第29講 與圓有關的證明與綜合題（原卷版）

第29講【技巧點撥】一、圓的有關概念及性質1．圓的有關概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧；三角形的外接圓、三角形的內切圓、三角形的外心、三角形的內心、圓心角、圓周角．2．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個點確定一個圓．4．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。c詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時，應限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．二、與圓有關的位置關系1．點和圓的位置關系設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；點P在圓內d＜r．要點詮釋：圓的確定：①過一點的圓有無數個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數個，如圖所示．③經過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關系（1）切線的判定切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．3．圓和圓的位置關系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內切、內含的定義．(2)請看下表：要點詮釋：①相切包括內切和外切，相離包括外離和內含．其中相切和相交是重點．②同心圓是內含的特殊情況．③圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“R-r”時，要特別注意，R＞r．三、正多邊形和圓1、正多邊形的有關概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內切圓的半徑.）(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.2、正多邊形與圓的關系：(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形.(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.（3）把圓分成n(n≥3)等分，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.3、正多邊形性質：

(1)任何正多邊形都有一個外接圓.

(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當邊數是偶數時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.要點詮釋：正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數；所以正n邊形的中心角等于它的外角.（2）邊數相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】1．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是圓O上的三點，AB＝AC，M、N分別是AB、AC的中點，E、F分別是OM、ON上的點．（1）求證：∠AOM＝∠AON；（2）如果AE∥ON，AF∥OM，求證：OE?OM＝AO2．2．（2022?黃浦區(qū)校級二模）如圖所示為一個圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥DC，支點A與B相距8m，罐底最低點到地面CD距離為1m．設油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D＝56°，求：U型槽的底部CD的長．（參考數據：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，結果保留整數）3．（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知在半圓O中，AB是直徑，CD是弦，點E、F在直徑AB上，且四邊形CDFE是直角梯形，∠C＝∠D＝90°，AB＝34，CD＝30．求梯形CDFE的面積．4．（2022?虹口區(qū)二模）已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，AB＝AC，點M、N分別在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，聯結OM、ON．（1）求證：OM＝ON；（2）當∠BAC為銳角時，如果AO2＝AM?AC，求證：四邊形AMON為等腰梯形．5．（2022?奉賢區(qū)二模）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿AB的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿AB的中點，（即當支架水平放置時直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過滑動A、B可以調節(jié)CD的高度，當AB經過圓心O時，它的寬度達到最大值10cm，在支架水平放置的狀態(tài)下：（1）當滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調整到6厘米時，求此時支撐桿CD的高度．（2）如圖3，當某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（AE＝AB），求該手機的寬度．6．（2022?楊浦區(qū)二模）已知在扇形AOB中，點C、D是上的兩點，且．（1）如圖1，當OD⊥OA時，求弦CD的長；（2）如圖2，聯結AD，交半徑OC于點E，當OD∥AC時，求的值；（3）當四邊形BOCD是梯形時，試判斷線段AC能否成為⊙O內接正多邊形的邊？如果能，請求出這個正多邊形的邊數；如果不能，請說明理由．7．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知矩形ABCD中，AD＝5，以AD上的一點E為圓心，EA為半徑的圓，經過點C，并交邊BC于點F（點F不與點C重合）．（1）當AE＝4時，求矩形對角線AC的長；（2）設邊AB＝x，CF＝y，求y與x之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；（3）設點G是的中點，且∠GEF＝45°，求邊AB的長．8．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知△ABC外接圓的圓心O在高AD上，點E在BC延長線上，EC＝AB．（1）求證：∠B＝2∠AEC；（2）當OA＝2，cos∠BAO＝時，求DE的長．9．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的長．10．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點C在線段AB的延長線上，BC＝OB，點D是在半圓O上的點（不與A，B兩點重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯結DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點F，如果點D平分，求tan∠DFA；（3）聯結OE交CD于點G，當△DOG和△EGC相似時，求∠AOD．11．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝26，BC＝42，cosB＝，AD＝DC．點M在射線CB上，以點C為圓心，CM為半徑的⊙C交射線CD于點N，聯結MN，交射線CA于點G．（1）求線段AD的長；（2）設線段CM＝x，＝y，當點N在線段CD上時，試求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）聯結DM，當∠NMC＝2∠DMN時，求線段CM的長．12．（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是邊AC上一點，以點O為圓心，OA為半徑的圓O與邊AC的另一個交點是點D，與邊AB的另一個交點是點E，過點O作AB的平行線與圓O相交于點P，與BC相交于點Q，DP的延長線交AB于點F，聯結FQ．（1）求證：DP＝EP；（2）設OA＝x，△FPQ的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；（3）如果△FPQ是以FQ為腰的等腰三角形，求AO的長．13．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AB為圓O的直徑，C是弧AB上一點，聯結BC，過點O作OD⊥BC，垂足為點E，聯結AD交BC于點F．（1）求證：＝；（2）如果AF?AD＝AO2，求∠ABC的正弦值；（3）聯結OF，如果△AOF為直角三角形，求的值．14．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學校一模）已知：△ABC內接于半徑為2的⊙O，BC=，射線BO交邊AC于點E．(1)如果點E恰好是邊AC的中點，求邊AB的長；(2)如果△ABE∽△ACB，求的大?。?3)當△AEO為等腰三角形時，求的大?。?5．（2022·上海理工大學附屬初級中學一模）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點E、F（點F在點E的右側），射線CE與射線BA交于點G．(1)當圓C經過點A時，求CP的長；(2)聯結AP，當時，求弦EF的長；(3)當△AGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長．16．（2022·上?！つM預測）如圖，已知⊙O經過菱形ABCD的頂點A,C,且與CD相切，直徑CF交AB于點E．(1)求證：AD與⊙O相切；(2)若,求的值．17．（2022·上海·位育中學模擬預測）在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是OA延長線上一點，過線段OP的中點H作OP的垂線交弧AB于點C，射線PC交弧AB于點D，聯結OD．(1)如圖，當弧AC＝弧CD時，求弦CD的長；(2)如圖，當點C在弧AD上時，設PA＝x，CD＝y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)設CD的中點為E，射線HE與射線OD交于點F，當DF時，請直接寫出∠P的余切值．18．（2020·上海中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大??；（3）當AD=2，CD=3時，求邊BC的長．19（2022?上海中學模擬B卷）數學家龐斯萊發(fā)明過一種玩具（如圖1），這種玩具用七根小棍做成，各結點均可活動，AD＝AF，CD＝DE＝EF＝FC，且OC＜AF﹣CF．使用時，將A，O釘牢在平板上，使A，O間的距離等于木棍OC的長，繞點O轉動點C，則點C在⊙O上運動，點E在直線BG上運動，BG⊥AB．圖2是該玩具轉動過程中的一幅示意圖．（1）判斷