上海市松江區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期模擬考質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學(xué)試卷（含答案）

松江區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期模擬考質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時間120分鐘）2024.4考生注意：1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分。2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫學(xué)校、班級、姓名和考號。3．答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位。一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，否則一律得零分．1．函數(shù)的定義域是．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)是，則．3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則．4．已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為．5．已知，則．6．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則此圓錐的體積為．（結(jié)果中保留）7．已知等差數(shù)列的公差為，前n項和為，若，則使得成立的的最大值為．8．已知函數(shù)，記，若，則的最小值為．9．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點，若，則該雙曲線的離心率為．10．已知正三角形的邊長為，點滿足，且，，，則的取值范圍是．11．已知，函數(shù)若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是．12．某校高一數(shù)學(xué)興趣小組一共有名學(xué)生，學(xué)號分別為，老師要隨機挑選三名學(xué)生參加某項活動，要求任意兩人的學(xué)號之差絕對值大于等于5，則有種不同的選擇方法．二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，第13、14題選對得4分，第15、16題選對得5分，否則一律得零分．13．已知集合，則（）A． B． C． D．14．某小區(qū)為了倡導(dǎo)居民對生活垃圾進行分類，對垃圾分類后處理垃圾（千克）所需的費用（角）的情況作了調(diào)研，并統(tǒng)計得到右表中幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，同時用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則下列說法錯誤的是（）A．變量、之間呈正相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測當(dāng)時，的值為C． D．由表格中數(shù)據(jù)知樣本中心點為15．已知某個三角形的三邊長為、及，其中．若，是函數(shù)的兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．16．設(shè)為數(shù)列的前項和，有以下兩個命題：=1\*GB3①若是公差不為零的等差數(shù)列且，則是的必要非充分條件；=2\*GB3②若是等比數(shù)列且，則的充要條件是．那么（）A．=1\*GB3①是真命題，=2\*GB3②是假命題 B．=1\*GB3①是假命題，=2\*GB3②是真命題 C．=1\*GB3①、=2\*GB3②都是真命題 D．=1\*GB3①、=2\*GB3②都是假命題三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分設(shè)()，函數(shù)圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在中，設(shè)角、及所對邊的邊長分別為、及，若，，，求角．18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點．(1)設(shè)平面與直線相交于點，求證：；(2)若，，，求直線與平面所成角的大小．19．（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分4分某素質(zhì)訓(xùn)練營設(shè)計了一項闖關(guān)比賽．規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨立．(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關(guān)，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出．20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分如圖，橢圓的上、下焦點分別為、，過上焦點與軸垂直的直線交橢圓于M、N兩點，動點P、Q分別在直線MN與橢圓上．(1)求線段的長；(2)若線段PQ的中點在軸上，求的面積；(3)是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點Q的縱坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分已知函數(shù)(為常數(shù))，記．(1)若函數(shù)在處的切線過原點，求實數(shù)a的值；(2)對于正實數(shù)t，求證：；(3)時，求證：．參考答案一、填空題1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．二、選擇題13．D14．C15．B16．C三、解答題17．解：（1）.……3分因為函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即.所以.……6分（2）由，得..……9分，由,得，化簡得所以角.……12分所以角.……14分

18．解：（1）因為底面為菱形，所以，因為直線在平面上，而直線不在平面上，所以平面

．……3分

又平面平面，所以．……6分（2）解法1：取中點，連接、,由于四邊形為菱形，且，，所以,，……8分由于平面，平面，所以,又平面,所以平面,故即為直線與平面所成角，……12分因為，為的中點，所以，則．所以，則．即直線與平面所成角的大?。?4分解法2：如圖建系，由題可得：，則，，，，，……8分所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，解得，取，可得平面的一個法向量為.……12分設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，解得,所以，直線與平面所成角的大小為.……14分19．解：（1）設(shè)“計劃依次派出甲乙丙進行闖關(guān)，該小組比賽勝利”為事件，甲乙丙各自闖關(guān)成功的概率分別為，，，每人能否闖關(guān)成功相互獨立，解法1：解法2：．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，所需派出的人員數(shù)目的可能取值是1、2、3，，，，所以的分布是：，……7分所以．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人員數(shù)目的分布是：，則，所以，……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙時，派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望較?。?4分20．解：（1）依題意得：，由軸，得：，代入橢圓方程得：，所以線段的長為.……4分（2）解法1：顯然，線段PQ的中點在軸上，則，即軸，，，……8分所以.……10分解法2：設(shè)，依題意，有，解得，……8分所以.……10分（3）假設(shè)存在以、為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓上，顯然，設(shè)，則，因為四邊形是矩形，一定為平行四邊形，所以，代入計算得.由題意知在橢圓上及，代入，得，即……12分將①②代入=3\*GB3③并化簡得，，再結(jié)合①，得，即或.若，則；……14分若，則聯(lián)立①②，得，消去，得，解得，由于，故.……17分綜上，存在滿足題意的點，其縱坐標(biāo)為或.……18分21.(1)因為，所以，所以．……2分又因為，所以在處的切線方程為：．點代入切線方程可得．……4分(2)設(shè)函數(shù)，，..……6分令，得：．在上嚴(yán)格遞增；在上嚴(yán)格遞減；的最小值為，即總有：．……8分而∴．