一￡對稱

6I4J

4.已知復數(shù)二在復平面內對應的點的坐標為(-1,2),則下列結論正確的是()

A.z-i^2-iB.復數(shù)二的共軟復數(shù)是l-2i

5.閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的。的值為()

/輸出a/

6.已知定義在R上函數(shù)的圖象關于原點對稱，且〃l+x）+/（2—x）=0,若/⑴=1,則

/(1)+〃2)+八3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

7.已知數(shù)列也｝滿足：4=1，八=段+’1；為偶數(shù)’則&=（

A.16B.25C.28D.33

，

已知函數(shù)小）=[6“二X?1）

8.2,0若方程/（%）一m-1=0恰有兩個不同實根，則正數(shù)"，的取值范圍為（)

A.

『[(LeT]

7

9.拋物線_」_二二二的焦點二是雙曲線__的右焦點，點二是曲線二/三的交點，點口在拋物

線的準線上，二二二二是以點二為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線二的離心率為（）

A

-t+JB.2^7+Jc.2V75TD.k73+3

10.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,3?）,從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）

內的概率為（）

（附：若隨機變量g服從正態(tài)分布N（〃,b2）,則P（M—b＜《＜4+b）=68.26%,

P(//-2cr<^<//4-2o-)=95.44%.)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

11.為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復.若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）

共愴傳帙教￡9%

包中6%

（18歲譬外童1旅

人外”7

>18”在讀竽

二Ht他底叱

從七人

A.該市總有1500（）戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶

12.某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱

長為（）.

A.V2B.73D.76

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點尸（1,2）,則sin（…）的值是.

14.在平面直角坐標系中，點p在曲線C：y=V-i0x+3上，且在第四象限內.已知曲線C在點p處的切線為

y=2x+%則實數(shù)匕的值為.

15.如圖，在平行四邊形ABCO中，AB=2,AO=1,則8。的值為.

2

'B

x2+y2<1

16.設O為坐標原點,A（2,1）,若點B（x,y）滿足,>,則的最大值是

0<y<}

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知/（x）=|2尤+5|-X-].

（1）求不等式/（X）」的解集；

44

（2）記/（幻的最小值為加，且正實數(shù)滿足------+-------=。+6.證明：a+b..2.

a-mbb-ma

18.（12分）在直角坐標系xO），中，圓C的參數(shù)方程為1x=一2,+2cosa為參數(shù)），以。為極點，K軸的非負半軸

y=2sin/z

為極軸建立極坐標系.

（1）求圓C的極坐標方程；

（2）直線/的極坐標方程是夕sin（8+射線0M:6=:與圓C的交點為。、P,與直線/的交點為Q,

求線段PQ的長.

19.（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機

支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，

從中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下

（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.

男性女性

035

7408

885535

20605男性女性合計

870手機支付族

38558

095非手機支付族

850001000

98220115合計

50001208

55420130

6610145

54320156

5016

（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關?

(2)用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數(shù)為求隨

機變量占的期望和方差；

(3)某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：

手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為1，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次

2

打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)

惠方案更劃算？

附:

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

K?_n(ad-bc)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)在平面直角坐標系中，點P是直線/:x=—1上的動點，廠(1,0)為定點，點。為PF的中點，動點”

滿足MQ-PR=0,且MP=/LOF(/IGR),設點用的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點尸的直線交曲線C于A,B兩點，T為曲線C上異于A,8的任意一點，直線7X,7B分別交直線/于O,

E兩點.問NOEE是否為定值？若是，求ZDEE的值；若不是，請說明理由.

k

21.(12分)已知函數(shù)/(力=/-]/有兩個極值點占，%2

(1)求實數(shù)％的取值范圍；

/(X.)/(X,),

(2)證明：人」+29<&.

X[x2

22.(10分)在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線。的參數(shù)方程為

x=2+2cos8(。為參數(shù))，直線/經(jīng)過點加卜1,-36)且傾斜角為a.

y=2sin^

(1)求曲線C的極坐標方程和直線/的參數(shù)方程;

(2)已知直線/與曲線C交于A8,滿足A為MB的中點，求tantz.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.

【詳解】

因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題，：V。力eR,,一4<同+例，則一)P為：3a,b&R,|a-Z?|>|a|+|ZJ|.

故本題答案為D.

【點睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.

2、C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin(A+3)=sinC,化簡可得sin3cosA=sinAcosA,最后分類討論可得；

【詳解】

解：因為c—acosB=(2a-b)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+3)-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sin3cosA-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

TT

當?0$4=()時4=一，AABC為直角三角形；

2

當cosA。()時sinA=sin3即A=B，AA6C為等腰三角形；

AABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題.

3、D

【解析】

先將函數(shù)/(x)=cos2x+0sin2x+l化為/(x)=2sin(2x+￡)+l,再由三角函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結

果.

【詳解】

/(x)=cos2x+Gsin2x+1

可得/(尤)=2—?cos2x+—?sin2x+1=2sin(2元+工］+1

(22JV6；

_2萬2》

對于A,的最小正周期為7=「二工=乃,故A正確；

對于B,由一1郎皿(2》+￡卜1,可得—lW/(x)43,故B正確；

JTJT

對于C,正弦函數(shù)對稱軸可得：2x0+z=k〃+—,(keZ)

62

解得：/='%乃+工，(左eZ),

26

jr

當攵=0,x=-,故C正確；

06

jr

對于D,正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標為：2xo+z=^^(ZeZ)

6

1jr

解得：入0=/%〃+運(％eZ)

若圖象關于點對稱，則，％%+2=一巴

<4J2124

2

解得：k=--,故D錯誤；

故選：D.

【點睛】

本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基

礎題.

4、D

【解析】

首先求得z=-1+23然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共扼復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析，由此確定正確

選項.

【詳解】

由題意知復數(shù)z=—l+2i,則z"=(-l+2》i=-2-i,所以A選項不正確；復數(shù)二的共輾復數(shù)是—1—2i,所以B

選項不正確；|Z|=J(—1)2+22=6,所以C選項不正確；三=土二=￡±@211二。=_1+3,，所以D選

v1+z1+z222

項正確.

故選：D

【點睛】

本小題考查復數(shù)的幾何意義，共朝復數(shù)，復數(shù)的模，復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識；考查運算求解能力，推理論

證能力，數(shù)形結合思想.

5、C

【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，計算前幾次的運算規(guī)律，得出運算的周期性，確定跳出循環(huán)時的〃的值，進而求解”的值，得

到答案.

【詳解】

』

由題意，3=

2

第1次循環(huán)，。=一§"=2,滿足判斷條件；

第2次循環(huán)，。=*,〃=3,滿足判斷條件；

2

3

第3次循環(huán)，。=：,〃=4,滿足判斷條件；

可得。的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律，

所以當〃=2019時，跳出循環(huán)，此時“和〃=3時的值對應的。相同，即。=?.

2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中認真審題，得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的

關鍵，著重考查了推理與計算能力.

6、B

【解析】

由題知/(x)為奇函數(shù)，且〃l+x)+/(2-力=0可得函數(shù)/(x)的周期為3,分別求出

/(0)=0,/(I)=1,/(2)=-1,知函數(shù)在一個周期內的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進行化簡可得.

【詳解】

因為“X)為奇函數(shù)，故"0)=0；

因為,f(l+x)+/(2—戈)=0,故/(l+x)=—/(2-x)=/(x—2),

可知函數(shù)/(x)的周期為3；

在/(1+力+/(2一行=0中,令“1,故/⑵=—/?⑴=-1,

故函數(shù)/(x)在一個周期內的函數(shù)值和為0,

故/(1)+/⑵+〃3)+…+/(2020)=/(I)=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解.

7、C

【解析】

依次遞推求出Q得解.

【詳解】

n=l時，％=1+3=4,

n=2時，%=2X4+1=9,

n=3時，%=9+3=12,

n=4時，％=2x12+1=25,

n=5時，4=25+3=28.

故選：C

【點睛】

本題主要考查遞推公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

8、D

【解析】

當X>1時，函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)/(X)和y=m+l有圖像兩個交

點，計算須°=亍，kBC=e-\,根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當x>l時，/(x)=/(x-2),故函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

方程/(X)-3-1=0,即〃到=皿+1,即函數(shù)/(x)和丁=爾+1有兩個交點.

x

/("=",f\x)=e,故尸(0)=1,8(1,e),C(3,e),心c=?，kBC=e-l.

根據(jù)圖像知：，

本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.

9、A

【解析】

先由題和拋物線的性質求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心

率.

【詳解】

由題意知，拋物線焦點，準線與x軸交點-,雙曲線半焦距-=設點-是以點二為直角

頂點的等腰直角三角形，即二=二-，結合二點在拋物線上，

所以--拋物線的準線，從而---軸，所以-，一,

=［二二I-］二二I

即-

?J-ur

故雙曲線的離心率為

二=.七=V：+.J.

故選A

【點睛】

本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質以及雙曲線的定義是解題的關鍵，屬于中檔題.

10、B

【解析】

試題分析：由題意P（-3<4<3）=68.26%,尸（一6<&<6）=95.44%,P（3<4<6）=$95.44%-68.26%）=13.59%.

故選B.

考點：正態(tài)分布

11、D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15（）00xl2%=1800（戶），B正確，

該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶），C正確，

該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶），D錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基

礎題.

12、B

【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長.

【詳解】

解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，

所以，該四棱錐體的最長的棱長為/=，2+F+產(chǎn)=■.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

5

【解析】

計算sina=上=2叵，再利用誘導公式計算得到答案.

r5

【詳解】

由題意可得x=Lj=2,r-sina=—=sin(TT-Q)=sina=?心-.

r55

故答案為：巫.

5

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，誘導公式，意在考查學生的計算能力.

14、-13

【解析】

先設切點P(x0,%),然后對y=*3-10X+3求導,根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標/，代入原函數(shù)求出切點的縱

坐標打,即可得出切得P(x°,%)，最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)力的值.

【詳解】

解:依題意設切點

因為y=d-iOx+3,

則y=3x2-io,

又因為曲線C在點P處的切線為y=2x+b,

曠=3/2-10=2,解得.％=±2,

又因為點P在第四象限內測毛=2,

%=23-10、2+3=-9.則/2,-9）

又因為點P（2,—9）在切線y=2x+6上.

所以一9=2x2+/7.

所以。=-13.

故答案為：-13

【點睛】

本題考查了導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標，本題屬于基礎題.

15、-3

【解析】

根據(jù)A8CD是平行四邊形可得出a。.%）=4）2_.2,然后代入A3=2,AO=1即可求出Ad。的值.

【詳解】

'：AB=2,AD=1,

：.ACBD=（AB+AD^BA+BC）

=（AB+AO）.（AO-A6）

<2.2

=AD-AB

=1-4

=-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基

礎題.

16,小

【解析】

Q4-O8=2X+)，可行域如圖，直線2x+y=m與圓V+VT相切時取最大值，由上J=1,/”>0=>根=6

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

f137'

17、(1)<龍|蒼，—二?或x…一(2)見解析

I26J

【解析】

(D根據(jù)/(x)=|2x+5|-x-；,利用零點分段法解不等式，或作出函數(shù)f(x)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；

44

(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出f(x)的最小值為-3,可知，篦=—3,代入------+-------=。+萬中，然后給等式

a-mbb-ma

兩邊同乘以a+6,再將4a+4b寫成(。+3切+(3。+份后，化簡變形，再用均值不等式可證明.

【詳解】

(1)解法一：1。%,時，/W..1,即—x-解得X,-二；

222

5107I

2°—-<x<—f(x).A,即3工+不.1,解得一二,，x<大；

22262

3。"^!■時，即x+U..],解得X…_L.

222

綜上可得，不等式/(幻-1的解集為jxl%,或X…-2].

115

22

951

解法二：由/(x)=|2x+5kx-g13尤+二,一二＜%（不作出/（x）圖象如下:

222

112

XH-----,X..

2,2

由圖象可得不等式f（x）.A的解集為x|%,

115

22

13%+|，-51

(2)由/(x)=|2x+5|-x———<%<—,

222

111

XH-----,X...-,

22

所以/（X）在8,-g上單調遞減，在-芯+8）上單調遞增,

所以Znin(X)=m=f-3

44442

正實數(shù)出人滿足------------1------------=a+b,則------------1------------(a+b)-(a+b),

Q+3〃b+3a〃+3方b+3a

日"11\z“勺\1。+30b+3a+3K

即-----+------［（。+3/?）+（。+3。）］=2+-----+------..2+2/----------=4,

\a+3bh+3a）b+3aa+3h^\b+3aJ\a+3b）

（當且僅當"過="網(wǎng)即a=。時取等號）

b+3aa+3b

故a+b”得證.

【點睛】

此題考查了絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質和均值不等式的運用，考查了分類討論思想和轉化思想，屬于

中檔題.

18、(1)p=4cos6(2)2A/3-2

【解析】

(1)首先將參數(shù)方程轉化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標方程即可；

⑵設pg，a),QS，,&),由q=a=m，即可求出。“一貝！IIPQI=|自一詞計算可得;

【詳解】

解：(1)圓。的參數(shù)方程＜c.(&為參數(shù))可化為(》一2)2+丁=4,

y=2sma

二_4pCOS6=0,即圓C的極坐標方程為。=4cos(9.

g=4cosqpx=2A/3

⑵設pg，a),由八兀，解得《冗

16I6

0sin[a+,=60=2

設Q(020)，由解得°乃.

92

外n一飛

???4=4,.?.|咫=3-4|=26-2.

【點睛】

本題考查了利用極坐標方程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

918

19、(1)列聯(lián)表見解析，99%；(2)一，—(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.

525;

【解析】

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨立性檢驗得出結論；

(2)有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機支付族”的概率為P=；,知&服從二項分布，即J3(3,*,可求得其期望和方差；

(3)若選方案一，則需付款1200-100=1100元，若選方案二，設實際付款X元,，則X的取值為1200,1080,1020,

求出實際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.

【詳解】

(1)由已知得出聯(lián)列表：

男性女性合計

手機支付族10122260x(10x8-12x30)2

,所以K2=?7.033>6.635

非手機支付族3083822x38x40x20

合計402060

有99%的把握認為“手機支付族”與“性別”有關;

1233

(2)有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機支付族”的概率為尸=仍=1,.?.占B(3,j),

E(4)=3x|⑶=3x|x18

25

(3)若選方案一，則需付款1200-100=1100元

若選方案二，設實際付款X元,，則X的取值為1200,1080,1020,

..)”=1200)=嗯[[+；，P(X=1080)==GS(J4P(X=1020)=qm°T

,-.E(X)=1200xi+1080x-+1020xi=1095

')424

?,1KX)>1095,??.選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算

【點睛】

本題考查獨立性檢驗，二項分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.

jr

20、(1)/=以；(2)是定值，ZDFE=-.

2

【解析】

(1)設出M的坐標為(x,y),采用直接法求曲線C的方程；

(2)設A3的方程為x=(y+l,A(?，x),B(經(jīng),女)，丁(手,為)，求出47方程，聯(lián)立直線/方程得。點的坐標,

同理可得E點的坐標，最后利用向量數(shù)量積算FD.FE即可.

【詳解】

(1)設動點M的坐標為(x,y),由MP=4OF(/IGR)知也中〃。尸，又尸在直線/:x=—1上，

所以尸點坐標為(一1/)，又/(1,0),點。為P尸的中點，所以Q(0,1),P/=(2,-y),MQ=(-x,-^),

2

由M2-Pb=()得一2x+'=0,即>2=4%；

(2)

設直線AS的方程為X=zy+1,代入J=4x得/一4”一4=0,設4季必)，8(季％)，

2卜--f-4

則%+%=今，y,y2=-4,設T(斗,為),則")，；yiy+y

44

所以A7的直線方程為y-%=」一(X—為)即'='一X令x=-l,貝I

X+No4y+y°M+為

y=*)1,所以0點的坐標為(-1,*一—4),同理E點的坐標為(-1,》%—4),于是(_2,竺T),

x+%M+%%+%y+y。

，C%%-4、X.%-4*y2y0-4=4+2。2，尤一4%(y+%)+16

FE=H，---)，所以/7＞莊=4+

%十%M+%%+%+(X+%)%+%

《?~4G一16伙+16-16+16%+4%-44-16%+16

=0,從而FD工FE，

-4+4(y0+y：-4+4佻+巾

TT

所以ZDEE=一是定值.

2

【點睛】

本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)

的關系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.

21、(1)(e,+8)(2)證明見解析

【解析】

(D先求得導函數(shù)/'(X),根據(jù)兩個極值點可知/'(x)=d一日=0有兩個不等實根，構造函數(shù)g(x)="一去，求

得g'(x)；討論ZWO和4>0兩種情況，即可確定g(x)零點的情況，即可由零點的情況確定Z的取值范圍；

(2)根據(jù)極值點定義可知/'(%)=-一依1=0,7'(%2)=0也一展=0,代入不等式化簡變形后可知只需證明

yYj

X,+X>2；構造函數(shù)〃(X)=F，并求得〃(x),進而判斷/7(x)=—的單調區(qū)間，由題意可知力(%)=力(/)=工，

2C€K

并設構造函數(shù)o(x)=〃(x)-〃(2—X),并求得“(X),即可判斷9(x)在0(尤<1內的單調性和最值,

進而可得〃(x)-〃(2-力<0,即可由函數(shù)性質得//(9)<〃(2-不)，進而由單調性證明

x2>2-xt,即證明玉+々>2,從而證明原不等式成立.

【詳解】

k

(1)函數(shù)/。)=/一5/

則/'(%)="-日，

因為/(X)存在兩個極值點網(wǎng)，Z，

所以/'(x)=，一"=0有兩個不等實根.

設g(X)=/'(X)=ex-kx,所以g'(x)=ex-k.

①當左40時，g[x)=e*-Z>0,

所以g(x)在R上單調遞增，至多有一個零點，不符合題意.

②當女〉0時，令g'(x)=e*—左=0得x=lnZ,

X(YO,lnk)Ink(ln%,+co)

g'(x)—0