押題04 第18題 圓錐曲線（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測卷（新高考專用）含解析

押題04第18題圓錐曲線（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測卷（新高考專用）押題04第18題圓錐曲線（九大題型）1．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.2．（2022·全國·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．3．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.4．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.押題04圓錐曲線高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1弦長、中點(diǎn)弦問題1-3題型2面積問題4-8題型3定點(diǎn)問題9-11題型4定值問題12-14題型5取值范圍問題15-17題型6最值問題18-19題型7向量共線在圓錐曲線中的應(yīng)用20題型8導(dǎo)數(shù)、軌跡方程、圓錐曲線21題型9新定義圓錐曲線22題型1：弦長、中點(diǎn)弦問題1．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知雙曲線：，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，過F點(diǎn)且與直線垂直的直線交直線于P點(diǎn)，直線OP交雙曲線于M，N兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的離心率；(2)若直線OP的斜率為，求的值；(3)設(shè)直線AB，AP，AM，AN的斜率分別為，，，，且，，記，，，試探究v與u，w滿足的方程關(guān)系，并將v用w，u表示出來．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，過點(diǎn)作軸的垂線，與交于兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，求的取值范圍．3．（2022·遼寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，上不同兩點(diǎn)M，N同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①；②；③MN的方程為.(1)請(qǐng)分析說明兩點(diǎn)M，N滿足的是哪兩個(gè)條件？并求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，且與相切于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與直線交于Q，E兩點(diǎn)，求證：O，G，E三點(diǎn)共線.題型2：面積問題4．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓W：的離心率為，已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且橢圓W過點(diǎn)．(1)求橢圓W的方程；(2)已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在W上，求平行四邊形ABCD的面積S的最大值．5．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸．(1)求橢圓的方程；(2)直線斜率存在，交橢圓于兩點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，且直線和直線關(guān)于對(duì)稱．（?。┳C明：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）求面積的最大值．6．（2024·山東青島·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為：和的公共點(diǎn)，，與直線相切，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)若，直線與C交于點(diǎn)A，B，直線與C交于點(diǎn)，，點(diǎn)A，在第一象限，記直線與的交點(diǎn)為G，直線與的交點(diǎn)為H，線段AB的中點(diǎn)為E．①證明：G，E，H三點(diǎn)共線；②若，過點(diǎn)H作的平行線，分別交線段，于點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．7．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點(diǎn)A，B.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上一點(diǎn)，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.8．（2024·江西·二模）已知橢圓的方程為，由其個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的面積為，點(diǎn)在上，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)；(3)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.題型3：定點(diǎn)問題9．（2024·廣東江門·一模）已知橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.10．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線，點(diǎn)，過點(diǎn)任作兩條直線，分別與拋物線交于A，B與C，D.

(1)若的斜率分別為，求四邊形的面積；(2)設(shè)（ⅰ）找到滿足的等量關(guān)系；（ⅱ）交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.11．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).題型4：定值問題12．（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與相交于、兩點(diǎn)．(1)求直線l被圓所截的弦長；(2)當(dāng)時(shí)，．（i）求的方程；（ii）證明：對(duì)任意的，的周長為定值．13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，短軸長為，過點(diǎn)斜率存在且不為0的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓左右頂點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)是否為定值？若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說明理由．14．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，、為曲線與軸的左右交點(diǎn)，、分別與曲線交于、兩點(diǎn).證明：為定值.題型5：取值范圍問題15．（2024·江蘇徐州·一模）將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為E．記，，過點(diǎn)p的直線與E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線QA，QB與E分別交于點(diǎn)C，D．(1)求E的方程：(2)設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為，．當(dāng)今時(shí)，（i）求的值：（ii）若有最大值，求的取值范圍．16．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，的周長為8，焦距為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)R，S，求的取值范圍．17．（23-24高三下·江西南昌·開學(xué)考試）已知拋物線：上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5.(1)求拋物線的方程：(2)過點(diǎn)作直線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作C的切線與，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線垂直于，過點(diǎn)作直線垂直于，與相交于點(diǎn)E，、、、分別與軸交于點(diǎn)P、Q、R、S.記、、、的面積分別為、、、.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型6：最值問題18．（2024·山東臨沂·一模）動(dòng)圓與圓和圓都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，求的最大值.19．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，線段的中垂線與直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形的面積，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).題型7：向量共線在圓錐曲線中的應(yīng)用20．（2023·上海奉賢·一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，直角坐標(biāo)原點(diǎn)記為．設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為銳角的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，判別橢圓上是否存在點(diǎn)，使得非零向量與向量平行，請(qǐng)說明理由．題型8：導(dǎo)數(shù)、軌跡方程、圓錐曲線21．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓沿著軸正向無滑動(dòng)地滾動(dòng)，點(diǎn)為圓上一個(gè)定點(diǎn)，其初始位置為原點(diǎn)為繞點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（單位：弧度，）.

(1)用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)處的切線存在，且傾斜角為，求證：為定值；(3)若平面內(nèi)一條光滑曲線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為，則該光滑曲線長度為，其中函數(shù)滿足.當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)滾動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，其軌跡為一條光滑曲線，求的長度.題型9：新定義圓錐曲線22．（2024·江蘇南通·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.(1)求Γ的方程；(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.（ⅰ）若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.押題04第18題圓錐曲線（九大題型）一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.2．（2022·全國·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)椋?，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．3．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【解析】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.4．（2021·全國·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡計(jì)算可得的值.【解析】(1)因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,化簡得.則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因?yàn)?，所以，化簡得，所以，即．因?yàn)?，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因?yàn)?，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對(duì)參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡單.押題04圓錐曲線高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1弦長、中點(diǎn)弦問題1-3題型2面積問題4-8題型3定點(diǎn)問題9-11題型4定值問題12-14題型5取值范圍問題15-17題型6最值問題18-19題型7向量共線在圓錐曲線中的應(yīng)用20題型8導(dǎo)數(shù)、軌跡方程、圓錐曲線21題型9新定義圓錐曲線22題型1：弦長、中點(diǎn)弦問題1．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知雙曲線：，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，過F點(diǎn)且與直線垂直的直線交直線于P點(diǎn)，直線OP交雙曲線于M，N兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的離心率；(2)若直線OP的斜率為，求的值；(3)設(shè)直線AB，AP，AM，AN的斜率分別為，，，，且，，記，，，試探究v與u，w滿足的方程關(guān)系，并將v用w，u表示出來．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程求離心率；（2）首先由已知得，由直線垂直關(guān)系，點(diǎn)斜式寫出直線的方程，聯(lián)立曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理求；（3）首先由條件設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)已知條件表示，進(jìn)而求出和，再求直線，與雙曲線方程聯(lián)立，求得，并結(jié)合已知確定與的關(guān)系.【解析】（1）由雙曲線方程可知，，，，所以雙曲線的離心率；（2）設(shè)，，，由題意可知，，則直線的斜率，所以直線的斜率，故直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線，，得，顯然，由韋達(dá)定理得，，所以；（3）設(shè)，，則，因?yàn)?，故為，代入，得點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，故滿足雙曲線方程，即，所以，所以，，又，聯(lián)立直線雙曲線，，得，根據(jù)題意知，此方程的兩根即為，所以，所以，，即所以，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率，整理后即可求解.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，過點(diǎn)作軸的垂線，與交于兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）分類討論，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理求，換元結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即①，將代入橢圓方程得，則，由，得，即②，由①②并結(jié)合，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，所以；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，此時(shí)，，所以；③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立，整理得．

設(shè)，，則，，所以．因?yàn)?，所以可用替換表達(dá)式中的得，所以．

令，因?yàn)?，所以，，，所以，因?yàn)椋瑒t，所以；綜上所述：的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法定睛：解決圓錐曲線中的取值范圍問題的常用方法：1.利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或方程根的判別式構(gòu)造不等式，從而確定待求量的取值范圍；2.利用已知參數(shù)的范圍，求待求量的范圍，解這類問題的核心是建立參數(shù)與待求量間的等量關(guān)系；3.利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出待求量的取值范圍；4.利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為關(guān)于其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定待求量的取值范圍，如本題將表示為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，再利用換元法及二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求的取值范圍．3．（2022·遼寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，上不同兩點(diǎn)M，N同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①；②；③MN的方程為.(1)請(qǐng)分析說明兩點(diǎn)M，N滿足的是哪兩個(gè)條件？并求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，且與相切于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與直線交于Q，E兩點(diǎn)，求證：O，G，E三點(diǎn)共線.【答案】(1)②③；(2)證明見解析【分析】（1）若同時(shí)滿足①②，則可推出，故不符合題意；若同時(shí)滿足①③，則也是推出，不符合題意；由此可得同時(shí)滿足條件②③，求得p的值，可得答案;（2）設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得AB的斜率，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，進(jìn)而利用點(diǎn)差法求得，結(jié)合題意可得，求得E的坐標(biāo)為，可得OE的斜率為，從而證明結(jié)論.【解析】（1）若同時(shí)滿足①②，由②得,可得MN過焦點(diǎn)，則，故①②不能同時(shí)滿足；若同時(shí)滿足①③，由③可得MN過焦點(diǎn)，則，所以①③不能同時(shí)滿足；由以上可知，只能同時(shí)滿足條件②③，由②得，可得MN過焦點(diǎn)，且，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以直線AB的斜率為，設(shè)，則有，兩式相減得，所以，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，則有，l與直線交于點(diǎn)Q，以PQ為直徑的圓與直線交于Q,E兩點(diǎn)，所以,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以直線OE的斜率為，則有,所以：O，G，E三點(diǎn)共線..【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求解，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，證明三點(diǎn)共線問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量較大，解答的關(guān)鍵是明確解題的思路，準(zhǔn)確計(jì)算，即求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線OE,OG的斜率，證明斜率相等即可.題型2：面積問題4．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓W：的離心率為，已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且橢圓W過點(diǎn)．(1)求橢圓W的方程；(2)已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在W上，求平行四邊形ABCD的面積S的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解.（2）分情況討論直線斜率存在與不存在的情況，然后與橢圓方程式聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理求出相應(yīng)關(guān)系式，并利用基本不等式求出最值，從而可求解.【解析】（1）由題意知，解得，由長軸長是短軸長的2倍，則，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在，這的方程為，，因?yàn)?，故可設(shè)方程為，由，得，則，，，所以，同理，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平行四邊形取得最大值為4.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)平行四邊形為矩形，設(shè)，易得，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.綜上所述：平行四邊形的面積的最大值為4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸．(1)求橢圓的方程；(2)直線斜率存在，交橢圓于兩點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，且直線和直線關(guān)于對(duì)稱．（ⅰ）證明：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）求面積的最大值．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓上的點(diǎn)，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由，結(jié)合韋達(dá)定理得系數(shù)間的關(guān)系，可得直線所過定點(diǎn)，利用面積公式表示出的面積，由基本不等式求最大值.【解析】（1）點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸，則有設(shè)橢圓的焦距為，則，點(diǎn)代入橢圓方程，有，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為，由，消去y，整理得，因?yàn)閘交橢圓C于兩點(diǎn)，所以，設(shè)，所以，因?yàn)橹本€和直線關(guān)于對(duì)稱，所以所以所以解得.所以直線l的方程為，所以直線l過定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，由，消去，整理得，因?yàn)閘交橢圓C于兩點(diǎn)，所以，解得，，所以，所以令則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．6．（2024·山東青島·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為：和的公共點(diǎn)，，與直線相切，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)若，直線與C交于點(diǎn)A，B，直線與C交于點(diǎn)，，點(diǎn)A，在第一象限，記直線與的交點(diǎn)為G，直線與的交點(diǎn)為H，線段AB的中點(diǎn)為E．①證明：G，E，H三點(diǎn)共線；②若，過點(diǎn)H作的平行線，分別交線段，于點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②16【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列式化簡可得軌跡；（2）①設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用向量證明G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理H，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得結(jié)論；②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出直線和直線的方程，則可求出坐標(biāo)，然后利用面積公式求解最值即可.【解析】（1）設(shè)，與直線的切點(diǎn)為N，則，所以化簡得，所以C的方程為：；（2）①設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以可設(shè)，，又因?yàn)?，所以G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理，H，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以G，E，H三點(diǎn)共線．②設(shè)，，，，AB中點(diǎn)為E，中點(diǎn)為F，將代入得：，所以，，所以，同理，，（均在定直線上）因?yàn)椋浴鱁AT與△EAH面積相等，與△EBH面積相等；所以四邊形的面積等于四邊形GAHB的面積，設(shè)，，直線，即整理得：直線，又因?yàn)?，所以，同理，直線，，所以所以所以四邊形GAHB面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以四邊形面積的最大值為16．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB的面積，還有充分利用第一問中的點(diǎn)共線求出的橫坐標(biāo)，可以給求面積帶來便利.7．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點(diǎn)A，B.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上一點(diǎn)，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的基本量求解即可；（2）方法一：設(shè)直線AP：，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合在雙曲線上，化簡可得，同理，代入化簡，結(jié)合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可；方法二：設(shè)直線DE：，，，聯(lián)立方程得出韋達(dá)定理，再根據(jù)P，A，D三點(diǎn)共線，P，B，E三點(diǎn)共線，列式化簡可得，進(jìn)而可得，結(jié)合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可.【解析】（1）由題意得：，解得，所以雙曲線的方程為.（2）方法一：設(shè)直線AP：，，則，消y得：，得：，又因?yàn)樵陔p曲線上，滿足，即，所以，即.同理設(shè)直線BP：，，可得，所以.因?yàn)椋?，因?yàn)椋?把代入雙曲線方程得，解得，則點(diǎn).設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，因?yàn)?，所?則.因?yàn)椋?，所?方法二：設(shè)直線DE：，，，則，消x得：，所以，，得，因?yàn)镻，A，D三點(diǎn)共線，則，因?yàn)镻，B，E三點(diǎn)共線，則，兩式相除得，而.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，得，把代入雙曲線方程得，解得，則點(diǎn).設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于或的一元二次方程，注意判別式的判斷;（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，（或，）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.本題考到三角形外接圓，需要用到正弦定理，并根據(jù)角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為弦長關(guān)系進(jìn)行化簡，屬于難題.8．（2024·江西·二模）已知橢圓的方程為，由其個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的面積為，點(diǎn)在上，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)；(3)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)最大值為【分析】（1）由題意得到關(guān)于方程組求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得韋達(dá)定理，設(shè)方程得坐標(biāo)，利用將韋達(dá)定理代入化簡得，得到定點(diǎn)坐標(biāo);（3）由弦長公式及點(diǎn)到線的距離公式得面積表達(dá)式，換元法求最值.【解析】（1）由題意知，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線的斜率必存在，設(shè)其方程為.消去得，由得.設(shè)，則，（*）直線的方程為，令，得，同理，由，又，代入整理得，將（*）式代入并整理得.因?yàn)橹本€不過，故不成立，所以，此時(shí)直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn).（3）由，，所以又點(diǎn)到直線的距離為，所以令，則，當(dāng)，即時(shí)取等，所以的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查定點(diǎn)問題及面積最值，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理化簡.題型3：定點(diǎn)問題9．（2024·廣東江門·一模）已知橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得恒成立【分析】（1）由離心率及過點(diǎn)列方程組求解.（2）先討論直線水平與豎直情況，求出，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線得到成立.【解析】（1）依題意可得點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，所以點(diǎn)在軸上，設(shè)，當(dāng)與軸重合時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，不妨設(shè)，，則由，即，解得或，所以若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；下面證明：對(duì)任意的直線，均有，當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，消去，得，因?yàn)橹本€恒過橢圓內(nèi)定點(diǎn)，故恒成立，所以，，所以，易知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，所以，則三點(diǎn)共線，所以；綜上：存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.10．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線，點(diǎn)，過點(diǎn)任作兩條直線，分別與拋物線交于A，B與C，D.

(1)若的斜率分別為，求四邊形的面積；(2)設(shè)（?。┱业綕M足的等量關(guān)系；（ⅱ）交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）（?。└鶕?jù)題意，表示出直線的方程，結(jié)合過點(diǎn)，即可得到關(guān)系式；（ii）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與直線的方程，即可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將滿足的等量關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解析】（1）由已知，聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，則，所以，聯(lián)立直線與拋物線得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所?（2）（?。┮?yàn)?，所以的直線方程為，整理得，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以①，所以滿足的等量關(guān)系為；（ⅱ）證明：由（ⅰ）同理可得②，同理可得AC：，BD：，聯(lián)立與方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，，，由①②得，代入點(diǎn)的縱坐標(biāo)則，所以點(diǎn)坐標(biāo)在直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立與方程，解出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上一問的結(jié)論得到，，將其代入化簡即可.11．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)①證明過程見解析②證明過程見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）由橢圓焦點(diǎn)在軸上面，列出不等式組即可得的范圍，由的關(guān)系以及短軸長列出方程組即可得，由此即可得橢圓方程.（2）為了說明結(jié)論的驗(yàn)證性，首先證明一下題述引理（用解析幾何方法），即聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理以及斜率公式證明即可，從而對(duì)于①由結(jié)論法說明Q是和的交點(diǎn)，且，結(jié)合由此即可進(jìn)一步得證；對(duì)于②由結(jié)論法可表示出的方程，由此整理即可得解.【解析】（1）由題意焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達(dá)定理有，此時(shí)要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點(diǎn)，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點(diǎn)；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是用解析幾何證明題述引理的正確性，由此即可利用結(jié)論法進(jìn)一步求解.題型4：定值問題12．（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與相交于、兩點(diǎn)．(1)求直線l被圓所截的弦長；(2)當(dāng)時(shí)，．（i）求的方程；（ii）證明：對(duì)任意的，的周長為定值．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離得圓到直線的距離，再利用幾何法求出直線與圓的相交弦長，從而可求解.（2）（i）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將該直線方程代入橢圓方程，求出，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出橢圓的方程；（ii）求出原點(diǎn)到直線的距離，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理分析額可知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)均為正數(shù)，利用勾股定理、橢圓方程可求出的周長.【解析】（1）由題意得圓的圓心為，到直線的距離，則直線被圓所截弦長為.故直線被圓所截得的弦長為.（2）解：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，（i）聯(lián)立，得，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，橢圓的方程為；（ii）設(shè)點(diǎn)、，則，且，所以，，同理可得，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，過原點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：

所以，，聯(lián)立可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，合乎題意，因?yàn)?，則，由韋達(dá)定理可得，，故，，所以，，因此，的周長為（定值）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，短軸長為，過點(diǎn)斜率存在且不為0的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓左右頂點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)是否為定值？若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)是定值，為【分析】（1）根據(jù)條件列方程組，求出的值，可得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，以及點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的斜率代入結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系消元運(yùn)算得解.【解析】（1）由題意：，解得：，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）如圖：因?yàn)橹本€斜率不為0，設(shè)其方程為：，代入橢圓方程：，得：，整理得：．設(shè)，則顯然，則，，則直線方程為，令，得，則，則，，，，又代入得所以為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問考查直線與橢圓的綜合問題.求出，，，代入化簡，注意利用韋達(dá)定理，方程將代換成，再利用，將代換為，消元運(yùn)算可得答案.14．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，、為曲線與軸的左右交點(diǎn)，、分別與曲線交于、兩點(diǎn).證明：為定值.【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出相應(yīng)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【解析】（1）如圖所示：連接，由，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以有，由，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，即，所以的方程為；（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，代入橢圓方程中，得，顯然有，，即，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，代入橢圓方程中，得，顯然有，，即，于是有，，，，因此為常數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).題型5：取值范圍問題15．（2024·江蘇徐州·一模）將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為E．記，，過點(diǎn)p的直線與E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線QA，QB與E分別交于點(diǎn)C，D．(1)求E的方程：(2)設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為，．當(dāng)今時(shí)，（i）求的值：（ii）若有最大值，求的取值范圍．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）設(shè)所求軌跡上的任意點(diǎn)為，且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，列出關(guān)系式，代入即可求解；（2）（i）設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求得和，再結(jié)合三點(diǎn)共線，求得，利用斜率公式，即可求解；（ii）設(shè)直線為，得到直線的斜率為，求得，利用基本不等式，得到取得最大值，再聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.【解析】（1）解：設(shè)所求軌跡上的任意點(diǎn)為，與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，根據(jù)題意，可得，即，代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）解：（i）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，可得，所以，可得，所以，同理可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，所以，所以.（ii）設(shè)直線的方程為，其中，由（i）知，直線的斜率為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，若有最大值，則，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，

【點(diǎn)睛】方法技巧：圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強(qiáng)，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：1.幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；2.函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）平面向量；（6）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.16．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，的周長為8，焦距為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)R，S，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的周長結(jié)合橢圓的定義得出，再由的關(guān)系求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，得，再聯(lián)立方程組，由弦長公式求最值.【解析】（1）因?yàn)榈闹荛L為8，所以，解得，焦距為，，所以，所以橢圓E的方程為．（2）由（1）可知圓，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為或，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，則，設(shè)，聯(lián)立橢圓于直線方程，消元得，所以，由，得,,令，則，由，所以當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.17．（23-24高三下·江西南昌·開學(xué)考試）已知拋物線：上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5.(1)求拋物線的方程：(2)過點(diǎn)作直線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作C的切線與，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線垂直于，過點(diǎn)作直線垂直于，與相交于點(diǎn)E，、、、分別與軸交于點(diǎn)P、Q、R、S.記、、、的面積分別為、、、.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合拋物線定義即可;（2）設(shè)經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線方程為：（），與拋物線方程聯(lián)立得，.將每條直線表達(dá)出來，、、、表達(dá)出來，再由求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，由題意可得，即，解得或（舍去），所以拋物線的方程為.（2）如圖，設(shè)經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線方程為：（，），與拋物線方程聯(lián)立可得，即，∴，.∵，則，∴，∴過點(diǎn)作的切線方程為，令，得，即.同理，過點(diǎn)作的切線方程為，令，得，即.∴.聯(lián)立兩直線方程，解得，即，則到直線的距離.又∵過點(diǎn)作直線垂直于，直線的方程為，令，得，即.同理，直線的方程為，令，得，即.∴.聯(lián)立兩直線方程，解得，整理后可得，即，則到直線的距離.由上可得，，，，∴，得，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線的切線方程，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).題型6：最值問題18．（2024·山東臨沂·一模）動(dòng)圓與圓和圓都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析，（ii）【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解點(diǎn)的軌跡方程；（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而得出定點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而求解出的定點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，由基本不等式得出結(jié)果.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，因?yàn)榕c，都內(nèi)切，所以，，所以，又，，故，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)的方程為：，則，，所以，故的方程為：.（2）（i）證明：設(shè)，，，由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，故直線的方程為：，顯然當(dāng)時(shí)，，故直線經(jīng)過定點(diǎn).（ii）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得，又，所以直線的方程為，令得，，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.19．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，線段的中垂線與直線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形的面積，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【分析】（1）連接，，確定，計(jì)算，確定軌跡為橢圓，排除特殊點(diǎn)得到答案.（2）確定切線方程，得到，得到直線的方程為，計(jì)算，計(jì)算面積得到，得到，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.【解析】（1）如圖所示：連接，，，為線段的中點(diǎn)，是線段的垂直平分線，故，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.由橢圓的定義可知，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，以4為長軸長的橢圓，即，解得，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，與重合，不符合題意，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)