2023屆天津市蘆臺一中高考模擬數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆天津市蘆臺一中高考模擬數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足：zi=3+4i（i為虛數(shù)單位），貝氏=（）

A.4+3，B.4-3/C.-4+3zD.-4-3/

2.已知a=（1,3）,。=（2,2）,c=（〃,一1）,若則〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

3.復(fù)數(shù)的z=-1-2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.將一張邊長為12cm的紙片按如圖（1）所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個

有底的正四棱錐模型，如圖⑵放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（）

ffltn(s(2)ffio)

?羅加C.—V2cm3D-三夜而

3

（］）=0且在（0,左）上是單調(diào)函數(shù)，則下列

5.已知函數(shù)/(x)=2sin(3r+0)(o>O,O<0<;r),

說法正確的是（）

1a/乃）^6+V2

A.co——

2I8J2

冗D.函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于點［子,（）］對稱

C.函數(shù)/（x）在一匹-5上單調(diào)遞減

-,x<0

X

6.已知函數(shù)/（幻=,若函數(shù)b（x）=/（x）-"在R上有3個零點，則實數(shù)〃的取值范圍為（)

Inx八

——,x>0

x

A.（0,—）B.（0,4）CT)D.(?)

e2e

7.已知復(fù)數(shù)2=上上，貝（Iz的虛部為（)

z-1

A.-1B.-iC.1D.i

8.已知直線牡〃和平面a,若貝！j“相_L〃”是“M/a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.不充分不必要

9.盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取i（i=l,2）個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后

放回，此時盒中黑球的個數(shù)X,（i=l,2）,貝!J（）

A.P（XI=3）>P（X2=3）,EX;EX?B.P（X,=3）<P（X2=3）,EX}>EX2

C.P（X1=3）>P（X2=3）,EXt<EX2D.P（X,=3）<P（X2=3）,EX}<EX2

10-拋物線二；二二二（二〉門的準(zhǔn)線與雙曲線二三一號=一的兩條漸近線所圍成的三角形面積為八'則二的值為（）

A-SB.d

11.已知命題p：“a>6”是“2"〉2〃”的充要條件；qHxwR,\x+\\<x,則（）

A.（3）v4為真命題B.Pvq為真命題

C.，八4為真命題D.為假命題

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

2乃

D.4+——

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)函數(shù)/（司=|111%+4+k+4（。,。€/?）,當(dāng)xe[l,e]時，記/（x）最大值為,則的最小值為

14.設(shè)A4BC的內(nèi)角A5,C的對邊分別為。，b,c.若。=2,c=2g,cosA=—,則。=

2

15.在三棱錐A-3CZ）中，已知BC=CD=BD=CAB=6AD=6，且平面ABD_L平面BCD,則三棱錐

A-BCD外接球的表面積為.

22

16.雙曲線W一斗=1（〃〉0/>0）的左焦點為耳（一2,0）,點A（0,、8）,點P為雙曲線右支上的動點，且周

a~b

長的最小值為8,則雙曲線的實軸長為,離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知x>0,y>0,z>Ofx2+y2+z2=1,證明：

（1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2?4；

（2）—i----1—>1+2dxy+25/xz+2Jyz,

xyz'

5

18.（12分）如圖所示，在四面體ABC。中，AD±AB,平面AftD,平面ABC,AB=BC^—AC，且

AD+BC=4.

（1）證明：8C_L平面板）；

（2）設(shè)E為棱AC的中點，當(dāng)四面體ABCD的體積取得最大值時，求二面角C—BD-E的余弦值.

y--、13cos（y

19.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為一,為參數(shù)），以原點。為極點，以x軸正

y=s\na

n

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C,的極坐標(biāo)方程為夕sin（e+二）=2.

6

（I）求曲線G的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

TT

（2）設(shè)A,8為曲線G上位于第一,二象限的兩個動點，且NAOB=],射線OA,OB交曲線C2分別于C,求MOB

面積的最小值，并求此時四邊形A8CO的面積.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是菱形，ZZ&4D=60°,△Q4O是邊長為2的正三角形,

=E為線段AD的中點.

(1)求證：平面PBC_L平面PBE；

(2)若/為線段PC上一點，當(dāng)二面角P—D3—廠的余弦值為且時，求三棱錐3—PZW的體積.

5

21.(12分)已知動圓過定點E(O/)，且與直線2：y=T相切，動圓圓心的軌跡為C,過尸作斜率為的直線

，〃與C交于兩點A,B,過A,8分別作C的切線，兩切線的交點為「，直線Pb與。交于兩點M,N.

(1)證明：點P始終在直線/上且PFLAB；

(2)求四邊形AMBN的面積的最小值.

22.(10分)已知數(shù)列｛%,｝滿足4=1,4=勿“_1+2〃-15一2),數(shù)列也｝滿足a=。“+2〃+3.

(I)求證數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列；

(H)求數(shù)列｛《,｝的前〃項和S”.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出z,再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

3+4z3Z-4

由zi=3+4i,則z=^~~-=--二4一3"

i-1

所以三=4+3i.

故選：A

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、共軌復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

先求出a-c=(l-〃,4),再由(a-c)，"利用向量數(shù)量積等于0,從而求得〃.

【詳解】

由題可知a-c=(l-〃,4),

因為(a—c)_L8,所以有(1—〃)x2+2x4=0,得〃=5,

故選：C.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標(biāo)運算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

3、C

【解析】

所對應(yīng)的點為(-1,-2)位于第三象限.

【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.

4、B

【解析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為〃，高為〃，貝!"=且a,故由題設(shè)可得!“+a=12xYlna=4夜，所以

222

四棱錐的體積V=；(4&)2x曰x4&=竺普c加3,應(yīng)選答案B.

5、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(%),在(0,乃)上是單調(diào)函數(shù)，確定0<041,然后一一驗證，

A.若口=；,貝！J/(x)=2sin(gx+e),由?=0,得。=弓,但=smf|xMg.B.由

/閨=0,/圖=0,確定〃x)=2sin序+夸'再求解驗證C利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

性判斷.D.計算fm是否為0.

【詳解】

因為函數(shù)/(力，在(0,1)上是單調(diào)函數(shù),

T2萬

所以一2兀，即——N2兀，所以0<。<1,

2co

若3=；1,貝!)/(%)=25泣[3*+8],又因為了=sin13萬

0，即'f]—X會力。，解得夕干,而

224

疝”+網(wǎng)]5

^―,故A錯誤.

1284；2

(071I八—八CD71”，7t(D

2sin+8)=o,不妨令A(yù)行+9=乃,得。=?！?/p>

由/~T

*，得TTTTTT\TT

由/sincox-+(p69X——=2攵乃+—或。X——\-(p=2攵〃+——

k8J8484

7TTT

當(dāng)GX—+夕=2攵乃+—時,所生+2,不合題意.

843

、t,7i_.37rt2k九9(221

當(dāng)69X—+0=2&4+—時,CD--+---,此時/(x)=2si:n—x+——

8433[33

(2712%24、_.77rA/64-y/0,

所以2sin—x十一2sin——=-----,--故B正確.

(33122

,n221八7)1

因為一肛一萬‘—3X+—€0,-,函數(shù)/(x),在上是單調(diào)遞增，故c錯誤.

3333

5萬2542428111^=^5^0,故錯誤.

2sin—x---1---D

343

故選：B

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.

6、B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)x<0,%>(),將問題轉(zhuǎn)化為％=/區(qū)的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.

X

【詳解】

當(dāng)x<0時，k=^^-=\,令g(x)=」,g'(x)=—!>0,g(x)在xe(-a),0)是增函數(shù)，左>0時，左=^^

XXXX'X

有一個零點，

當(dāng)x>0時，k=—―=——,令h(x)=-^-,/z(x)=---—

xxxx

當(dāng)xe(0,〃)時，〃'(x)X),二〃(x)在(0,五)上單調(diào)遞增，

當(dāng)無G(〃,+8)時，h\x)<0,:.〃(無)在(丘,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x="時，/?(x)取得最大值,，

2e

因為尸⑴=/(x)-履在R上有3個零點，

所以當(dāng)x〉0時，攵=/⑷有2個零點，

X

如圖所示：

綜上可得實數(shù)Z的取值范圍為(%),

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

7、A

【解析】

分子分母同乘分母的共枕復(fù)數(shù)即可.

【詳解】

2i2i(i+1)-2+2i,.

z=----=----------=------=1—1故Z的虛部為—1.

i-1(i-l)(i+l)-2

故選：A.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生運算能力，是一道容易題.

8、B

【解析】

由線面關(guān)系可知加，“，不能確定〃與平面。的關(guān)系，若M/a一定可得加_L〃，即可求出答案.

【詳解】

不能確定〃ua還是〃ua,

nila,

當(dāng)M/a時，存在aua,nlla,,

由根_La=>〃z_La,

又〃〃a,可得〃?_L〃，

所以“加1/i”是“nlla”的必要不充分條件，

故選：B

【點睛】

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

9、C

【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項.

【詳解】

r'2C'1

X=3表示取出的為一個白球，所以P(X1=3)=才=鼻.屈=2表示取出一個黑球，p(x=2)=沙=,，所以

71Q

￡(X,)=3x-+2x-=-

8

x?=3表示取出兩個球，其中一黑一白，P(X2=3)=-^=R,乂2=2表示取出兩個球為黑球,

「21「2￡

P（X2）=-4-=—,x?=4表示取出兩個球為白球，p（X2=4）=發(fā)=玄，所以

1513

E（X2）=3x§+2x-1-+4x9=W.所以P（X|=3）>P（X2=3）,EXt<EX2.

1515153

故選：C

【點睛】

本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題.

10、A

【解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值.

【詳解】

拋物線二J>④的準(zhǔn)線為一雙曲線_：的兩條漸近線為.，可得兩交點為

4彳一7=」口=±7口

.r一一一，即有三角形的面積為一,解得-_故選人

（-合亍），（U,?。┊?dāng)產(chǎn)子=:

【點睛】

本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11,B

【解析】

由y=2'的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解

【詳解】

由函數(shù)y=2?'是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題.

對于命題q,當(dāng)x+l?0,即xN-1時，|x+l|=x+l>x；

當(dāng)x+l<0,即x<-l時，|x+l|=-x-l,

由得x=-；,無解，

因此命題q是假命題.所以（rP）vq為假命題，A錯誤；

PV4為真命題，B正確；

。人4為假命題，C錯誤；

PA（［4）為真命題，D錯誤.

故選：B

【點睛】

本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

12、A

【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構(gòu)成，：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1,高為2；一個半球體，半徑為1,按公式計

算可得體積。

【詳解】

設(shè)半圓柱體體積為匕，半球體體積為匕，由題得幾何體體積為

V=V+K=^xl2x2x-+-x^xl3x-=—,故選A。

122323

【點睛】

本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-

2

【解析】

易知/(x)=max{|lnx+a+x+4Jlnx+a-x-Z?|},設(shè)G(x)=|111工一1+〃一可，=|lnx+x+Q+@,利用絕

對值不等式的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

/(x)=max{|lnx+Q+x+b|Jlnx+a-x-研，

設(shè)G(x)=|lnx-x+〃一司,F(x)=|lnx+x+tz+/?|,

令力(x)=lnx-x,/z(x)=--1

當(dāng)X￡[l,e]時，/z(x)<0,所以〃(x)單調(diào)遞減

令n(x)=lnx+x,n(x)=—+1

當(dāng)工41，4時，〃'(x)>。，所以〃(工)單調(diào)遞增

所以當(dāng)尢?1,百時，

G(x)=max{|1+々-司,|1+々-6-4},

尸(x)=max{|l+a+4，|l+a+e+b|},

則4A/習(xí)1+a—4+|l+a-e—〃|+|l+a+e+向+|l+a+Z?|

則4M習(xí)2+e+24+|2—e+24>2e,

即"(a*)'

故答案為：--.

2

【點睛】

本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題.

14、2或4

【解析】

試題分析：由cosA=苴，則可運用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：sinA=.L?=-,

2V42

已知兩邊及其對角，求角C.用正弦定理；a=csinC」sinA=2G><2c=60°或120°，

sinAsinC,a22

則；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°，可得Z?=2或4.

考點：運用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)

15、48TI

【解析】

取B。的中點b,設(shè)等邊三角形BCD的中心為。，連接AF,CF,。4.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得

BO=CO=DO=3CF=26OF=6,由等腰直角三角形的性質(zhì)，得AF5。，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得AF±

平面BCD,AF1OF,由勾股定理求得。4=26，可得。為三棱錐A-BC。外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公

式可求得此外接球的表面積.

【詳解】

在等邊三角形BCQ中，取BZ)的中點/，設(shè)等邊三角形8CZ)的中心為。，

連接AF,CF,04.由BC=6,得BO=CO=DO=2CF=2道,OF=6

3

由已知可得AABQ是以8。為斜邊的等腰直角三角形，AF±BD,

又由已知可得平面平面BCD,平面BCD,。尸，

OAVOF+AF?=26，所以。4=。8=。。=。。=26，，。為三棱錐4一8。。外接球的球心，外接球半

徑A=OC=26，

???三棱錐A-BCD外接球的表面積為4兀x(26產(chǎn)=48兀.

故答案為：48兀

本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球

的半徑，屬于中檔題.

16、22

【解析】

設(shè)雙曲線的右焦點為耳(2,0),根據(jù)周長為P6+PA+A6446+2。+3,計算得到答案.

【詳解】

22

設(shè)雙曲線￡一方=1(。>0涉>0)的右焦點為6(2,0).

AAP片周長為：PFX+PA+A4=PF>+2tz+PA+3<AF1+2〃+3=6+2a=8.

當(dāng)AP居共線時等號成立，故。=1,即實軸長為2a=2,e=￡=2.

a

故答案為：2；2.

【點睛】

本題考查雙曲線周長的最值問題，離心率，實軸長，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得盯+yz+.，1,而(x+y)2+(y+z)2+(x+z)2=2+2(xy+yz+zx),,4,即得證；

(2)首先推導(dǎo)出x+y+z>l,再利用‘+L+1=[L+L+1](x2+y2+z2),展開即可得證.

xyzyxyz)x/

【詳解】

證明：(1)x2+/+z2=1,

2Ay+2yz+2xz?x2+4-+z2+z~+—2(x2++z“)=2,

xy+yz+m,1,

(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=2(x?+y24-z2)+2(xy+yz+zx)=2+2(xy4-yz4-zx\.4(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時

取等號).

(2)?x>0,y>0,z>0,x2+y2+z2=1,

/.(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz4-2yz>1,

:.x+y+z>l9

111111

.??一+—+-=—十—+—x2+y2+z2

xyzxyz

y2z2x2z2x"2y2

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

f22\(22/22、

ZXzv

=(x+y+z)+—H---+--1---+—+—>1+2-Jxy+2\[xz+2y[yz,

I%y)(xz.(yz)

/.—I---1—>1+2J冗y+2\/xz+2Jyz.

xyz

【點睛】

本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

18、(1)見證明；(2)叵

6

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到4DL平面ABC,從而得到AO_LBC,利用勾股定理得到A3_LBC,利用線面垂

直的判定定理證得BC1平面ABD；

(2)設(shè)A￡)=x(0<x<4),利用椎體的體積公式求得V=/(x)=gxxg(4-x)2=1(x3-8x2+16x)

4

(0<x<4),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得AO=x=§時，四面體ABC。的體積取得最大值，之后利用空

間向量求得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因為AT>_LA8,平面ABD_L平面ABC,

平面ABDc平面ABC=AB,AT>u平面ABO,

所以A￡>_L平面ABC,

因為BCu平面ABC,所以AQ1.BC.

因為AB=BC=—AC,所以482+802=4。2,

2

所以ABLBC,

因為AT>c/W=A,所以BC_L平面A5￡).

(2)解：設(shè)AZ)=x(0<x<4),則AB=BC=4-x,

四面體ABCD的體積V=/(x)=(4-X)2=^(X3-8X2+16X)(0<X<4).

326'

/(x)=\(3*2-16x+16)=g(x-4)(3x-4),

當(dāng)0<x<g時，/'(x)〉0,V=/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)g<x<4時，_f(x)<0,V=/(x)單調(diào)遞減.

4

故當(dāng)AO=x=一時，四面體ABC。的體積取得最大值.

3

以8為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系B一町z,

則3(0,0,0),A(0,*0),噌,0，。)，。(吟￡),嗒，(，。).

設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z),

[8

j〃.g=。r=0

則(八，即。彳，

n-BD^O8,4..

i—y+—z=0

133

令z=—2,得〃=(0,1,-2),

同理可得平面BOE的一個法向量為〃z=(1,-1,2),

-5病

則ntl=7~『=—一,

>/5x>/66

由圖可知，二面角C—8?！癁殇J角，故二面角C—50—E的余弦值為叵.

6

【點睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求

法，在解題的過程中，注意巧用導(dǎo)數(shù)求解體積的最大值.

19、（1）—+/=1；%+百＞-4=0（2）AQ3面積的最小值為二；四邊形的面積為上

344

【解析】

（1）將曲線G消去參數(shù)即可得到C的普通方程，將》=/^0$8,），=Qsin。代入曲線的極坐標(biāo)方程即可；

TT7T

（2）由⑴得曲線G的極坐標(biāo)方程，設(shè)A（g,e）,B（p2,o+^）,D（P?，c（p4,^+-）

1142,114I3

利用方程可得FF再利用基本不等式得——^—+—=7,即可得5刖（陽=彳月夕，2;，根據(jù)題意知

+P\=GP，23PCP；Pi3"21-4

SABCD=SRCOD-SMOl）,進(jìn)而可得四邊形ABCD的面積?

【詳解】

=\/3cosa

（1）由曲線G的參數(shù)方程為Y（。為參數(shù)）消去參數(shù)得Y上~+/=1

y=sina3

TTjrjr

曲線C,的極坐標(biāo)方程為夕sin（e+—）=2,即夕sinOcos—+0cosOsin—=2,

666

所以，曲線G的直角坐標(biāo)方程x+百〉—4=0.

（2）依題意得G的極坐標(biāo)方程為乙斐夕+22疝2。=1

TT7T

設(shè)Ag,e）,D（A，0,c（p,^+-）

B（P2,O+~）,4

p：cos202.，八，P^,sin26■>2八，14

則-------+p.sin-0=1,-......+p；cos_0=\,Ak-+-=T

3132PiPi3

2114

——^―+—=T,當(dāng)且僅當(dāng)門=d（即。==）時取“=”,

P\PiP\P234

133

故S.OB=e夕12之^，即面積的最小值為

&_1_1____2__________2_____4

此時ACOD_2P3P4-2.嚴(yán)乃、'n兀、-7一,

sin(—H■一)cos(—+—)cos—

46463

329

故所求四邊形的面積為=SAC”—=8—I=1?

【點睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

20、(1)見解析；(2)

【解析】

(D先證明PE_LAD,的上也可證仞上平面「仍，再由4)〃BC可證BC_L平面P8E,即得證；

(2)以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系上一呼z,設(shè)PF=/lPC(0效收1),求解面03P的法向量加，

面DFB的法向量〃，利用二面角P-DB—尸的余弦值為手，可求解4,轉(zhuǎn)化%加C-%.BOC即得解.

【詳解】

(1)證明：因為△R4Q是正三角形，E為線段AO的中點，

所以PE_LAZ).

因為ABC。是菱形，所以AT>=AB.

因為44￡>=60。，所以△AB。是正三角形，

所以BELAD,所以AT)_L平面P8E.

又AD//BC,所以3C_L平面P3E.

因為BCu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PBE.

(2)由(1)知BC_L平面PBE,

所以BC工PB,PB=dPC?-BC?=瓜?

而PE=BE=6,

所以PB?=PE?+BE?，PE工EB.

又P￡_LAD，

所以P￡_L平面48co.

以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

則5(0,6,0),P(0,0,x/3),C(-2,百,0),D(-l,0,0).

于是，0P=(1,0,G),=(1,73,0).

設(shè)面DBP的一個法向量m=(x,y,z),

m-DB=0,x+6y=0,

til<得

m-DP=0,x+y/3z-0.

令x=5則y=z=.l,

即〃2=(6,-1,-1).

設(shè)P戶=4Pe(0領(lǐng)兒1),

易得F(-2A,y/3A,73-732),OF=(1-22,百-0).

設(shè)面DFB的一個法向量n=(x,y,z),

n?DB—0,x+百y=0,

由，?

n?DF=0,(1—24)x+\/3Ay+("\/3-=0.

.r—.,1—3九

令X=5貝!ly=T,Z=—~~-

1-32

即n

2-1

依題意|cos〈m,〃〉1=

5

3/1-1則/=-3