專題11 線性回歸直線與非線性回歸直線方程（解析版）

專題11線性回歸直線與非線性回歸直線方程【考點(diǎn)預(yù)測】1、兩個(gè)變量線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：將樣本中個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(i＝1,2，…，)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2、回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)回歸方程的推導(dǎo)過程：①假設(shè)已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù),,．②設(shè)所求回歸方程為，其中是待定參數(shù)．③由最小二乘法得其中，是回歸方程的斜率，是截距．3、當(dāng)經(jīng)驗(yàn)回歸方程并非形如(）時(shí)，稱之為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下：曲線方程變換公式變換后的線性關(guān)系式建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟（1）確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；（2）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；（3）通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；（4）按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（5）消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（6）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．【典型例題】例1．（2023·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┮阎獢?shù)據(jù)的三對觀測值為，用“最小二乘法”判斷下列直線的擬合程度，則效果最好的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)擬合直線為時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值的差的平方和，當(dāng)擬合直線為時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值的差的平方和，當(dāng)擬合直線為時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值的差的平方和，當(dāng)擬合直線為時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值的差的平方和，故最小，即效果最好的是.故選：A.例2．（2023·廣西欽州·高二欽州一中校考期中）下對于兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，則下列說法正確的是（

）①由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)中心②用來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好③殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好④用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱時(shí)，越接近于，相關(guān)性越弱；A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③【答案】D【解析】由題意得：樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，故①正確；越大擬合效果越好，故②不正確；殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故③正確；用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱時(shí)，越接近于，相關(guān)性越強(qiáng)，故④不正確．故選：D例3．（2023·福建三明·高二校聯(lián)考期中）下列命題中，錯(cuò)誤的命題是（

）A．在一組樣本數(shù)據(jù)（不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為B．設(shè)隨機(jī)變量，，則C．在的展開式中，的系數(shù)是35D．殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適【答案】A【解析】在一組樣本數(shù)據(jù)（不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)為函數(shù)關(guān)系，相關(guān)性非常強(qiáng)，為，又因?yàn)椋瑸檎嚓P(guān)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，所以，因?yàn)樗?，所以，故B正確；在的展開式中，的系數(shù)，故C正確；殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，故D正確.故選：A.例4．（2023·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖如下(1)請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個(gè)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測第196天這株幼苗的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．附：，

參考數(shù)據(jù)：1402856283【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；（2）令，則構(gòu)造新的成對數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計(jì)算，，．通過上表計(jì)算可得：因此∵回歸直線過點(diǎn)，∴，故y關(guān)于的回歸直線方程為從而可得：y關(guān)于x的回歸方程為令，則，所以預(yù)測第196天幼苗的高度大約為29cm．例5．（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈．某快遞網(wǎng)點(diǎn)需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)即攬件量（單位：千件）之間的關(guān)系，對該網(wǎng)點(diǎn)近天的每日攬件量（單位：千件）與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）（）的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．表中，．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)已知該網(wǎng)點(diǎn)每天的攬件量（單位：千件）與單件快遞的平均價(jià)格（單位：元）之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價(jià)格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程解決以下問題：①預(yù)測該網(wǎng)點(diǎn)某天攬件量為千件時(shí)可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價(jià)格為何值時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【解析】（1）由散點(diǎn)圖可知：更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型；令，則，，關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：.（2）設(shè)收發(fā)千件快遞獲利千元，則；①當(dāng)時(shí)，，即該網(wǎng)點(diǎn)某天攬收件快遞可獲得的總利潤約為元．②，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；單件快遞的平均價(jià)格元時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報(bào)值最大.例6．（2023·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，，其中，該市政府對甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1400元，求p的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【解析】（1））由題，，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)閥與x之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.，，故y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）①將代入，得，故估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）.②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，，，.所以，所以，由，得，又，所以，故p的取值范圍為.例7．（2023·西藏拉薩·高一校聯(lián)考期末）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示．(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式．參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，，，所以相關(guān)系數(shù)．因?yàn)?，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，所以回歸方程為．當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為550千克例8．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn)．某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入x（億元）12345產(chǎn)品收益y（億元）3791011(1)計(jì)算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益．參考數(shù)據(jù)：，，．附：相關(guān)系數(shù)公式：，回歸直線方程的斜率，截距．【解析】（1）∵，，，∴，∴該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產(chǎn)品收益y具有較高的線性相關(guān)程度．（2）∵，，∴．∴y關(guān)于x的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程可得，，∴預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益為40.3（億元）．例9．（2023·黑龍江大慶·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)校考期末）下表所示是我國2015年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）.年份2015201620172018201920202021處理量（億噸）1.81.972.12.262.42.552.69(1)由數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量.附：，，，.相關(guān)系數(shù)；回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)和附注中數(shù)據(jù)可得：，，所以.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，說明y與t的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.（2）由（1）得，.所以y關(guān)于t的回歸方程為：.將2023代入回歸方程得：.所以預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量將約3億噸.例10．（2023·江西吉安·高二?？计谥校┠晨萍脊狙邪l(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，對公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)（千元）和銷售量（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：月份123456銷售單價(jià)銷售量（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過千件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？參考公式：回歸直線方程，其中.參考數(shù)據(jù)：，.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，得，于是關(guān)于的回歸直線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，故可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·福建福州·高二福州三中校考期中）下列說法正確的是（

）A．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法B．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)為0.95的模型比相關(guān)指數(shù)為0.78的模型擬合的效果差【答案】C【解析】對于A，統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法，所以A錯(cuò)；對于B，線性回歸方程對應(yīng)的直線可能不過任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對于C，殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，所以C正確；對于D，回歸分析中，相關(guān)指數(shù)為的模型比相關(guān)指數(shù)為的模型擬合的效果好，所以D錯(cuò)誤.故選：C2．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期中）在對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．則下列操作順序正確的是（

）A．①②④③ B．③②④① C．②③①④ D．②④③①【答案】D【解析】根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，然后繪制散點(diǎn)圖，再求回歸方程，最后對所求的回歸方程作出解釋．故選：D3．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：）的關(guān)系，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點(diǎn)圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢.A中，是直線型，均勻增長，不符合要求；B中，是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長也較快，不符合要求；C中，是指數(shù)型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；D中，是對數(shù)型，增長緩慢，符合要求.故對數(shù)型最適宜該回歸模型.故選：D.4．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰谝唤M樣本數(shù)據(jù)，，，的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（，2，，7）都在曲線附近波動(dòng)，經(jīng)計(jì)算，，，則實(shí)數(shù)（

）A．0.5 B．0.5 C．1 D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，解?故選：A.5．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）用模型擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，令，將其變換后得到回歸直線方程，則（

）A．e B． C． D．2【答案】D【解析】對兩邊同時(shí)取對數(shù)，則，令,則，所以，所以.故選：D.6．（2023·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）下列說法：①樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是；②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3；③根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中，，，，則；④若變量和滿足關(guān)系且變量與正相關(guān)，則與也正相關(guān)．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是，故①錯(cuò)誤；對于②，由，兩邊取對數(shù)，可得，令，可得，，，，，故②正確；對于③，回歸直線方程中，，，，則，故③正確；對于④，若變量和滿足關(guān)系，與負(fù)相關(guān)，又變量與正相關(guān)，則與負(fù)相關(guān)，故④錯(cuò)誤；故選：B二、多選題7．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┫铝嘘P(guān)于回歸分析的說法中，正確的是（

）A．在回歸分析中，散點(diǎn)圖內(nèi)的散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，我們稱兩個(gè)變量呈正相關(guān)B．在回歸分析中，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍綄?，說明模型的擬合精度越高C．在回歸分析中，樣本數(shù)據(jù)中一定有樣本點(diǎn)D．決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好【答案】AD【解析】由散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近可知直線斜率為正，故兩個(gè)變量呈正相關(guān)，A正確；殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，擬合精度越高，故B錯(cuò)誤；為樣本中心點(diǎn)，不一定在樣本數(shù)據(jù)中，故C錯(cuò)誤；決定系數(shù)越大，擬合效果越好，故D正確.故選：AD8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的命題有（

）A．在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，表示擬合效果越好B．線性經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過樣本點(diǎn)，，…，中的一個(gè)C．若表示變量與之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量與之間的線性相關(guān)系數(shù)，且，，則與之間的相關(guān)性強(qiáng)于與之間的相關(guān)性D．用模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則，【答案】AD【解析】對于A，由殘差圖的特征可知，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合的精度越高，所以A正確.對于B，線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心，不一定過樣本中的一個(gè)點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤.對于C，相關(guān)系數(shù)越大，說明線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，則越弱，，所以與之間的相關(guān)性更強(qiáng)，所以C錯(cuò)誤.對于D，對模型兩邊同時(shí)取對數(shù)，則，與線性方程比較，可知，，故D正確故選:AD.9．（2023·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期末）某同學(xué)將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如下，得到其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為．經(jīng)過分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故，，去掉“離群點(diǎn)”后，相關(guān)性更強(qiáng)，所以，故，故A正確，B不正確．根據(jù)圖象當(dāng)去掉F點(diǎn)后，直線的基本在A,B,C,D,E附近的那條直線上，直線的傾斜程度會(huì)略向軸偏向，故斜率會(huì)變小，因此可判斷，故C正確,D錯(cuò)誤.故選：AC．10．（2023·福建福州·高三?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）A．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越小，說明回歸效果越好B．已知，若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測值為4.1，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)C．已知由一組樣本數(shù)據(jù)（，2，，n）得到的回歸直線方程為，且，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有D．若隨機(jī)變量，則不論取何值，為定值【答案】BD【解析】對于A選項(xiàng)：在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，說明回歸效果越好，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)：，若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測值為4.1，則有的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)，故B正確；對于C選項(xiàng)：根據(jù)回歸直線方程為，由，得到是一個(gè)估計(jì)值，因此這組樣本數(shù)據(jù)不一定有，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)：若隨機(jī)變量，為對稱軸，則不論取何值，為定值，故D正確.故選：BD11．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）將兩個(gè)變量的對樣本數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中表示為散點(diǎn)圖，根據(jù)滿足一元線性回歸模型及最小二乘法，求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，設(shè)為回歸直線上的點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．越小，說明模型的擬合效果越好B．利用最小二乘法求出的線性回歸直線一定經(jīng)過散點(diǎn)圖中的某些點(diǎn)C．相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，解釋變量的取值不能距離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)，求得的預(yù)報(bào)值不是響應(yīng)變量的精確值【答案】CD【解析】A.當(dāng)所有時(shí)，，當(dāng)所有時(shí)，，顯然后者擬合效果好，故錯(cuò)誤；B.利用最小二乘法求出的線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，不一定經(jīng)過散點(diǎn)圖中的某些點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C.相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故正確；D.樣本取值會(huì)影響回歸方程的運(yùn)用范圍，求得的預(yù)報(bào)值不是響應(yīng)變量的精確值，故正確；故選：CD12．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在實(shí)際應(yīng)用中，用回歸方程中的估計(jì)回歸模型中的，下列說法正確的有（

）A．隨機(jī)誤差的方差越小，用預(yù)報(bào)真實(shí)值的精度越低B．越接近于1，線性回歸模型的擬合效果越好C．殘差平方和越大，線性回歸模型的擬合效果越差D．對于個(gè)樣本點(diǎn)，，…，，線性回歸直線過樣本點(diǎn)的中心【答案】BCD【解析】隨機(jī)誤差的方差越小，用預(yù)報(bào)真實(shí)值的精度越高，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；越接近于1，線性回歸模型的擬合效果越好，所以B選項(xiàng)正確；殘差平方和越大，線性回歸模型的擬合效果越差，所以C選項(xiàng)正確；對于個(gè)樣本點(diǎn)，，…，，線性回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD13．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）2021年5月18日，《佛山市第七次全國人口普查公報(bào)》發(fā)布．公報(bào)顯示，佛山市常住人口為9498863人．為了進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)特征，某數(shù)學(xué)興趣小組先將近五次人口普查數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖（橫坐標(biāo)為人口普查的序號(hào)，第三次普查記為1，……，第七次普查記為5，縱坐標(biāo)為當(dāng)次人口普查佛山市人口數(shù)），再利用不同的函數(shù)模型作出回歸分析，如下圖，以下說法正確的是（

）A．佛山市人口數(shù)與普查序號(hào)呈正相關(guān)關(guān)系B．散點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出很弱的線性相關(guān)特征C．回歸方程2的擬合效果更好D．應(yīng)用回歸方程1可以預(yù)測第八次人口普查時(shí)佛山市人口會(huì)超過1400萬【答案】AC【解析】對于A：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布從左下方至右上方，故呈正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于B：利用模型1，樣本點(diǎn)基本分布在直線的兩側(cè)，故具有較強(qiáng)的線性相關(guān)特征，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，所以回歸方程2的擬合效果更好，故C正確；對于D：利用模型1，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：AC14．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┫铝姓f法正確的有（

）A．函數(shù)的最小值為2．B．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間大致是．C．若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則事件A與事件B互為對立事件D．以擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則【答案】CD【解析】對于A,由于，由不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取得到，但是無解，故等號(hào)取不到，故函數(shù)的最小值不是2，故A錯(cuò)誤，對于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，對于C，A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則事件A與事件B互為對立事件，故C正確，對于D，，所以，故D正確，故選：CD.15．（2023·福建三明·高三校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）A．若事件與事件互斥，則事件與事件對立B．若隨機(jī)變量，則方差C．若隨機(jī)變量，，則D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和【答案】BCD【解析】由對立事件和互斥事件定義可得，對立事件是互斥的，互斥事件不一定對立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布可得，又由公式可得，所以B選項(xiàng)正確；正態(tài)分布，對稱軸，，得，又因?yàn)榕c關(guān)于對稱，所以，所以C選項(xiàng)正確；將兩邊同時(shí)取得，，與對應(yīng)，則，即，，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題16．（2023·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)校考期中）下列命題中結(jié)論正確的是________________.（1）對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則；（2）對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和；（3）某人投籃一次命中的概率為，某次練習(xí)他進(jìn)行了20次投籃，每次投籃命中與否沒有影響，設(shè)本次練習(xí)他投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量X，則當(dāng)取得最大值時(shí)，.（4）已知，則【答案】（2）（4）【解析】對于（1），對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則，故（1）不正確；對于（2），由及得，所以，，故（2）正確；對于（3），依題意可知，，，假設(shè)最大，則，得，得，得，得，得，因?yàn)?，所以或，所以?dāng)取得最大值時(shí)，或，故（3）不正確；對于（4），由，兩邊對求導(dǎo)得，令，得，故（4）正確.故答案為：（2）（4）.17．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）若某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程（單位：億元），其中，，．若今年該地區(qū)財(cái)政收入為10億元，則年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過________億元．【答案】10【解析】由題意得財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程為，其中，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以今年該地區(qū)財(cái)政收入為10億元，則年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過10億元，故答案為：10四、解答題18．（2023·河北邯鄲·高二?？计谥校┮阎P(guān)于的一組有序數(shù)對分別為，，，，，，，對應(yīng)的散點(diǎn)圖如下．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷（，）和（，）中哪個(gè)模型的擬合效果更好；（2）請用你在（1）中選出的模型對變量，的關(guān)系進(jìn)行擬合，求出關(guān)于的回歸方程．參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：在線性回歸方程中，，．【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，用（，）的擬合效果更好．（2）根據(jù)進(jìn)行擬合，兩邊同時(shí)取對數(shù)得，故，則．因?yàn)?，，，，所以．把代入，得，所以，，則，即關(guān)于的回歸方程為．19．（2023·新疆哈密·高二?？计谀┕懈叨?shù)學(xué)備課組對學(xué)生的記憶力和判斷力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)據(jù)如下表所示：468102356（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的學(xué)生的判斷力.（參考公式：，）【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，（2）當(dāng)時(shí)，，所以記憶力為9的學(xué)生的判斷力約為5.420．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）下表是某公司從2014年至2020年某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值（單位：千元）年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)x1234567該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用y59.364.168.874.082.190.099.1以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)；若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)．（1）判斷與，哪一個(gè)更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．【解析】（1）更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用的近似值y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸方程．因?yàn)樵酱?，說明模型的擬合效果越好．（2）由表格中數(shù)據(jù)有，，則．21．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學(xué)校?？计谥校閷?shí)施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請來專家進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下.（千克）24568（千克）300400400400500（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少千克?附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，，，所以相關(guān)系數(shù)．因?yàn)椋钥捎镁€性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），，所以回歸方程為．當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時(shí)，西紅柿由產(chǎn)量的增加量約為700千克．22．（2023·福建南平·高二統(tǒng)考期末）某服裝企業(yè)采用服裝個(gè)性化設(shè)計(jì)為客戶提供服務(wù)，即由客戶提供身材的基本數(shù)據(jù)用于個(gè)人服裝設(shè)計(jì)．該企業(yè)為了設(shè)計(jì)所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機(jī)地抽取了10位男子的身高和臂長的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示：身高164165168172173176178181182191臂長160164161170175181170182180187（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求男子的身高預(yù)報(bào)臂長的線性回歸方程，并預(yù)報(bào)身高為170cm的男子的臂長（男子臂長計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，兩個(gè)變量、的相關(guān)系數(shù)r的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強(qiáng)弱．一般地，如果|r|[0.75，1]，那么相關(guān)性很強(qiáng)；如果|r|[0.30，0.75)，那么相關(guān)性一般；如果|r|[0，0.30)，那么沒有相關(guān)性．求出r的值，并判斷變量x?y的相關(guān)性強(qiáng)弱（結(jié)果精確到0.01）．附：線性回歸方程其中，，，，，，，【解析】（1），由，得所以所求線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，所以身高為170cm的男性臂長約為（2），因?yàn)閞[0.75，1]，所以變量間的相關(guān)性很強(qiáng)．23．（2023·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之一.為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀(jì)90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人口盡快脫貧，黨中央作出推進(jìn)東西部對口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對口幫扶寧夏，在福建人民的幫助下，原西海固人民實(shí)現(xiàn)了快速脫貧，下表是對2016年以來近5年某移民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計(jì)：年份20162017201820192020年份代碼12345人均年收入（千元）1.32.85.78.913.8現(xiàn)要建立關(guān)于的回歸方程，有兩個(gè)不同回歸模型可以選擇，模型一：；模型二：，即使畫出關(guān)于的散點(diǎn)圖，也無法確定哪個(gè)模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型二的方程為.（1）請你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考公式求出模型一的方程（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）請你用最小二乘法原理，比較哪個(gè)模型擬合效果更好，已經(jīng)計(jì)算出模型二的參考數(shù)據(jù)為.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.【解析】（1）根據(jù)題給數(shù)據(jù)計(jì)算得：，根據(jù)參考公式有：所以模型一的回歸方程為：（2）由模型一的回歸方程可得：.因?yàn)樗阅Ｐ投臄M合效果更好.24．（2023·福建泉州·高二晉江市第一中學(xué)?？计谥校┠称嚬緮M對“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：x2346810132122232425y1222314250565868.56867.56668當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為16億元時(shí)的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)）（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入16億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小．（附：用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)公式）【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，有，即，可見模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù).說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．所以當(dāng)億元時(shí)，科技改造直接收益的預(yù)測值為：（億元）．由已知可得：，，當(dāng)億元時(shí)，y與x滿足的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，當(dāng)億元時(shí)，科技改造直接收益的預(yù)測值，當(dāng)億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測值為億元億元，科技改造投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．25．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┠成虉鰧ι唐方斓匿N售情況進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，日銷售量(件)與時(shí)間(天)之間具有線性相關(guān)關(guān)系.時(shí)間()日銷售量()（1）請根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法原理求出關(guān)于的線性回歸方程.（2）已知商品近天內(nèi)的日銷售價(jià)格(元)與時(shí)間(天)的關(guān)系為.根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測為何值時(shí)，商品的日銷售額最大.(參考公式，)【解析】（1）根據(jù)題意，，，所以回歸系數(shù)為：，，故所求的線性回歸方程為；

（2）由題意日銷售額為；

當(dāng)，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，(元)；

當(dāng)，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，(元)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，(元)，所以估計(jì)天時(shí)，商品的日銷售額最大，為元.26．（2023·山西·高二統(tǒng)考期中）某生產(chǎn)制造企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近10年的年利潤（千萬元）與每年投入的某種材料費(fèi)用（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，作出如下散點(diǎn)圖：選取函數(shù)作為每年該材料費(fèi)用和年利潤的回歸模型.若令，則，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：31.5151549.5(1)求出與的回歸方程；(2)計(jì)劃明年年利潤額突破1億，則該種材料應(yīng)至少投入多少費(fèi)用？（結(jié)果保留到萬元）參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）因?yàn)橛杀碇袛?shù)據(jù)得，所以，所以，所以年該材料費(fèi)用和年利潤額的回歸方程為；（2）令，得，所以（十萬），故下一年應(yīng)至少投入498萬元該材料費(fèi)用.27．（2023·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校└鶕?jù)中國海洋生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)，從2017年到2021年全國直排海污染物中各年份的氨氮總量（單位：千噸）與年份的散點(diǎn)圖如下：記年份代碼為，，對數(shù)據(jù)處理后得：60.51.52107617(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測2022年全國直排海污染物中的氨氮總量（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)）.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢，可知模型②適宜作為關(guān)于的回歸方程．（2），.故關(guān)于的回歸方程為，即關(guān)于的回歸方程為，2022年對應(yīng)的年份代碼為，，故預(yù)計(jì)2022年全國直排海污染物中的氨氮總量為3噸．28．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長.已知某地區(qū)2014年底到2021年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份（年）20142015201620172018201920202021年份代碼x12345678保有量y/千輛1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70參考數(shù)據(jù)：，，其中(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（如圖），請判斷與哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：(2)假設(shè)每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同.若2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預(yù)計(jì)到2026年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.試估計(jì)到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，v1），），…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；【解析】（1）根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是，令，則因?yàn)?，?/p>