第51講帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（講義）（原卷版）

第51講帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)一四類常見(jiàn)有界磁場(chǎng)【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1帶電粒子在有界磁場(chǎng)中圓心、半徑和時(shí)間的確定方法知識(shí)點(diǎn)2四類常見(jiàn)有界磁場(chǎng)特點(diǎn)【提升·必考題型歸納】考向1直線邊界磁場(chǎng)考向2平行邊界磁場(chǎng)考向3圓形邊界磁場(chǎng)考向4三角形、四邊形邊界磁場(chǎng)考點(diǎn)二四類常見(jiàn)模型【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)四類常見(jiàn)模型適用條件及界定方法【提升·必考題型歸納】考向1放縮圓模型考向2旋轉(zhuǎn)圓模型考向3平移圓模型考向4磁聚焦模型考點(diǎn)三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問(wèn)題【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)常見(jiàn)多解類型及分析【提升·必考題型歸納】考向帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問(wèn)題真題感悟理解和掌握帶電粒子在有界磁場(chǎng)中圓心和半徑確定的方法。能夠在四種常見(jiàn)有界磁場(chǎng)和四種常見(jiàn)模型中處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題?？键c(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2023年全國(guó)甲卷第7題2022年遼寧卷第8題2022年湖北卷第8題高考對(duì)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的考查較為頻繁，以選擇題和計(jì)算題中出現(xiàn)較多，選擇題的難度一般較為簡(jiǎn)單，計(jì)算題的難度相對(duì)較大。考點(diǎn)一四類常見(jiàn)有界磁場(chǎng)知識(shí)點(diǎn)1帶電粒子在有界磁場(chǎng)中圓心、半徑和時(shí)間的確定方法圓心的確定半徑的確定時(shí)間的確定基本思路①與速度方向垂直的直線過(guò)圓心②弦的垂直平分線過(guò)圓心③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過(guò)圓心利用平面幾何知識(shí)求半徑利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或軌跡長(zhǎng)度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T；②t＝eq\f(L,v)圖例說(shuō)明P、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)常用解三角形法(如圖)：R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于eq\x\to(AB)所對(duì)的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ<180°時(shí)，φ＝2α；φ>180°時(shí)，φ＝360°－2α知識(shí)點(diǎn)2四類常見(jiàn)有界磁場(chǎng)特點(diǎn)【類型一】直線邊界磁場(chǎng)直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)圖甲中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖乙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖丙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)。【類型二】平行邊界磁場(chǎng)平行邊界存在臨界條件(如圖所示)圖甲中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f(θm,Bq)，t2＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)；圖乙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θm,Bq)；圖丙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)；圖丁中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)。【類型三】圓形邊界磁場(chǎng)帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中，等角進(jìn)出，沿徑向射入必沿徑向射出。如圖甲、乙所示?！绢愋退摹咳切?、四邊形邊界磁場(chǎng)1．三角形邊界磁場(chǎng)：帶電粒子速度的大小不同，運(yùn)動(dòng)半徑不同，出射點(diǎn)的位置也不同。2．四邊形邊界磁場(chǎng)：帶電粒子射入磁場(chǎng)的初速度方向與邊界垂直，速度不同，對(duì)應(yīng)不同的粒子軌跡；粒子速度不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度可調(diào)時(shí)，也可對(duì)應(yīng)類似軌跡?？枷?直線邊界磁場(chǎng)1．如圖所示，空間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，氫的同位素氘離子和氚離子都從邊界上的O點(diǎn)以相同速度先后射入磁場(chǎng)中，入射方向與邊界成相同的角，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑之比為B．重新回到邊界所用時(shí)間之比為C．重新回到邊界時(shí)的動(dòng)量相同D．重新回到邊界時(shí)與O點(diǎn)的距離不相等考向2平行邊界磁場(chǎng)2．如圖所示，真空區(qū)域有左右寬度為l、上下足夠長(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的左右豎直邊界。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子（不計(jì)粒子重力），在豎直平面內(nèi)，沿著與MN夾角為的方向射入磁場(chǎng)中。則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若帶電粒子帶負(fù)電，入射速度只要大于，粒子就會(huì)從PQ射出B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間可能是C．MN邊界上，從入射點(diǎn)下方射出的所有粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為D．若在該空間再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子有可能做勻加速直線運(yùn)動(dòng)考向3圓形邊界磁場(chǎng)3．如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩帶電粒子（不計(jì)重力）沿直線AB方向從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)中，分別從圓弧上的P、Q兩點(diǎn)射出，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．若兩粒子比荷相同，則從A分別到P、Q經(jīng)歷時(shí)間之比為1:2B．若兩粒子比荷相同，則從A分別到P、Q經(jīng)歷時(shí)間之比為2:1C．若兩粒子比荷相同，則兩粒子在磁場(chǎng)中速率之比為2:1D．若兩粒子速率相同，則兩粒子的比荷之比為3:1考向4三角形、四邊形邊界磁場(chǎng)4．如圖所示，在直角三角形區(qū)域（含邊界）內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，，邊長(zhǎng)，一個(gè)粒子源在點(diǎn)將質(zhì)量為、電荷量為的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子中，下列說(shuō)法正確的是（）

A．粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為B．入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的間距為C．粒子運(yùn)動(dòng)速度的最大值為D．與邊的最大距離為5．如圖所示，等腰梯形區(qū)域（包含邊界）存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，邊長(zhǎng)，，一質(zhì)量為m、電量為q的正電粒子從a點(diǎn)沿著ad方向射入磁場(chǎng)中，不計(jì)粒子的重力，為使粒子從邊射出磁場(chǎng)區(qū)域，粒子的速度可能為（）A． B． C． D．考點(diǎn)二四類常見(jiàn)模型知識(shí)點(diǎn)四類常見(jiàn)模型適用條件及界定方法放縮圓模型適用條件速度方向一定，速度大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，速度大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法旋轉(zhuǎn)圓模型適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法平移圓模型適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與所有入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法磁聚焦模型1．磁發(fā)散：如圖1所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓心為O，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行。2．磁匯聚：如圖2所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出。考向1放縮圓模型1．一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，其中射線bc足夠長(zhǎng)，，其他地方磁場(chǎng)的范圍足夠大。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率，不計(jì)粒子重力和粒子之間的相互作用，以下說(shuō)法正確的是（）A．從ab邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相等B．從a點(diǎn)入射的粒子速度越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)C．粒子在磁場(chǎng)中的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間不大于D．粒子在磁場(chǎng)中的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間不大于考向2旋轉(zhuǎn)圓模型2．如圖所示，在熒光板MN的上方分布了水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。距熒光板d處有一粒子源S，能夠在紙面內(nèi)不斷均勻地向各個(gè)方向發(fā)射速度大小為、電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，不計(jì)粒子的重力，已知粒子源發(fā)射粒子的總個(gè)數(shù)為N，則（）A．粒子能打到板上的區(qū)域長(zhǎng)度為2dB．打到板上的粒子數(shù)為NC．從粒子源出發(fā)到板的最短時(shí)間D．同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒光板上的最大時(shí)間差為考向3平移圓模型3．如圖所示，在等腰直角三角形BAC內(nèi)充滿著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）。一群質(zhì)量為m、電荷量為+q、速度為v的帶正電粒子垂直AB邊射入磁場(chǎng)，已知從AC邊射出且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度垂直于AC邊。不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用。下列判斷中正確的是（）A．等腰三角形BAC中AB邊的長(zhǎng)度為B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為C．從AB中點(diǎn)射入的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置與A點(diǎn)的距離為D．若僅將磁場(chǎng)反向，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間不變考向4磁聚焦模型4．圓心為O、半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)邊緣上的點(diǎn)沿紙面向圓形區(qū)域各個(gè)方向均勻發(fā)射速度大小為的帶電粒子。圓的右邊為邊長(zhǎng)的正方形，剛好與圓相切于B點(diǎn)，其區(qū)域內(nèi)存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)。當(dāng)粒子沿方向時(shí)，粒子剛好從B點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)后又恰好從右邊界的中點(diǎn)返回。不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用。下列說(shuō)法正確的是（）

A．粒子的比荷為B．粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的總時(shí)間與入射方向無(wú)關(guān)C．若將電場(chǎng)方向變?yōu)樨Q直向下，則從電場(chǎng)邊界與射出的粒子數(shù)之比為D．若電場(chǎng)E豎直向下，且粒子要全部從邊界射出，則場(chǎng)強(qiáng)大小至少為原來(lái)的4倍考點(diǎn)三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)常見(jiàn)多解類型及分析類型分析圖例帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解如圖，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌跡為b磁場(chǎng)方向不確定在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解如圖，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過(guò)磁場(chǎng)飛出，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解運(yùn)動(dòng)具有周期性帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解考向帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問(wèn)題如圖甲所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為，方向垂直于abed所在平面，且周期性變化（周期T可根據(jù)需要調(diào)整），如圖乙所示，設(shè)垂直abcd平面向里為磁感強(qiáng)度的正方向?，F(xiàn)有一電子在時(shí)刻由a點(diǎn)沿ab方向射入磁場(chǎng)區(qū)，已知電子的質(zhì)量為m，電荷量大小為e，圖中邊界上有兩點(diǎn)f、g，且，關(guān)于電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法中正確的是（）

A．調(diào)整磁場(chǎng)變化周期T，讓電子沿bc方向經(jīng)過(guò)c點(diǎn)，電子的速度大小一定是B．調(diào)整磁場(chǎng)變化周期T，讓電子經(jīng)過(guò)d點(diǎn)，電子的速度大小一定是C．要想讓電子經(jīng)過(guò)點(diǎn)f點(diǎn)，則磁場(chǎng)變化周期一定是D．要想讓電子垂直bc邊過(guò)g點(diǎn)，則磁場(chǎng)