河北省高三下學(xué)期3月高考模擬考試數(shù)學(xué)

按秘密級(jí)事項(xiàng)管理★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試本試卷共150分 考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A． B． C． D．2．已知集合，，，則集合P的子集共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．8個(gè)3．已知向量與的夾角為，且，，則（）A． B． C．4 D．4．已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中間，則不同的站法種數(shù)為（）A．32 B．36 C．40 D．425．已知在三棱錐中，，則直線與平面所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．6．某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．157．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線T于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線T的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若，則的最大值為（）A．1 B． C． D．8．某包裝設(shè)計(jì)部門為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知圓，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．直線的方程為B．圓和圓共有4條公切線C．若P，Q分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為10D．經(jīng)過點(diǎn)，的所有圓中面積最小的圓的面積為10．已知函數(shù)在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則（）A．的取值范圍是B．的圖象在上有且僅有3個(gè)最高點(diǎn)C．的圖象在上最多有3個(gè)最低點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增11．已知函數(shù)，則（）A．當(dāng)時(shí)，有極小值 B．當(dāng)時(shí)，有極大值C．若，則 D．函數(shù)的零點(diǎn)最多有1個(gè)題序1234567891011答案三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則______．13．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因組合而成的，這種生物在生育下一代時(shí)，成對(duì)的基因相互分離形成配子，配子隨機(jī)結(jié)合形成下一代的基因型．若某生物群體的基因型為，在該生物個(gè)體的隨機(jī)交配過程中，基因型為的子代因無法適應(yīng)自然環(huán)境而被自然界淘汰．例如當(dāng)親代只有的基因型個(gè)體時(shí)，其子一代的基因型如下表所示：雌雄由上表可知，子一代中，子一代產(chǎn)生的配子中A占，a占，以此類推，子七代中的個(gè)體所占的比例為______．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓T上一點(diǎn)，且，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓T的離心率______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）求的最大值．16．（15分）如圖，已知在圓柱中，A，B，C是底面圓O上的三個(gè)點(diǎn)，且線段為圓O的直徑，，為圓柱上底面上的兩點(diǎn)，且矩形平面，D，E分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面與平面的夾角的正弦值．17．（15分）某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時(shí)要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時(shí)m的值．18．（17分）已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（17分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積S是定值．2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試參考答案1．A【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，要求考生會(huì)求復(fù)數(shù)的實(shí)部．【解題分析】，故A項(xiàng)正確．2．C【命題意圖】本題考查集合的運(yùn)算，要求考生理解交集和子集的含義．【解題分析】因?yàn)?，，所以，所以，則集合P的子集共有個(gè)．3．A【命題意圖】本題考查向量的數(shù)量積，要求考生會(huì)進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算．【解題分析】由題意可得，，所以．4．C【命題意圖】本題考查排列組合，要求考生會(huì)進(jìn)行簡單的排列組合計(jì)算．【解題分析】先排前排，有種站法，后排3人中身高最高的站中間，則兩邊的人有種站法，則有種站法．5．D【命題意圖】本題考查線面角，要求考生利用幾何體的性質(zhì)求線面角的正弦值．【解題分析】設(shè)A，B，C，O是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)A在平面的射影是正三角形的中心D．設(shè)，則，可得，高，則直線與平面所成的角的正弦值．6．D【命題意圖】本題考查指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，要求考生能利用指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算解決實(shí)際問題．【解題分析】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，故，，故．由，得，即，則，而，故，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．7．B【命題意圖】本題考查拋物線，要求考生能利用拋物線的性質(zhì)和基本不等式解決問題．【解題分析】設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，過點(diǎn)A，B分別作，垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)G，W，由拋物線的定義可知，，由梯形的中位線可知．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以所以，故的最大值為．8．C【命題意圖】本題考查幾何體的內(nèi)切問題，要求考生具有較強(qiáng)的直觀想象素養(yǎng)，能靈活應(yīng)用簡單幾何體的性質(zhì)求空間幾何體的內(nèi)切問題．【解題分析】易知正四面體的高等于其棱長的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的．如圖，10個(gè)直徑為2的小球放進(jìn)棱長為a的正四面體中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為1，3，6．當(dāng)a取得最小值時(shí)，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體的底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于底層正三角狀頂點(diǎn)的所有相鄰小球的球心連線為一個(gè)正四面體，則該正四面體的棱長為，可求得其高為，，所以正四面體的高為，進(jìn)而可求得其棱長a的最小值為．9．ACD【命題意圖】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，要求考生了解圓的定義與方程，能利用圓的性質(zhì)解決簡單的問題．【解題分析】由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，直線的方程為，即，故A正確；因?yàn)?，可知圓與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的最大值為，故C正確；當(dāng)為圓的直徑時(shí)，該圓在經(jīng)過點(diǎn)，的所有圓中面積最小，此時(shí)圓的面積為．故D正確．10．BC【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求考生理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練使用三角函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)求解相關(guān)問題．【解題分析】由，，得，，所以函數(shù)在上由小到大的第5個(gè)零點(diǎn)為，第6個(gè)零點(diǎn)為，由題知，，解得，A項(xiàng)錯(cuò)誤．令，解得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，1，2時(shí)，，故在上有且僅有3個(gè)最高點(diǎn)，B項(xiàng)正確．令，解得，，同上可知，，，當(dāng)，2時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)最低點(diǎn)，C項(xiàng)正確．由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以在區(qū)間上不單調(diào)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．11．AC【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求考生能通過導(dǎo)數(shù)有無變號(hào)的零點(diǎn)來判斷函數(shù)的極值，能通過構(gòu)造函數(shù)的方法討論函數(shù)的零點(diǎn)問題．【解題分析】當(dāng)時(shí)，，令，變形可得，結(jié)合函數(shù)圖象（圖略）可知，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤．若，即，則．設(shè)，則．設(shè)，可知，則，．若，則，為減函數(shù)，注意到，可知當(dāng)時(shí)，，不合題意．若，則，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以．設(shè)，，則，．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，則，所以只有當(dāng)時(shí)，才能成立．綜上所述，，故C項(xiàng)正確．由C項(xiàng)可知，，，則，所以為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于，且，即此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．同理可得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)1，所以有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)1，即只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．12．【命題意圖】本題考查三角恒等變換，要求考生能熟練地使用兩角和的余弦公式及二倍角公式解決問題．【解題分析】因?yàn)?，整理得，所以，所以，所以?3．【命題意圖】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，要求考生能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)列的遞推關(guān)系式，能利用等差數(shù)列解決實(shí)際問題．【解題分析】設(shè)子n代中占比為，則占比為，所以，則子代的基因型如下表所示：雌雄由表可知，表格中總份數(shù)為（其中淘汰了份），因此子代中的占比為，化簡得，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，因此．14．【命題意圖】本題考查橢圓的離心率，要求考生能利用橢圓的相關(guān)性質(zhì)求解橢圓焦點(diǎn)三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑問題．【解題分析】因?yàn)?，且，，所以，所以，所以的面積．設(shè)的外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，由正弦定理可得，可得．易知的周長，利用等面積法可知，解得．又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，所以，即，所以，故離心率．15．【命題意圖】本題考查解三角形，要求考生能利用正弦定理與余弦定理求解三角形的相關(guān)問題．【解題分析】（1）因?yàn)?，結(jié)合正弦定理得，移項(xiàng)得，所以．又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，由基本不等式得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，解得，所以的最大值為．16．【命題意圖】本題考查線面平行與空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，要求考生能運(yùn)用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明線面平行，熟悉向量的方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用．【解題分析】（1）如圖，取的中點(diǎn)F，連接，，因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，所以，．又因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以平面，平面．因?yàn)?，，平面，所以平面平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）如圖，連接，．因?yàn)镋，O分別為，的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫妫?，可得．因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以．以A為原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，可得，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以．，所以平面與平面的夾角的正弦值為．17．【命題意圖】本題考查分層隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、獨(dú)立事件的概率，要求考生能有使用統(tǒng)計(jì)、概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．【解題分析】（1）因?yàn)橘徺I單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當(dāng)時(shí)，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．18．【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求考生能利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)使用分離變量的方法求參數(shù)的范圍．【解題分析】（1）函數(shù)，的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）設(shè)，則，易知在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以