高中數(shù)學選修2-2第一章-導數(shù)及其應用

選修2-2第一章導數(shù)及其應用書目§1.1.1§1.1.§1.1.§幾個常用函數(shù)的導數(shù)（新授課）§第一課時：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（新授課）§其次課時：復合函數(shù)的求導法則（新授課）§函數(shù)的單調性與導數(shù)（2課時）(新授課)§函數(shù)的極值與導數(shù)（2課時）（新授課）§函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)（2課時）（新授課）§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時）（新授課）§曲邊梯形的面積（新授課）§汽車行駛的路程（新授課）§定積分的概念（新授課）§1.6微積分基本定理（新授課）§1.7定積分的簡潔應用（兩課時）（新授課）導數(shù)及其應用題組訓練（一）導數(shù)及其應用題組訓練（一）參考答案導數(shù)及其應用題組訓練（二）導數(shù)及其應用題組訓練（二）參考答案導數(shù)及其應用題組訓練（三）導數(shù)及其應用題組訓練（三）參考答案第一章導數(shù)及其應用一、課程目標：微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了詳盡代數(shù)學過渡的新時期，為探討變量和函數(shù)供應了重要的方法和手段。導數(shù)、定積分都是微積分的核心概念，它們有極其豐富的實際背景和廣泛應用。在本章中，學生將通過大量實例，經驗由平均變更率到瞬時變更率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導數(shù)概念，了解導數(shù)在探討函數(shù)的單調性、極值等性質中的作用。學生還將經驗求曲邊梯形的面積、汽車行駛路程等實際問題的過程，初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎。通過本章的學習，學生將體會導數(shù)的思想極其豐富內涵，感受導數(shù)在解決實際問題中的作用，了解微積分的文化價值。二、學習目標：1、變更率與導數(shù)（1）、通過分析實例，經驗由平均變更率過渡到瞬時變更率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變更率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵。（2）、通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義。2、導數(shù)的計算（1）、能依據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)的導數(shù)。（2）、能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡潔函數(shù)的導數(shù)，能求簡潔的復合函數(shù)的導數(shù)。（3）、會運用導數(shù)公式表。3、導數(shù)在探討函數(shù)中的應用（1）、結合實例，借助幾何直觀探究并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間。（2）、結合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)球不超過三次的多項函數(shù)的極大值、微小值。4、生活中的優(yōu)化問題舉例通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用。5、定積分與微積分基本定理（1）、通過實例，從問題情境中了解定積分的實際背景，借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。（2）、通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義。（3）、應用定積分解決一些簡潔的幾何和物理問題。6、數(shù)學文化收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料，并進行溝通；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。三、本章學問結構平均速度平均速度瞬時速度平均變更率瞬時變更率割線斜率切線斜率導數(shù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式導數(shù)運算法則導數(shù)與函數(shù)單調性的關系與極（最）值的關系微積分基本定理曲邊梯形的面積變速直線運動的路程定積分定積分在幾何、物理中的簡潔應用四、課時支配：1.1變更率與導數(shù)約4課時1.2導數(shù)的計算約3課時1.3導數(shù)在探討函數(shù)中的應用約4課時1.4生活中的優(yōu)化問題舉例約3課時1.5定積分的概念約4課時1.6微積分基本定理約2課時1.7定積分的簡潔應用約2課時實習作業(yè)約1課時小結約1課時§1.1.1變更率問題一、教學目標：學問與技能：了解函數(shù)的平均變更率的概念，會求函數(shù)的平均變更率。過程與方法：體會有特殊到一般的思維方法情感、看法與價值觀：感受由平均變更率刻畫現(xiàn)實問題的過程。二、教學重點與難點：重點：平均變更率的概念、函數(shù)在某點處旁邊的平均變更率；難點：平均變更率的概念．三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變更著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的探討，產生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理干脆相關：1、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在隨意時刻的速度與加速度等;2、求曲線的切線;3、求已知函數(shù)的最大值與最小值;4、求長度、面積、體積和重心等。導數(shù)是微積分的核心概念之一它是探討函數(shù)增減、變更快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。導數(shù)探討的問題即變更率問題：探討某個變量相對于另一個變量變更的快慢程度．（二）．講授新課1、提出問題問題1：氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)覺,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是假如將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析:，當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了hto氣球的平均hto可以看出，隨著氣球體積漸漸增大，它的平均膨脹率漸漸變小了．思索：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?問題2高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?思索計算：和的平均速度在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思索以下問題：⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際狀況是運動員仍舊運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)．2、平均變更率概念:（1）．上述問題中的變更率可用式子表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變更率（2）．若設,(這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)（3）。則平均變更率為思索：視察函數(shù)f(x)的圖象平均變更率表示什么?f(x2)f(x2)y=f(x)y△△y=f(x2)-f(x1) f(x1f(x1)△x=x2△x=x2-x1x2x2x1xOxO（三）．典例分析例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及接近一點,則．解：，∴求在旁邊的平均變更率。解：，所以所以在旁邊的平均變更率為（四）．課堂練習1．質點運動規(guī)律為，則在時間中相應的平均速度為．2.物體依據(jù)s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s旁邊的平均變更率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率.（五）．課時小結1．平均變更率的概念2．函數(shù)在某點處旁邊的平均變更率（六）．布置作業(yè)：課本第10頁習題1.1A組1四、課后反思§1.1.2一、教學目標：學問與技能：1．了解瞬時速度、瞬時變更率的概念；2．理解導數(shù)的概念，會求函數(shù)在某點的導數(shù)過程與方法：經驗由實例抽象出導數(shù)概念的過程，知道瞬時變更率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵。情感、看法與價值觀：經驗由平均變更率到瞬時變更率刻畫現(xiàn)實問題問題的過程，感受導數(shù)在現(xiàn)實問題中的應用，初步相識導數(shù)的應用價值。二、教學重點與難點：重點：瞬時速度、瞬時變更率的概念、導數(shù)的概念；難點：導數(shù)的概念．三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景1、復習提問：平均變更率2、探究：計算運動員在這段時間里的平均速度，并思索以下問題：⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，，htohto雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際狀況是運動員仍舊運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)．（二）．新課講授1．瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，時的瞬時速度是多少？考察旁邊的狀況：（引導學生視察課本第4頁表格）思索：當趨近于0時，平均速度有什么樣的變更趨勢？結論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值．從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在時的瞬時速度是為了表述便利，我們用表示“當，趨近于0時，平均速度趨近于定值”小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2．導數(shù)的概念從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變更率是:我們稱它為函數(shù)在出的導數(shù)，記作或，即說明：（1）導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變更率（2），當時，，所以（三）．典例分析例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù).分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求再求解：法一定義法（略）法二：（2）求函數(shù)f(x)=在旁邊的平均變更率，并求出在該點處的導數(shù)．解：例2．將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，須要對原油進行冷卻和加熱，假如第時，原油的溫度（單位：）為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變更率，并說明它們的意義．解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變更率就是和依據(jù)導數(shù)定義，所以同理可得:在第時和第時，原油溫度的瞬時變更率分別為和5，說明在旁邊，原油溫度大約以的速率下降，在第旁邊，原油溫度大約以的速率上升．注：一般地，反映了原油溫度在時刻旁邊的變更狀況．（四）．課堂練習1．質點運動規(guī)律為，求質點在的瞬時速度為．2．求曲線y=f(x)=x3在時的導數(shù)．3．例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變更率，并說明它們的意義．（五）．課時小結1．瞬時速度、瞬時變更率的概念2．導數(shù)的概念（六）．布置作業(yè)：課本第10頁習題1.1A組2.3.4四、課后反思§1.1.3一、教學目標：學問與技能：理解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程。過程與方法：經驗導數(shù)幾何意義的學習過程，感受極限思想，體會用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法，體會用導數(shù)的幾何意義分析圖像上點的變更狀況的方法。情感、看法與價值觀：通過本節(jié)的學習，體會導數(shù)與曲線的聯(lián)系，初步相識數(shù)學的科學價值，發(fā)展理性思維實力。二、教學重點與難點重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數(shù)的幾何意義；難點：導數(shù)的幾何意義．三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景復習提問：1、平均變更率、割線的斜率2、瞬時速度、導數(shù)我們知道，導數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變更率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0旁邊的變更狀況，導數(shù)的幾何意義是什么呢？（二）．新課講授1、曲線的切線及切線的斜率：視察課本第7頁圖1.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變更趨勢是什么？我們可以發(fā)覺,當點沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系？⑵切線PT的斜率為多少？簡潔知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念:①供應了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質—函數(shù)在處的導數(shù).（2）曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要依據(jù)割線是否有極限位置來推斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不肯定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.2、導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:①求出P點的坐標;②求出函數(shù)在點處的變更率，得到曲線在點的切線的斜率；③利用點斜式求切線方程.3、導函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時,是一個確定的數(shù)，那么,當x變更時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).記作：或，即:注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．4、函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)之間的區(qū)分與聯(lián)系。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的變更量與自變量的變更量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。(2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內隨意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)(3）函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點處的導數(shù)的方法之一。（三）．典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點處的切線方程.解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因為所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即例2．如圖課本第8頁圖1.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變更的函數(shù)，依據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、、旁邊的變更狀況．解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻旁邊的變更狀況．當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在旁邊曲線比較平坦，幾乎沒有升降．當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在旁邊曲線下降，即函數(shù)在旁邊單調遞減．當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在旁邊曲線下降，即函數(shù)在旁邊單調遞減．從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在旁邊比在旁邊下降的緩慢．例3．如圖課本第9頁圖1.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位：）變更的圖象．依據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變更率（精確到）．解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變更率，就是藥物濃度在此時刻的導數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率．如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變更率的近似值．作處的切線，并在切線上去兩點，如，，則它的斜率為：所以下表給出了藥物濃度瞬時變更率的估計值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變更率0.40-0.7-1.4（四）．課堂練習1．求曲線y=f(x)=x3在點處的切線；2．求曲線在點處的切線．（五）.課時小結1．曲線的切線及切線的斜率；2．導數(shù)的幾何意義（六）．布置作業(yè)：課本第10頁習題1.1A組5，6四、課后反思§幾個常用函數(shù)的導數(shù)（新授課）一、教學目標：學問與技能：能夠用導數(shù)的定義求幾個常用函數(shù)的導數(shù)，會利用它們解決簡潔的問題。過程與方法：通過本節(jié)的學習，駕馭利用導數(shù)的定義求導數(shù)的方法。情感、看法與價值觀：通過本節(jié)的學習，進一步體會導數(shù)與物理學問之間的聯(lián)系，提高數(shù)學的應用意識。二、教學重點與難點：重點：五種常見函數(shù)、、、、的導數(shù)公式及應用難點：五種常見函數(shù)、、、、的導數(shù)公式三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景我們知道，導數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數(shù)，如何求它的導數(shù)呢？由導數(shù)定義本身，給出了求導數(shù)的最基本的方法，但由于導數(shù)是用極限來定義的，所以求導數(shù)總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù)，這一單元我們將探討比較簡捷的求導數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導數(shù)．（二）．新課講授1．函數(shù)的導數(shù)依據(jù)導數(shù)定義，因為所以表示函數(shù)圖像上每一點處的切線的斜率都為0．若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以說明為某物體的瞬時速度始終為0，即物體始終處于靜止狀態(tài)．2．函數(shù)的導數(shù)因為所以表示函數(shù)圖像上每一點處的切線的斜率都為1．若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以說明為某物體做瞬時速度為1的勻速運動．3．函數(shù)的導數(shù)因為所以表示函數(shù)圖像上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變更，切線的斜率也在變更．另一方面，從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變更率來看，表明：當時，隨著的增加，函數(shù)削減得越來越慢；當時，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快．若表示路程關于時間的函數(shù)，則可以說明為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為．4．函數(shù)的導數(shù)因為所以5．函數(shù)的導數(shù)因為所以推廣：若，則（三）．課堂練習：課本P13探究，P14探究（四）．課時小結：函數(shù)導數(shù)（五）．布置作業(yè)：習題1.2第1題四、課后反思§第一課時：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（新授課）一、教學目標：學問與技能：能利用導數(shù)的運算法則和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，求簡潔函數(shù)的導數(shù)。過程與方法：駕馭運用導數(shù)的運算法則和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式來求導數(shù)的方法。情感、看法與價值觀：通過利用導數(shù)方法解決實際問題的過程，體會導數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用價值，提高數(shù)學應用實力。二、教學重點與難點：重點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則難點：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的應用三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景復習：五種常見函數(shù)、、、、的導數(shù)公式及應用（二）．新課講授1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù)2、導數(shù)的運算法則導數(shù)運算法則1．2．3．推論：（常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）（三）．典例分析例1．假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？解：依據(jù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式表，有所以（元/年）因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲．例2．依據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù)．（1）（2）；（3）；（4）；（5）．（6）；（7）解：（1），。（2）（3）（4），。（5）（6），。（7）【點評】①求導數(shù)是在定義域內實行的．②求較困難的函數(shù)積、商的導數(shù)，必需細心、耐性．例3、日常生活中的飲水通常是經過凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變更率：（1）（2）解：凈化費用的瞬時變更率就是凈化費用函數(shù)的導數(shù)．因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變更率是52.84元/噸．因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變更率是1321元/噸．函數(shù)在某點處導數(shù)的大小表示函數(shù)在此點旁邊變更的快慢．由上述計算可知，．它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變更率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變更率的25倍．這說明，水的純凈度越高，須要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快．（四）．課堂練習：1．課本P18練習12．已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；（y＝－12x＋8）（五）．課時小結：（1）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表（2）導數(shù)的運算法則（六）．布置作業(yè)：習題1.2A組4（1）（2）（3）四、課后反思：§其次課時：復合函數(shù)的求導法則（新授課）一、教學目標學問與實力：理解并駕馭復合函數(shù)的求導法則．過程與方法：駕馭運用導數(shù)的運算法則和導數(shù)公式來求復合函數(shù)導數(shù)的方法。情感、看法與價值觀：體會導數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用價值，提高數(shù)學應用實力。二、教學重點與難點：重點：復合函數(shù)的求導方法：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)之積．難點：正確分解復合函數(shù)的復合過程，做到不漏，不重，嫻熟，正確．三、教學過程（一）．創(chuàng)設情景，復習引入1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表（學生填表）函數(shù)導數(shù)2、導數(shù)的運算法則導數(shù)運算法則1．2．3．推論：（常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)）（二）．新課講授復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)和，假如通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復合函數(shù)，記作。復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)和的導數(shù)間的關系為，即對的導數(shù)等于對的導數(shù)與對的導數(shù)的乘積．若，則（三）．典例分析例1、求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）（其中均為常數(shù)）．解：（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復合函數(shù)。依據(jù)復合函數(shù)求導法則有=。（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復合函數(shù)。依據(jù)復合函數(shù)求導法則有=。（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復合函數(shù)。依據(jù)復合函數(shù)求導法則有=。例2、求的導數(shù)．解：【點評】求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于搞清晰復合函數(shù)的結構，明確復合次數(shù)，由外層向內層逐層求導，直到關于自變量求導，同時應留意不能遺漏求導環(huán)節(jié)并剛好化簡計算結果．例3、求的導數(shù)．解：，【點評】本題練習商的導數(shù)和復合函數(shù)的導數(shù)．求導數(shù)后要予以化簡整理．例4、求y＝sin4x＋cos4x的導數(shù)．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【點評】解法一是先化簡變形，簡化求導數(shù)運算，要留意變形精確．解法二是利用復合函數(shù)求導數(shù)，應留意不漏步．例5、曲線y＝x（x＋1）（2－x）有兩條平行于直線y＝x的切線，求此二切線之間的距離．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切點為P（1，2），Q（－，－），過點P的切線方程為，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．明顯兩切線間的距離等于點Q到此切線的距離，故所求距離為＝．（四）．課堂練習1．求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y=sinx3+sin33x；（2）;(3)2.求的導數(shù)（五）．課時小結：1、復合函數(shù)的求導法則．2、運用導數(shù)的運算法則和導數(shù)公式來求復合函數(shù)導數(shù)的方法。（六）．布置作業(yè)：習題1.2A組5、6四、課后反思§函數(shù)的單調性與導數(shù)（2課時）(新授課)一、教學目標：學問與技能：借助與函數(shù)的圖像了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，能利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間。過程與方法：通過本節(jié)的學習，駕馭用導數(shù)探討函數(shù)單調性的方法。情感、看法與價值觀：通過實例探究函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系的過程，體會學問間的相互關系和運動變更的觀點，提高理性思維實力。二、教學重點與難點：重點：利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間難點：利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間三、教學過程：（一）．課題引入函數(shù)是客觀描述世界變更規(guī)律的重要數(shù)學模型，探討函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質是特別重要的．通過探討函數(shù)的這些性質，我們可以對數(shù)量的變更規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導數(shù)探討函數(shù)的性質，從中體會導數(shù)在探討函數(shù)中的作用．（二）．新課講授1．提出問題：視察課本22頁圖1.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變更的函數(shù)的圖像，（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變更的函數(shù)的圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)分？通過視察圖像，我們可以發(fā)覺：（1）、運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應地，．（2）、從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而削減，即是減函數(shù)．相應地，．2．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系視察下面課本23頁圖1.3-2函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系．如圖，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在旁邊單調遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在旁邊單調遞減．結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間內，假如，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；假如，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減．說明：特殊的，假如，那么函數(shù)在這個區(qū)間內是常函數(shù)．3．求解函數(shù)單調區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．（三）．典例分析例1．已知導函數(shù)的下列信息：當時，；當，或時，；當，或時，試畫出函數(shù)圖像的大致形態(tài)．解：當時，，可知在此區(qū)間內單調遞增；當，或時，；可知在此區(qū)間內單調遞減；當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”．綜上，函數(shù)圖像的大致形態(tài)如圖所示．例2．推斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)間．（1）；（2）（3）；（4）解：（1）因為，所以，因此，在R上單調遞增，如圖所示．（2）因為，所以，當，即時，函數(shù)單調遞增；當，即時，函數(shù)單調遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示．（3）因為，所以，因此，函數(shù)在單調遞減，如圖3.3-5（3）所示．（4）因為，所以．當，即時，函數(shù)；當，即時，函數(shù)；函數(shù)的圖像如圖所示．注：（3）、（4）為學生練習例3．如圖，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關系圖像．分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，起先階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變更狀況．同理可知其它三種容器的狀況．解：思索：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變更的快慢．結合圖像，你能從導數(shù)的角度說明變更快慢的狀況嗎？一般的，假如一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的肯定值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變更的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內的圖像“陡峭”，在或內的圖像“平緩”．例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)．證明：因為當即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)．說明：證明可導函數(shù)在內的單調性步驟：（1）求導函數(shù)；（2）推斷在內的符號；（3）做出結論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．例5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數(shù)的取值范圍為．說明：已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單調遞增，則；若函數(shù)單調遞減，則”來求解，留意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．例6．已知函數(shù)y=x+，試探討出此函數(shù)的單調區(qū)間.解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的單調增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的單調減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)（四）．課堂練習1．求下列函數(shù)的單調區(qū)間（1）、f(x)=2x3－6x2+7（2）、f(x)=+2x（3）、f(x)=sinx,x（4）、2．課本26頁練習1（五）．課時小結（1）函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系（2）求解函數(shù)單調區(qū)間（3）證明可導函數(shù)在內的單調性（六）．布置作業(yè)：習題1.3A組1、2四、課后反思：§函數(shù)的極值與導數(shù)（2課時）（新授課）一、教學目標：學問與技能：了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值。過程與方法：通過本節(jié)的學習，駕馭利用導數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值。情感、看法與價值觀：通過本節(jié)的學習，體會導數(shù)方法在探討函數(shù)性質中的一般性和有效性。二、教學重點與難點：重點：極大、微小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟.難點：對極大、微小值概念的理解及求可導函數(shù)的極值的步驟.三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景視察下圖，我們發(fā)覺，時，高臺跳水運動員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點的導數(shù)是多少呢？此點旁邊的圖像有什么特點？相應地，導數(shù)的符號有什么變更規(guī)律？放大旁邊函數(shù)的圖像，課本27頁圖1.3-8與1.3-9．可以看出；在，當時，函數(shù)單調遞增，；當時，函數(shù)單調遞減，；這就說明，在旁邊，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當在的旁邊從小到大經過時，先正后負，且連續(xù)變更，于是有．對于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質呢？附：對極大、微小值概念的理解，可以結合圖象進行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點旁邊的小區(qū)間而言的.從圖象視察得出，判別極大、微小值的方法.推斷極值點的關鍵是這點兩側的導數(shù)異號（二）．新課講授1．提出問題：圖1.3-8表示跳水運動中高度隨時間變更的函數(shù)的圖像圖1.3-9表示高臺跳水運動員的速度隨時間變更的函數(shù)的圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)分？通過視察圖像，我們可以發(fā)覺：運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應地，．從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而削減，即是減函數(shù)．相應地，．2．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系視察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系．如圖3.3-3，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在旁邊單調遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在旁邊單調遞減．結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間內，假如，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；假如，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減．說明：（1）特殊的，假如，那么函數(shù)在這個區(qū)間內是常函數(shù)．3．求解函數(shù)單調區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．（三）．典例分析例1．求的極值解：因為，所以。下面分兩種狀況探討：（1）當>0,即，或時；（2）當<0,即時.當x變更時，，的變更狀況如下表：-2(-2,2)2+0－0+↗極大值↘微小值↗因此，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有微小值，并且微小值為。函數(shù)的圖像如圖所示。例2、求y=(x2－1)3+1的極值解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1當x變更時，y′，y的變更狀況如下表-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+↘無極值↘微小值0↗無極值↗∴當x=0時，y有微小值且1.極大值：一般地，設函數(shù)f(x)在點x0旁邊有定義，假如對x0旁邊的全部的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點2.微小值：一般地，設函數(shù)f(x)在x0旁邊有定義，假如對x0旁邊的全部的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個微小值，記作y微小值=f(x0)，x0是微小值點3.極大值與微小值統(tǒng)稱為極值留意以下幾點：（ⅰ）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它旁邊點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的完全的定義域內最大或最小（ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或微小值可以不止一個（ⅲ）極大值與微小值之間無確定的大小關系即一個函數(shù)的極大值未必大于微小值，如下圖所示，是極大值點，是微小值點，而>（ⅳ）函數(shù)的極值點肯定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點4.判別f(x0)是極大、微小值的方法:若滿意，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且假如在兩側滿意“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；假如在兩側滿意“左負右正”，則是的微小值點，是微小值5.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，假如左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；假如左負右正，那么f(x)在這個根處取得微小值；假如左右不變更符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值假如函數(shù)在某些點處連續(xù)但不行導，也須要考慮這些點是否是極值點（四）、鞏固練習：1．求下列函數(shù)的極值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.當x變更時，y′，y的變更狀況如下表.－0+↘微小值↗∴當x=時，y有微小值，且y微小值=－.(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.當x變更時，y′，y的變更狀況如下表.-3(-3,3)3+0－0+↗極大值54↘微小值-54↗∴當x=－3時，y有極大值，且y極大值=54.當x=3時，y有微小值，且y微小值=－54（五）、課時小結：函數(shù)的極大、微小值的定義以及判別方法.求可導函數(shù)f(x)的極值的三個步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點旁邊的小區(qū)間而言的，在整個定義區(qū)間可能有多個極值，且要在這點處連續(xù).可導函數(shù)極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為零的點不肯定是極值點，要看這點兩側的導數(shù)是否異號.函數(shù)的不行導點可能是極值點（六）、布置作業(yè)：課本P45：4，5四、課后反思§函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)（2課時）（新授課）一、教學目標：學問與實力：使學生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，駕馭可導函數(shù)在閉區(qū)間上全部點（包括端點）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；過程與方法：使學生駕馭用導數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟情感、看法與價值觀：通過對函數(shù)的極值與最值得類比，體會學問間的聯(lián)系，逐步提高分析問題與解決問題的實力。二、教學重點與難點重點：利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和微小值的區(qū)分與聯(lián)系．三、教學過程：（一）、課題引入：我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點旁邊的局部性質，而不是函數(shù)在整個定義域內的性質．也就是說，假如是函數(shù)的極大（小）值點，那么在點旁邊找不到比更大（小）的值．但是，在解決實際問題或探討函數(shù)的性質時，我們更關切函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最?。偃缡呛瘮?shù)的最大（?。┲?，那么不小（大）于函數(shù)在相應區(qū)間上的全部函數(shù)值．（二）、新課講授視察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是微小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是．1．結論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：⑴、假如在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．⑵、給定函數(shù)的區(qū)間必需是閉區(qū)間，在開區(qū)間內連續(xù)的函數(shù)不肯定有最大值與最小值．如函數(shù)在內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；⑶、在閉區(qū)間上的每一點必需連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，⑷、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（可以不給學生講）2．“最值”與“極值”的區(qū)分和聯(lián)系⑴、最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數(shù)值得出的，具有肯定性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點旁邊函數(shù)值得出的，具有相對性．⑵、從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；⑶、函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷、極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．3、利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)全部的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴、求在內的極值；⑵、將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值（三）、典例分析例1、求在的最大值與最小值解：由例4可知，在上，當時，有微小值，并且微小值為，又由于，因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是．上述結論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗證．例2、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值解：先求導數(shù)，得令＝0即解得導數(shù)的正負以及，如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13從上表知，當時，函數(shù)有最大值13，當時，函數(shù)有最小值4例3、已知,∈(0,+∞).是否存在實數(shù),使同時滿意下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由.解：設g(x)=∵f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)∴g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù).∴∴解得經檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿意題設的兩個條件.（四）、課堂練習1、下列說法正確的是()A函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的微小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值肯定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)肯定存在最值2、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x)()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3、函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為()A.0 B.－2C.－14、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．5、課本31頁練習（五）、課時小結1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)肯定有最值；開區(qū)間內的可導函數(shù)不肯定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值4．利用導數(shù)求函數(shù)的最值方法．（六）．布置作業(yè)：習題1.3A組6四、課后反思§1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時）（新授課）一、教學目標：學問與技能：利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題。過程與方法：通過學習使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會數(shù)學建模的方法和導數(shù)在解決實際問題中的作用。情感、看法與價值觀：通過對生活中優(yōu)化問題的探究過程，感受數(shù)學的應用價值，提高學習數(shù)學的愛好，提高將實際問題轉化為數(shù)學問題的實力二、教學重點與難點：重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．三、教學過程：（一）。新課引入生活中常常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．（二）．新課講授導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關的最值問題；2、與物理學有關的最值問題；3、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是須要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)建在閉區(qū)間內求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過探討相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案（三）．典例分析例1．海報版面尺寸的設計學?；虬嗉墝嵭谢顒樱ǔｍ氁獜堎N海報進行宣揚?，F(xiàn)讓你設計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。拷猓涸O版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為。求導數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當時，<0；當時，>0.因此，是函數(shù)的微小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否留意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？（背景學問）：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。拷猓河捎谄孔拥陌霃綖?，所以每瓶飲料的利潤是令解得（舍去）當時，；當時，．當半徑時，它表示單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑時，它表示單調遞減，即半徑越大，利潤越低．（1）半徑為cm時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．（2）半徑為cm時，利潤最大．換一個角度：假如我們不用導數(shù)工具，干脆從函數(shù)的圖像上視察，會有什么發(fā)覺？有圖像知：當時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值．當時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm時，利潤最小．例3．磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，依據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的辨別率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求全部磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．是不是越小，磁盤的存儲量越大？為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。設存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內一條磁道必需裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達。所以，磁盤總存儲量×（1）它是一個關于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以推斷，不是越小，磁盤的存儲量越大．（2）為求的最大值，計算．令，解得當時，；當時，．因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例4．汽油的運用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有肯定的關系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．依據(jù)你的生活閱歷，思索下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的運用率最高”的含義是什么？分析：探討汽油的運用效率（單位：L/m）就是探討秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．假如用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問題．通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、探討，人們發(fā)覺，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關系．從圖中不能干脆解決汽油運用效率最高的問題．因此，我們首先須要將問題轉化為汽油平均消耗率（即每小時的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油運用效率最高的問題．解：因為這樣，問題就轉化為求的最小值．從圖象上看，表示經過原點與曲線上點的直線的斜率．進一步發(fā)覺，當直線與曲線相切時，其斜率最?。诖饲悬c處速度約為90．因此，當汽車行駛距離肯定時，要使汽油的運用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為L．_x_x_60__x_x_60_60xx解法一：設箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3解法二：設箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積．（后面同解法一，略）由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處．事實上，可導函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例6．圓柱形金屬飲料罐的容積肯定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最?。拷猓涸O圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最?。刻崾荆篠=2+h=V(R)=R=)=0．例6．在經濟學中，生產x單位產品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。（1）、假如C(x)＝，那么生產多少單位產品時，邊際最低？(邊際成本：生產規(guī)模增加一個單位時成本的增加量)（2）、假如C(x)=50x＋10000，產品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？變式：已知某商品生產成本C與產量q的函數(shù)關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數(shù)關系式為．求產量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產量乘價格．由此可得出利潤L與產量q的函數(shù)關系式，再用導數(shù)求最大利潤．解：收入，利潤令，即，求得唯一的極值點答：產量為84時，利潤L最大例7．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.解：由梯形面積公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S= ①∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ②由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)=l′==0,∴h=,當h<時，l′<0,h>時，l′>0.∴h=時，l取最小值，此時b=例8．已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長．解：設位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x＞0，y＞0，則另一個在拋物線上的頂點為（－x，y），在x軸上的兩個頂點為（－x，0）、（x，0），其中0＜x＜2．設矩形的面積為S，則S＝2x（4－x2），0＜x＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x＝，易知x＝是S在（0，2）上的極值點，即是最大值點，所以這種矩形中面積最大者的邊長為和．點評：應用題求解，要正確寫出目標函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應用題的分析中如確定有最小值，且微小值唯一，即可確定微小值就是最小值．（四）．課堂練習練習：1：一書店預料一年內要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，假如每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設該書勻稱投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？解：假設每次進書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書勻稱投放市場，則平均庫存量為批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當x＝15時，y取得微小值，且微小值唯一，故當x＝15時，y取得最小值，此時進貨次數(shù)為＝10（次）．即該書店分10次進貨，每次進15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少．2：有甲、乙兩城，甲城位于始終線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應設在河邊的何處，才能使水管費用最省？解：設水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元，則CD＝．y＝500（50－x）＋700＝25000－500x＋700，y′＝－500＋700·(x2＋1600)·2x＝－500＋，令y′＝0，解得x＝．答：水廠距甲距離為50－千米時，總費用最省．點評：當要求的最大（?。┲档淖兞縴與幾個變量相關時，我們總是先設幾個變量中的一個為x，然后再依據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達式f（x）．建立數(shù)學模型（五）：課時小結1．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學模型，再通過探討相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數(shù)往往是一個有利的工具。（六）．布置作業(yè)：習題1.4A組：1.2.3四、課后反思：§曲邊梯形的面積（新授課）一、教學目標學問與技能：通過求曲邊梯形的面積，了解定積分的背景。過程與方法：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、靠近，感受在其過程中滲透的思想方法情感看法與價值觀：通過曲邊梯形的面積，進一步感受極限的思想。二、教學重點與難點重點：駕馭過程步驟：分割、以直代曲、求和、靠近（取極限）難點：對過程中所包含的基本的微積分“以直代曲”的思想的理解三、教學過程：（一）．創(chuàng)設情景我們學過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學探討和實際生活中都有特別廣泛的應用。本節(jié)我們將學習定積分的基本概念以及定積分的簡潔應用，初步體會定積分的思想及其應用價值。一個概念：假如函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連綿不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．（不加說明，下面探討的都是連續(xù)函數(shù)）（二）．新課講授問題：如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計算這個曲邊梯形的面積？例1：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。思索：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)分？（2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉化為求“直邊圖形”面積的問題？xxx1x1xy1xyy分析：曲邊梯形與“直邊圖形”xxx1x1xy1xyy把區(qū)間分成很多個小區(qū)間，進而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限靠近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計算矩形面積和靠近的思想方法求出曲邊梯形的面積．解：（1）．分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，記第個區(qū)間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，明顯，（2）近似代替記，如圖所示，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變更很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代取”，則有①（3）求和由①，上圖中陰影部分的面積為====從而得到的近似值（4）取極限分別將區(qū)間等分8，16，20，…等份（如課本圖1.5-5），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數(shù)值上的變更趨勢：課本表1-13．求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割．在區(qū)間中隨意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，其次步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限。說明：1．歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和靠近2．最終所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值例2．求圍成圖形面積解：（1）．分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，記第個區(qū)間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，明顯，（2）近似代替∵，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變更很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代取”，則有①（3）求和由①，上圖中陰影部分的面積為====從而得到的近似值（4）取極限練習設S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。（四）、課時小結求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和靠近（“以直代曲”的思想）四：教學反思§汽車行駛的路程（新授課）一、教學目標學問與技能：了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關汽車行駛路程問題的過程的共同點；感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（靠近）過程與方法：通過與求曲邊梯形的面積進行類比，求汽車行駛的路程有關問題，再一次體會“以直代曲“的思想情感看法與價值觀：在體會微積分思想的過程中，培育唯物主義的觀點。二、教學重點與難點重點：駕馭過程步驟：分割、以不變代變、求和、靠近（取極限）難點：過程的理解三、教學過程：（一）．課題引入復習：1．連續(xù)函數(shù)的概念；2．求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；利用導數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時間的關系，求物體運動速度”的問題．反之，假如已知物體的速度與時間的關系，如何求其在肯定時間內經過的路程呢？（二）．新課講授問題：汽車以速度組勻速直線運動時，經過時間所行駛的路程為．假如汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時間內行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，實行“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題．把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變更很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最終讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值．（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限靠近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）．解：1．分割在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，記第個區(qū)間為，其長度為把汽車在時間段，，…，上行駛的路程分別記作：，，…，明顯，（2）近似代替當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變更很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變更很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代取”，則有①（3）求和由①，====從而得到的近似值（4）取極限當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有思索：結合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？結合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積．一般地，假如物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采納分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限靠近的思想，求出它在a≤≤b內所作的位移．例1．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功．分析：利用“以不變代變”的思想，采納分割、近似代替、求和、取極限的方法求解．解：將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為．1．分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，記第個區(qū)間為，其長度為把在分段，，…，上所作的功分別記作：，，…，（2）近似代替有條件知：（3）求和=從而得到的近似值（4）取極限所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：（四）、課堂小結：求汽車行駛的路程有關問題的過程．四：教學反思§定積分的概念（新授課）一：教學目標學問與技能：了解定積分的概念，能用定義法求簡潔的定積分。過程與方法：借助于幾何直觀定積分的基本思想，理解定積分的概念；情感看法與價值觀：通過對定積分的學習，培育辯證唯物主義觀點，提高理性思維實力。二：教學重點與難點重點：定積分的概念、定積分法求簡潔的定積分、定積分的幾何意義難點：定積分的概念、定積分的幾何意義三：教學過程：（一）．引入新課復習：1．回憶前面曲邊圖形面積，變速運動的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟：分割→以直代曲→求和→取極限（靠近2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點．（二）．新課講授1．定積分的概念一般地，設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：假如無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）稱為，而不是．（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功2．定積分的幾何意義假如在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。說明：一般狀況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號．分析：一般的，設被積函數(shù)，若在上可取負值?？疾旌褪讲环猎O于是和式即為陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）3．定積分的性質依據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1性質2（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質）性質3（定積分的線性性質）性質4（定積分對積分區(qū)間的可加性）性質5若，則推論1：，推論2：性質6設為在上的最大值、最小值，則性質7（中值定理）若，則至少有一，使.證：由性質6知，，依介值定理，必有，使，即。說明：①推廣：②推廣:③性質說明：性質4性質1性質4性質1（三）.典例剖析例1．計算定積分分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為。12y12yxo思索：若改為計算定積分呢？變更了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負值如何解決呢？（后面解決的問題）練習計算下列定積分1．解：2．解：例2．計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=eq\f(1,3)ABCDO【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟：1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習：計算由曲線和所圍成的圖形的面積.（四）：課堂小結定積分的概念、定義法求簡潔的定積分、定積分的幾何意義．（五）：布置作業(yè)：習題1.5A組3.4.5四：課后反思§1.6微積分基本定理（新授課）一：教學目標學問與技能：通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡潔的定積分過程與方法：通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法情感看法與價值觀：通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統(tǒng)一的辯證關系，培育學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維實力。二：教學重點與難點重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡潔的定積分。難點：了解微積分基本定理的含義三：教學過程：（一）、課前復習：定積分的概念及用定義計算（二）、新課講授我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較困難，所以不是求定積分的一般方法。我們必需尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函數(shù)表示為。另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達，即=而。對于一般函數(shù)，設，是否也有若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿意）的數(shù)值差來計算在上的定積分的方法。注：1：定理假如函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的隨意一個原函數(shù)，則證明：因為=與都是的原函數(shù)，故-=C（）其中C為某一常數(shù)。令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有此處并不要求學生理解證明的過程為了便利起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數(shù)的問題，是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋梁。它不僅揭示了導數(shù)和定積分之間的內在聯(lián)系，同時也供應計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。（三）、例題講解例1．計算下列定積分：（1）；（2）。解：（1）因為，所以。（2））因為，所以。練習：計算解：由于是的一個原函數(shù)，所以依據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有===例2．計算下列定積分：。由計算結果你能發(fā)覺什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)覺的結論。解：因為，所以，，.可以發(fā)覺，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0:(l）當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1.6一3(2）（2）當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；(3）當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處須要減速停車。設汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從起先剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車起先到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度=32公里/小時=米/秒8.88米/秒,剎車后