兩角和與差的余弦第1課時(shí)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊(cè)

兩角和與差的余弦第1課時(shí)新知探究問(wèn)題1

我們已經(jīng)知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根據(jù)這些值求出cos15°的值呢？因?yàn)?5°＝45°－30°，所以cos15°＝cos（45°－30°）．新知探究如圖，在單位圓中，由Q引x軸的垂線，垂足為M；由Q引OP的垂線，垂足為H；由H引QM的垂線，垂足為G．由于∠MQH＝α，則GQ＝sinβcosa，MG＝cosβsinα，問(wèn)題2怎樣根據(jù)α與β的三角函數(shù)值求出cos（α－β）的值呢？因?yàn)镸Q＝GQ＋MG，所以sin（α＋β）＝sinβcosα＋cosβsinα．新知探究思考：由摩天輪的例子還可以設(shè)計(jì)問(wèn)題：設(shè)∠P1Ox＝α，∠P1OP＝β，則∠POx＝α－β，如何用sinα，cosα，sinβ，cosβ來(lái)表示cos（β－α）？設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么OM即為α－β角的余弦線，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋Apsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．綜上所述，cos（α－β）＝cosβcosα＋sinβsinα．新知探究方法一：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），在直角坐標(biāo)系內(nèi)作圓，并做出任意角α，α＋β，－β，它們的終邊分別交單位圓于P2，P3，P4點(diǎn)，單位圓與x軸交于P1，問(wèn)題3上面得到的結(jié)論對(duì)任意α與β都成立嗎？則P1（1，0），P2（cosα，sinα），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），則有P4（cos（－β），sin（－β））．新知探究∵∠P1OP3＝∠P4OP2＝α＋β，且|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝|OP4|＝1∴2－2cos（α＋β）＝2－2cosαcosβ－2sinαsin（－β）問(wèn)題3上面得到的結(jié)論對(duì)任意α與β都成立嗎？∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ∴△P1OP3≌△P2OP4，∴|P1P3|＝|P2P4|，∴cos（α＋β）＝cos[α＋（－β）]＝cosαcos（－β）－sinαsin（－β）即＝cosαcosβ＋sinαsinβ．新知探究方法二：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，則P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），問(wèn)題3上面得到的結(jié)論對(duì)任意α與β都成立嗎？設(shè)α，β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P，Q，因此＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）從而有：

＝（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；新知探究另一方面，由圖可知，存在k∈Z，使得問(wèn)題3上面得到的結(jié)論對(duì)任意α與β都成立嗎？故cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．所以或因此又因?yàn)樾轮骄績(jī)山遣畹挠嘞夜綖椋篶os（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，通常記為Cα－β．練新知探究試計(jì)算cos15°．解答：利用Cα－β可知：cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°當(dāng)然，cos15°的值也可借助60°與45°來(lái)求，即cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°新知探究因?yàn)棣粒拢溅粒ǎ拢?，所以cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]＝cosαcos（－β）＋sinαsin（－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ．問(wèn)題4角α與β的和的余弦可以用角α與β的正、余弦表示嗎？新知探究對(duì)任意角α與β，都有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，這就是兩角差的余弦公式，簡(jiǎn)記為Cα－β．兩角和的余弦公式Cα＋β：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ．記憶口訣：余余正正符相異．初步應(yīng)用例1

利用Cα－β證明以下誘導(dǎo)公式（1）由Cα－β可知，（2）由Cα－β可知，（1）（2）cos（π－α）＝－cosα初步應(yīng)用例2

求cos105°的值．解答：cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°初步應(yīng)用例3

已知

，其中＜α＜π，求