專題23 投影與視圖（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：幾何體的三視圖【高頻考點(diǎn)精講】1、三視圖（1）從正面得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。（從前往后看）（2）從水平面得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。（從上往下看）（3）從側(cè)面得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖。（從左往右看）2、三視圖的畫法（1）主視圖與俯視圖的長(zhǎng)相等；（2）主視圖與左視圖的高相等；（3）俯視圖與左視圖的高相等。3、正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐的三視圖（正視、側(cè)視、俯視）知識(shí)點(diǎn)02：投影與視角【高頻考點(diǎn)精講】1、平行投影（1）用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，例如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子。2、中心投影（1）由同一點(diǎn)發(fā)出光線形成的投影叫做中心投影，例如物體在燈光的照射下形成的影子。（2）中心投影光線特點(diǎn)：物體與投影面平行時(shí)，物體與投影是位似變換的關(guān)系。3、視點(diǎn)、視角和盲區(qū)（1）觀察物體時(shí)，從物體兩邊（上下或左右）引出的光線與人眼的夾角就是視角。（3）盲區(qū)：視線到達(dá)不了的區(qū)域。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.58一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?河南）北宋時(shí)期的汝官窯天藍(lán)釉刻花鵝頸瓶是河南博物院九大鎮(zhèn)院之寶之一，具有極高的歷史價(jià)值、文化價(jià)值．如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同 C．左視圖與俯視圖相同 D．三種視圖都相同解：這個(gè)幾何體的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同．故選：A．2．（2分）（2023?棗莊）榫卯是古代中國(guó)建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是我國(guó)工藝文化精神的傳承，凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯．如圖是某個(gè)部件“卯”的實(shí)物圖，它的主視圖是（）A． B． C． D．解：如圖所示的幾何體的主視圖如下：．故選：C．3．（2分）（2023?遼寧）如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．解：從正面看，圖形的下面是3個(gè)正方形，上面1個(gè)正方形，．故選：C．4．（2分）（2023?日照）如圖所示的幾何體的俯視圖可能是（）A． B． C． D．解：從上面看得該幾何體的俯視圖是：．故選：C．5．（2分）（2023?瀘州）一個(gè)立體圖形的三視圖如圖所示，則該立體圖形是（）A．圓柱 B．圓錐 C．長(zhǎng)方體 D．三棱柱解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是三邊形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是三棱柱．故選：D．6．（2分）（2023?齊齊哈爾）如圖，若幾何體是由六個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組合而成的，則該幾何體左視圖的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：從左邊看，共有2層，底層有3個(gè)正方形，上層中間有1個(gè)正方形，共4個(gè)正方形，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1，所以面積為4，故選：C．7．（2分）（2023?襄陽(yáng)）先賢孔子曾說過“鼓之舞之”，這是“鼓舞”一詞最早的起源，如圖是喜慶集會(huì)時(shí)擊鼓瞬間的情景及鼓的立體圖形，該立體圖形的主視圖是（）A． B． C． D．解：這個(gè)立體圖形的主視圖為：故選：B．8．（2分）（2023?湖北）如圖是一個(gè)立體圖形的三視圖，該立體圖形是（）A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐解：根據(jù)三視圖的知識(shí)，正視圖和左視圖都為一個(gè)三角形，而俯視圖為一個(gè)圓，故可得出這個(gè)圖形為一個(gè)圓錐．故選：D．9．（2分）（2023?海南）如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體擺成的幾何體，則這個(gè)幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．解：俯視圖如選項(xiàng)C所示，故選：C．10．（2分）（2023?廣州）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（）A． B． C． D．解：由主視圖和左視圖可以得到該幾何體是圓柱和小圓錐的復(fù)合體，由俯視圖可以得到小圓錐的底面和圓柱的底面完全重合．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021?云南）如圖圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為2和3，俯視圖是直徑等于2的圓，則這個(gè)幾何體的體積為3π．解：由三視圖知幾何體為圓柱，且底面圓的半徑是1，高是3，∴這個(gè)幾何體的體積為：π×12×3＝3π．故答案為：3π．12．（2分）（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)光源位于P（2，2）處，木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為（0，1），（3，1）．則木桿AB在x軸上的影長(zhǎng)CD為6．解：過P作PE⊥x軸于E，交AB于M，如圖，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PM＝1，PE＝2，AB＝3，∵AB∥CD，∴∴∴CD＝6，故答案為：6．13．（2分）（2023?新吳區(qū)二模）某幾何體的三視圖如圖所示，已知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為2和4，俯視圖是直徑等于2的圓，則這個(gè)幾何體的體積為4π．解：由三視圖知幾何體為圓柱，且底面圓的半徑是1，高是4，∴這個(gè)幾何體的體積為：π×12×4＝4π．故答案為：4π．14．（2分）（2023?齊河縣模擬）一個(gè)圓錐的主視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算這個(gè)圓錐的側(cè)面積是15π．解：由勾股定理可得：底面圓的半徑＝＝3，則底面周長(zhǎng)＝6π，由圖得，母線長(zhǎng)＝5，側(cè)面面積＝×6π×5＝15π．故選：15π．15．（2分）（2023?泰安模擬）如圖是某圓錐的主視圖和左視圖，則該圓錐的表面積是36π．解：由題可得，圓錐的底面直徑為8，高為3，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為8π，圓錐的母線長(zhǎng)為＝5，∴圓錐的側(cè)面積＝×8π×5＝20π，底面積為42π＝16π，∴表面積為20π+16π＝36π故答案為：36π．16．（2分）（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖所給各邊長(zhǎng)度算出該幾何體的體積是24πcm3．（結(jié)果保留π）解：該幾何體的主視圖以及左視圖都是相同的矩形，俯視圖也為一個(gè)矩形，可確定這個(gè)幾何體是一個(gè)圓柱體，依題意可求出該幾何體的體積為：π×22×6＝24π（cm3）．故答案為：24π．17．（2分）（2022?青海）由若干個(gè)相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示，那么構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是5．解：由三視圖可得，構(gòu)成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是：1+2+1+1＝5．如圖：故答案為：5．18．（2分）（2023?祁陽(yáng)縣一模）已知圓錐的主視圖是底邊長(zhǎng)為12cm，底邊上的高為8cm的等腰三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是60πcm2．（結(jié)果保留π）解：依題意底面周長(zhǎng)是12πcm，底面積是：π×（12÷2）2＝36πcm2．母線長(zhǎng)是：，則圓錐的側(cè)面積是：π×（12÷2）×10＝60πcm2．故答案為：60π．19．（2分）（2023?巧家縣一模）如圖，這是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的等腰三角形．若主視圖的腰長(zhǎng)5cm，俯視圖是直徑為6cm的圓，則這個(gè)幾何體的高為4cm．解：由這個(gè)幾何體的三視圖的形狀可知，該幾何體是圓錐體，如圖，由題意可知，AB＝6cm，SA＝SB＝5cm，∴OA＝3cm，在Rt△SOA中，SO＝＝＝4（cm），故答案為：4．20．（2分）（2023?通遼）某款“不倒翁”（如圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B，若該圓半徑是10cm，∠P＝60°，則主視圖的面積為（100+）cm2．解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于點(diǎn)O，如圖，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，且△PAB為等邊三角形，∴優(yōu)弧AMB對(duì)應(yīng)的圓心角為360°﹣120°＝240°，AB＝OA＝10（cm），∴扇形AMB的面積是：＝（cm2），S△PAB＝×（10）2＝75（cm2），S△AOB＝×102＝25（cm2），∴主視圖的面積＝+75+25＝（100+）（cm2），故答案為：（100+）．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）李明在參觀某工廠車床工作間時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)工件，通過觀察并畫出了此工件的三視圖，借助直尺測(cè)量了部分長(zhǎng)度．如圖所示，該工件的體積是多少？解：根據(jù)三視圖可知該幾何體是兩個(gè)圓柱體疊加在一起，底面直徑分別是2cm和4cm，高分別是4cm和1cm，∴體積為：4π×22+π×12×1＝17π（cm3）．答：該工件的體積是17πcm3．22．（6分）（2023?蕭縣一模）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形．（1）這個(gè)幾何體的名稱為正三棱柱；（2）求該幾何體的左視圖中a的值．解：（1）這個(gè)幾何體的名稱為正三棱柱．故答案為：正三棱柱；（2）如圖，由圖形中所標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)可知，在俯視圖中，AB＝6，△ABC是正三角形，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，∴AM＝BM＝AB＝3，∴CM＝AM＝3，故左視圖中的a的值為3．23．（8分）（2023?東洲區(qū)模擬）（1）計(jì)算：．（2）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）．①這個(gè)幾何體的名稱是圓錐；②根據(jù)圖上的數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積（結(jié)果保留π）．解：（1）原式＝＝＝﹣4；（2）①圓錐．②由三視圖知，圓錐底面面積為：π×22＝4πcm2，圓錐底面周長(zhǎng)為：2×π×2＝4πcm，圓錐側(cè)面展開扇形面積為：＝16π（cm2），幾何體的表面積為：4π+16π＝20πcm2．24．（8分）（2023?晉州市模擬）學(xué)校食堂廚房的桌子上整齊地?cái)[放著若干個(gè)相同規(guī)格的菜碟，每一摞菜碟的高度與菜碟的個(gè)數(shù)的關(guān)系如表所示．菜碟的個(gè)數(shù)菜碟的高度（單位：cm）1323+1.833+3.643+5.4……（1）把x個(gè)菜碟放成一摞時(shí)，請(qǐng)直接寫出這一摞菜碟的高度（1.8x+1.2）cm（用含x的式子表示）；（2）如圖所示，是幾摞菜碟的三視圖，廚師想把它們整齊疊成一摞，求疊成一摞后的高度是多少．解：（1）由題意得，這一摞菜碟的高度為：3+1.8（x﹣1）＝（1.8x+1.2）cm；故答案為：（1.8x+1.2）cm；（2）由三視圖可知，共有7+4+3＝14個(gè)菜碟，所以疊成一摞的高度為1.8×14+1.2＝26.4（cm）．25．（8分）（2023?蒲城縣二模）夏天到了，姍姍的媽媽買了一個(gè)防蚊罩以保護(hù)飯菜（如圖1），將罩子開口朝下放在水平桌面上，其截面為拋物線形．姍姍測(cè)得罩子的直徑OA為40厘米，罩子內(nèi)壁的最大高度為20厘米，她以罩子左邊緣點(diǎn)O為原點(diǎn)、OA所在的水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）某天，姍姍將一盤菜沿水平線OA（圓形盤子直徑與OA重合）放置在罩子下，盤子左側(cè)邊緣離O點(diǎn)的水平距離為4厘米，她想在盤子右側(cè)緊挨盤子沿水平線OA再放置高度為6厘米的一碗稀飯（碗的俯視圖也是圓形，其直徑與OA重合），已知盤子和碗的直徑分別為20厘米、12厘米，要使罩子緊貼水平桌面，請(qǐng)通過計(jì)算說明：她這樣放，罩子能否接觸到碗？解：（1）由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（40，0），點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（20，20），設(shè)拋物線的關(guān)系式為y＝ax2+bx+c，則，解得，所以拋物線的關(guān)系式為y＝﹣0.05x2+2x；（2）當(dāng)x＝4+20＝24時(shí)，即y＝﹣0.05×24×24+2×24＝19.2＞6，當(dāng)x＝24+12＝36時(shí)，即y＝﹣0.05×36×36+2×36＝7.2＞6，所以她這樣放，罩子不會(huì)接觸到碗．26．（8分）（2023?鹽都區(qū)三模）鹽城市某初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)小組想探究：大樓影長(zhǎng)對(duì)相鄰大樓的影響．分成了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)小組，在某天下午3時(shí)，同時(shí)進(jìn)行了兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)一：測(cè)量高為1.5m竹竿的影長(zhǎng)．通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)影長(zhǎng)為1m．實(shí)驗(yàn)二：探究長(zhǎng)方體的影子．如圖1是該長(zhǎng)方體在當(dāng)天下午3時(shí)陽(yáng)光下投影，圖2是圖1中長(zhǎng)方體的俯視圖．（1）該長(zhǎng)方體的高AB＝39cm，寬BE＝22cm．①此時(shí)AB的影長(zhǎng)BC為26cm；②此時(shí)測(cè)得CE＝40cm，求tan∠BCD；（2）某小區(qū)預(yù)規(guī)劃兩棟一樣的樓房甲、乙，朝向與“實(shí)驗(yàn)二”中長(zhǎng)方體一致，俯視圖如圖3，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，若樓高42米，請(qǐng)通過計(jì)算說明實(shí)驗(yàn)當(dāng)天下午3時(shí)甲樓的影子是否落在乙樓的墻上．解：（1）①∵AB＝39cm，測(cè)量高為1.5m竹竿的影長(zhǎng)．通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)影長(zhǎng)為1m．AB的影長(zhǎng)是BC，∴＝，即＝，解得BC＝26cm，故答案為：26；②延長(zhǎng)EB交CD于點(diǎn)H，設(shè)BH＝x，則有：在Rt△EHC中，HC2＝402﹣（22+x）2，在Rt△BHC中，HC2＝262﹣x2，則有：402﹣（22+x）2＝262﹣x2，解得：x＝10，即BH＝10，∴HC＝＝24，∴tan∠BCD＝＝．（2）如圖所示，過點(diǎn)G作GM⊥BE于點(diǎn)M，由題意得：＝，∴EG＝28，Rt△EGM中，tan∠EGM＝tan∠BCH＝＝，∴設(shè)EM＝5x，GM＝12x，∴GE＝＝＝13x，∴cos∠EGM＝，sin∠EGM＝，∴MG＝28×＝，EM＝×＝．∵＞24，＜15，∴甲樓的影子落在乙樓的墻上．27．（8分）（2023?婺城區(qū)一模）如圖是用10個(gè)完全相同的小立方體搭成的幾何體．（1）已知該幾何體的主視圖如圖所示，請(qǐng)?jiān)诳瞻椎姆礁裰挟嫵鏊淖笠晥D和俯視圖．（2）若保持主視圖和俯視圖不變，最多還可以再搭3個(gè)小立方體．解：（1）如圖