第08講 二次函數(shù)（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第08講二次函數(shù)（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1．二次函數(shù)的概念常為中檔題．主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)、確定解析式、自變量的取值范圍等；2．二次函數(shù)的解析式、開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等是中考命題的熱點(diǎn)；3．拋物線的性質(zhì)、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現(xiàn)過，覆蓋面較廣，而且這些內(nèi)容的綜合題一般較難，在解答題中出現(xiàn)．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、二次函數(shù)的定義一般地，如果（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)．考點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)(a≠0)的圖象是一條拋物線，頂點(diǎn)為．2.當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線的開口向下．3.①|(zhì)a|的大小決定拋物線的開口大?。畖a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大．②c的大小決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置．c＝0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)；c＞0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸；c＜0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸．③ab的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱軸的位置．當(dāng)ab＝0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；當(dāng)ab＞0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)ab＜0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．4.拋物線的圖象，可以由的圖象移動(dòng)而得到．將向上移動(dòng)k個(gè)單位得：．將向左移動(dòng)h個(gè)單位得：．將先向上移動(dòng)k(k＞0)個(gè)單位，再向右移動(dòng)h(h＞0)個(gè)單位，即得函數(shù)的圖象．5.幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)

開口向上

當(dāng)時(shí)

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()考點(diǎn)三、二次函數(shù)的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出a、b、c的值．2.交點(diǎn)式（雙根式）：．若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將第三點(diǎn)(m，n)的坐標(biāo)(其中m、n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．3.頂點(diǎn)式：．若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．4.對(duì)稱點(diǎn)式：．若已知二次函數(shù)圖象上兩對(duì)稱點(diǎn)(x1，m)，(x2，m)，則可設(shè)所求二次函數(shù)為，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．考點(diǎn)四、二次函數(shù)(a≠0)的圖象的位置與系數(shù)a、b、c的關(guān)系1.開口方向：a＞0時(shí)，開口向上，否則開口向下．2.對(duì)稱軸：時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．3.與x軸交點(diǎn)：時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，沒有交點(diǎn)．考點(diǎn)五、二次函數(shù)的最值1.如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)時(shí)，．2.如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)．①若在此范圍內(nèi)，則：當(dāng)a＞0時(shí)，，(此時(shí)，)；當(dāng)a＜0時(shí)，，(此時(shí)，)．②若不在此范圍內(nèi)，則：當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，(此時(shí)，)，(此時(shí)，x＝x1)；當(dāng)y隨x的增大而減小時(shí)，(此時(shí)，)，(此時(shí)，x＝x2)．考點(diǎn)六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒有實(shí)根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解

方程沒有實(shí)數(shù)解【典型例題】題型一、應(yīng)用二次函數(shù)的定義求值 例1．已知拋物線y=（m-1）x2+mx+m2-4的圖象過原點(diǎn)，且開口向上．

（1）求m=，并寫出函數(shù)解析式；

（2）寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸．【思路點(diǎn)撥】（1）直接根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知m-1＞0，m2-4=0，解之即可得到m=2，即y=x2+2x；

（2）y=x2+2x=（x+1）2-1直接可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸．【答案與解析】（1）∵拋物線y=（m-1）x2+mx+m2-4的圖象過原點(diǎn)，且開口向上，

∴m-1＞0，且m2-4=0，

解得m=±2，而m＞1，

∴m=2，

∴y=x2+2x；（2）∵y=x2+2x=（x+1）2-1，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），對(duì)稱軸為x=-1．【總結(jié)升華】主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．

用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟是：

（1）寫出函數(shù)解析式的一般式，其中包括未知的系數(shù)；

（2）把自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值代入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；

（3）解方程（組）求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)解析式．【變式】已知拋物線過原點(diǎn)，求m．【答案】解：由題意得，∴m＝±1．又∵m-1≠0，∴m≠1，∴取m＝-1．題型二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用例2．已知點(diǎn)M(-2，5)，N(4，5)在拋物線，則拋物線的對(duì)稱軸為________．【思路點(diǎn)撥】M(-2，5)，N(4，5)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，對(duì)稱軸為兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均數(shù)．【答案】x＝1；【解析】因?yàn)镸(-2，5)，N(4，5)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，所以M，N兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．【總結(jié)升華】拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱性：當(dāng)拋物線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等時(shí)，對(duì)稱軸為兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均數(shù)．【變式1】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，－6）兩點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BA、BC，求△ABC的面積.yyxCAOB【答案】（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入得：解得∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為（2）∵該拋物線對(duì)稱軸為直線∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）∴∴.【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x-3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)).（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E.求ME長(zhǎng)的最大值；（3）試探究當(dāng)ME取最大值時(shí)，在拋物線x軸下方是否存在點(diǎn)P，使以M、F、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.【答案】解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-3x-3=0，x=-1

∴A（-1，0）

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，

∴C（0，-3），

∴∴，

拋物線的解析式是：y=x2-2x-3．

當(dāng)y=0時(shí)，x2-2x-3=0，

解得：x1=-1，x2=3

∴B（3，0）．

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3）直線BC的解析式是：y=x-3，

設(shè)M（x，x-3）（0≤x≤3），則E（x，x2-2x-3）

∴ME=（x-3）-（x2-2x-3）=-x2+3x=-（x-）2+；

∴當(dāng)x=時(shí)，ME的最大值為．（3）答：不存在．

由（2）知ME取最大值時(shí)ME=，E（，），M（，-）

∴MF=，BF=OB-OF=．

設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P、M、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，-）或P2（3，-）

當(dāng)P1（0，-）時(shí)，由（1）知y=x2-2x-3=-3≠-

∴P1不在拋物線上．

當(dāng)P2（3，-）時(shí)，由（1）知y=x2-2x-3=0≠-

∴P2不在拋物線上．

綜上所述：拋物線x軸下方不存在點(diǎn)P，使以P、M、F、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．題型三、求二次函數(shù)的解析式例3．拋物線的頂點(diǎn)為(2，3)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，求拋物線解析式．【思路點(diǎn)撥】已知了拋物線的對(duì)稱軸方程和拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離，可求出拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，【答案與解析】解：∵拋物線的頂點(diǎn)為(2，3)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．又∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸交點(diǎn)為(-1，0)，(5，0)．設(shè)拋物線為，∵過點(diǎn)(-1，0)，∴．∴．∴拋物線解析式為．即．【總結(jié)升華】求二次函數(shù)解析式選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê苤匾?，可以?jié)省時(shí)間.【變式】請(qǐng)選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)(a≠0)的圖象同時(shí)滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減?。@樣的二次函數(shù)的解析式可以是________．【答案】由①知a＜0，由②知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，因此解析式滿足，且a＜0即可．答案：(答案不唯一)題型四、二次函數(shù)圖象的位置與a、b、c的關(guān)系例4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)(m≠1的實(shí)數(shù))．其中正確的結(jié)論有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【答案】B；【解析】由圖象可知a＜0，b＞0，c＞0，a-b+c＜0，a+b+c＞0，由對(duì)稱性知，當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)值大于零，∴4a+2b+c＞0，由對(duì)稱性知9a+3b+c＜0，且，∴，∴．把代入a+b＞m(am+b)中可驗(yàn)證此項(xiàng)正確，故③④⑤正確．【總結(jié)升華】數(shù)形結(jié)合是解此類題的關(guān)鍵．難度較大，要求有很強(qiáng)的邏輯推理能力．【變式】如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，張凱同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0.你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)xyxy-11O1【答案】D.（2）錯(cuò)了.題型五、求二次函數(shù)的最值例5．二次函數(shù)的最小值為()A．-35B．-30C．-5D．20【思路點(diǎn)撥】直接套用求函數(shù)最值的公式即可，即y最值=．【答案】B；【解析】解析1：配方法化成頂點(diǎn)式來解，，因此當(dāng)，．解析2：用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：，．【總結(jié)升華】求二次函數(shù)的最值有兩種方法：一是用配方法化成頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最值，二是用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求．題型六、二次函數(shù)綜合題例6．如左圖所示，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB＝20米，頂點(diǎn)M距水面6米(即MO＝6米)，小孔頂點(diǎn)N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時(shí)，借助右圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF．【思路點(diǎn)撥】先求出大孔所在拋物線解析式，再由EF所在高度求出相應(yīng)寬度EF．【答案與解析】解：設(shè)拋物線解析式為．依題意得，B(10，0)在圖象上，∴a×102+6＝0，解得a＝-0.06．∴．當(dāng)y＝4.5時(shí)，，解得，∴DF＝5，EF＝10，即水面寬度為10米．【總結(jié)升華】解決二次函數(shù)在物體運(yùn)動(dòng)或拋物線建筑方面的應(yīng)用題，先求拋物線解析式，然后再具體問題具體分析（即要求橫向?qū)挾日铱v向條件，要求縱向高度找橫向條件），充分體現(xiàn)了函數(shù)建模思想．【變式1】如圖所示，足球場(chǎng)上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起。據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式。(2)足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米?(取≈7)(3)運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落地點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米?(取≈5)【答案】(1)如圖所示，設(shè)第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式為．由已知當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1．即，∴．∴表達(dá)式為．(2)令y＝0，．∴．解得，(舍去)．∴足球第一次落地距守門員約13米．(3)如圖所示，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意得CD＝EF(即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個(gè)單位)，∴，解得，．∴CD＝．∴BD＝13-6+10＝17(米)．答：他應(yīng)再向前跑17米．【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程.（其中m為實(shí)數(shù)），（1）若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為k，①當(dāng)k=m時(shí)，求m的值；②若記為y，求y與m的關(guān)系式；（2）當(dāng)＜m＜2時(shí)，判斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說明理由.【答案】解：（1）∵k為的實(shí)數(shù)根，∴.※①當(dāng)k=m時(shí)，∵k為非零實(shí)數(shù)根，∴m≠0，方程※兩邊都除以m，得.整理，得.解得，.∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴m≠2.∴m=1.②∵k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，∴將方程※兩邊都除以k，得.整理，得.∴.（2）解法一：.當(dāng)＜m＜2時(shí)，m＞0，＜0.∴＞0，＞1＞0，Δ＞0.∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解法二：直接分析＜m＜2時(shí)，函數(shù)的圖象，∵該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，∴該拋物線必與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解法三：.結(jié)合關(guān)于m的圖象可知，（如圖）當(dāng)＜m≤1時(shí)，＜≤4；當(dāng)1＜m＜2時(shí)，1＜＜4.∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，＞0.∴當(dāng)＜m＜2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共3小題）1．（2018?上海）下列對(duì)二次函數(shù)y＝x2﹣x的圖象的描述，正確的是（）A．開口向下 B．對(duì)稱軸是y軸 C．經(jīng)過原點(diǎn) D．在對(duì)稱軸右側(cè)部分是下降的【分析】A、由a＝1＞0，可得出拋物線開口向上，選項(xiàng)A不正確；B、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，選項(xiàng)B不正確；C、代入x＝0求出y值，由此可得出拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；D、由a＝1＞0及拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出當(dāng)x＞時(shí)，y隨x值的增大而增大，選項(xiàng)D不正確．綜上即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，選項(xiàng)A不正確；B、∵﹣＝，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，選項(xiàng)B不正確；C、當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣x＝0，∴拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；D、∵a＞0，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨x值的增大而增大，選項(xiàng)D不正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．2．（2016?上海）如果將拋物線y＝x2+2向下平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵拋物線y＝x2+2向下平移1個(gè)單位，∴拋物線的解析式為y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．3．（2021?上海）將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，以下錯(cuò)誤的是（）A．開口方向不變 B．對(duì)稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，對(duì)稱軸不變，a不變，拋物線的增減性不變．【解答】解：A、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，a不變，開口方向不變，故不符合題意．B、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，對(duì)稱軸不變，故不符合題意．C、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，拋物線的開口方向不變，對(duì)稱軸不變，則y隨x的變化情況不變，故不符合題意．D、將函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象向下平移兩個(gè)單位，與y軸的交點(diǎn)也向下平移兩個(gè)單位，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，注意：拋物線平移后的形狀不變，開口方向不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)改變．二．填空題（共2小題）4．（2020?上海）如果將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y＝x2+3．【分析】直接根據(jù)拋物線向上平移的規(guī)律求解．【解答】解：拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位得到y(tǒng)＝x2+3．故答案為：y＝x2+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．5．（2017?上海）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝2x2﹣1．（只需寫一個(gè)）【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)知其解析式滿足y＝ax2﹣1，由開口向上知a＞0，據(jù)此寫出一個(gè)即可．【解答】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），∴該拋武線的解析式為y＝ax2﹣1，又∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴a＞0，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝2x2﹣1，故答案為：y＝2x2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握拋物線的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）6．（2022?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）平移拋物線，平移后的頂點(diǎn)為P（m，n）（m＞0）．?。绻鸖△OBP＝3，設(shè)直線x＝k，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢(shì)，求k的取值范圍；ⅱ．點(diǎn)P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點(diǎn)Q，且∠BPQ＝120°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）i．根據(jù)三角形面積求出平移后的拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；ii．P（m，﹣3），證出BP＝PQ，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：（1）將A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3．（2）i．∵y＝x2﹣3，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），即點(diǎn)B是原拋物線的頂點(diǎn)，∵平移后的拋物線頂點(diǎn)為P（m，n），∴拋物線平移了|m|個(gè)單位，∴S△OPB＝×3|m|＝3，∵m＞0，∴m＝2，即平移后的拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，∵在x＝k的右側(cè)，兩拋物線都上升，原拋物線的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，∴k≥2；ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，∴n＝﹣3，∴P（m，﹣3），由題意得，新拋物線的解析式為y＝+n＝﹣3，∴Q（0，m2﹣3），∵B（0，﹣3），∴BQ＝m2，+，PQ2＝，∴BP＝PQ，如圖，過點(diǎn)P作PC⊥y軸于C，則PC＝|m|，∵PB＝PQ，PC⊥BQ，∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，∴m＝2或m＝﹣2（舍），∴n＝﹣3＝3，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．7．（2021?上海）已知拋物線y＝ax2+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）、Q（1，4）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)A在直線PQ上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，以AB為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形ABC．①當(dāng)Q與A重合時(shí)，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若C在拋物線上，求C的坐標(biāo)．【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+；（2）①過C作CH⊥AB于H，交y軸于G，A與Q（1，4）重合時(shí)，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到拋物線對(duì)稱軸的距離是CG＝1；②過C作CH⊥AB于H，先求出直線PQ為y＝﹣2x+6，設(shè)A（m，﹣2m+6），則AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，將C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（與P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+；（2）①過C作CH⊥AB于H，交y軸于G，如圖：當(dāng)A與Q（1，4）重合時(shí)，AB＝4，GH＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，∴CG＝CH﹣GH＝1，而拋物線y＝﹣x2+的對(duì)稱軸是y軸（x＝0），∴C到拋物線對(duì)稱軸的距離是CG＝1；②過C作CH⊥AB于H，如圖：設(shè)直線PQ解析式為y＝kx+b，將P（3，0）、Q（1，4）代入得：，解得，∴直線PQ為y＝﹣2x+6，設(shè)A（m，﹣2m+6），則AB＝|﹣2m+6|，∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，當(dāng)﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3時(shí)，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，將C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，解得m＝或m＝3（與P重合，舍去），∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，∴C（﹣2，）當(dāng)﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3時(shí)，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，此時(shí)A、B、C重合，舍去，∴C（﹣2，）【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及解析式、對(duì)稱軸、等腰直角三角形、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示C的坐標(biāo)．8．（2020?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B（如圖）．拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求線段AB的長(zhǎng)；（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC＝，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．【分析】（1）先求出A，B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)C（m，﹣m+5），則BC＝|m|，進(jìn)而求出點(diǎn)C（2，4），最后將點(diǎn)A，C代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論；（3）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b＝﹣10a，代入拋物線解析式中得出頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，﹣25a），即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）針對(duì)于直線y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，則﹣x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB＝＝5；（2）設(shè)點(diǎn)C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∴BC＝＝|m|，∵BC＝，∴|m|＝，∴m＝±2，∵點(diǎn)C在線段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），將點(diǎn)A（10，0），C（2，4）代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∴，∴拋物線y＝﹣x2+x；（3）∵點(diǎn)A（10，0）在拋物線y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，﹣25a），將x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0；【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．9．（2019?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣1）；（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（t，t），則t＝t2﹣2t，即可求解；②新拋物線頂點(diǎn)B為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)B（m，m），則新拋物線的對(duì)稱軸為：x＝m，與x軸的交點(diǎn)C（m，0），四邊形OABC是梯形，則直線x＝m在y軸左側(cè)，而點(diǎn)A（1，﹣1），點(diǎn)B（m，m），則m＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣1），當(dāng)x＞1，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜1，y隨x增大而減??；（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（t，t），則t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（0，0）或（3，3）；②當(dāng)OC∥AB時(shí)，∵新拋物線頂點(diǎn)B為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)B（m，m），∴新拋物線的對(duì)稱軸為：x＝m，與x軸的交點(diǎn)C（m，0），∵四邊形OABC是梯形，∴直線x＝m在y軸左側(cè)，∵BC與OA不平行，∴OC∥AB，又∵點(diǎn)A（1，﹣1），點(diǎn)B（m，m），∴m＝﹣1，故新拋物線是由拋物線y＝x2﹣2x向左平移2個(gè)單位得到的；當(dāng)OB∥AC時(shí)，同理可得：拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，當(dāng)四邊形OABC是梯形，字母順序不對(duì)，故舍去，綜上，新拋物線的表達(dá)式為：y＝（x+1）2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到二次函數(shù)基本知識(shí)、梯形基本性質(zhì)，此類新定義題目，通常按照題設(shè)順序，逐次求解即可．10．（2016?上海）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣5），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝5OB，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；（3）如果點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且∠BEO＝∠ABC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【分析】（1）先得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再由OC＝5BO，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出a，b；（2）分別算出△ABC和△ACD的面積，相加即得四邊形ABCD的面積；（3）由∠BEO＝∠ABC可知，tan∠BEO＝tan∠ABC，過C作AB邊上的高CH，利用等面積法求出CH，從而算出tan∠ABC，而BO是已知的，從而利用tan∠BEO＝tan∠ABC可求出EO長(zhǎng)度，也就求出了E點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣5與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，﹣5），∴OC＝5．∵OC＝5OB，∴OB＝1，又點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，∴B（﹣1，0）．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣5）和點(diǎn)B（﹣1，0），∴，解得，∴這條拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x﹣5．（2）由y＝x2﹣4x﹣5，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣9）．連接AC，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，﹣5），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣5），又S△ABC＝×4×5＝10，S△ACD＝×4×4＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝18．（3）過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．∵S△ABC＝×AB×CH＝10，AB＝＝5，∴CH＝2，在RT△BCH中，∠BHC＝90°，BC＝，BH＝＝3，∴tan∠CBH＝＝．∵在RT△BOE中，∠BOE＝90°，tan∠BEO＝，∵∠BEO＝∠ABC，∴，得EO＝，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）．【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積求法、等積變換、勾股定理、正切函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．第（3）問，將角度相等轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的正切函數(shù)值相等是解答關(guān)鍵．11．（2018?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）求線段CD的長(zhǎng)；（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，如果點(diǎn)M在y軸上，且以O(shè)、D、E、M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）利用配方法得到y(tǒng)＝﹣（x﹣2）2+，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，如圖，設(shè)CD＝t，則D（2，﹣t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，則P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得到關(guān)于t的方程，從而解方程可得到CD的長(zhǎng)；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），利用拋物線的平移規(guī)律確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)M（0，m），當(dāng)m＞0時(shí)，利用梯形面積公式得到?（m++2）?2＝8當(dāng)m＜0時(shí)，利用梯形面積公式得到?（﹣m++2）?2＝8，然后分別解方程求出m即可得到對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+；（2）∵y＝﹣（x﹣2）2+，∴C（2，），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，如圖，設(shè)CD＝t，則D（2，﹣t），∵線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處，∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，∴P（2+t，﹣t），把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+＝﹣t，整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，∴線段CD的長(zhǎng)為2；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），∵拋物線平移，使其頂點(diǎn)C（2，）移到原點(diǎn)O的位置，∴拋物線向左平移2個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，而P點(diǎn)（4，）向左平移2個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)E，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)M（0，m），當(dāng)m＞0時(shí)，?（m++2）?2＝8，解得m＝，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)m＜0時(shí)，?（﹣m++2）?2＝8，解得m＝﹣，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣）；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．12．（2017?上海）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)為B．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，且位于頂點(diǎn)上方，設(shè)它的縱坐標(biāo)為m，聯(lián)結(jié)AM，用含m的代數(shù)式表示∠AMB的余切值；（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上．原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，如果OP＝OQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）依據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可求得b的值，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）過點(diǎn)A作AC⊥BM，垂足為C，從而可得到AC＝1，MC＝m﹣2，最后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；（3）由平移后拋物線的頂點(diǎn)在x軸上可求得平移的方向和距離，故此QP＝3，然后由點(diǎn)QO＝PO，QP∥y軸可得到點(diǎn)Q和P關(guān)于x對(duì)稱，可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)代入平移后的解析式可求得對(duì)應(yīng)的x的值，則可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，∴x＝﹣＝1，即＝1，解得b＝2．∴y＝﹣x2+2x+c．將A（2，2）代入得：﹣4+4+c＝2，解得：c＝2．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+2．配方得：y＝﹣（x﹣1）2+3．∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．（2）如圖所示：過點(diǎn)A作AG⊥BM，垂足為G，則AG＝1，G（1，2）．∵M(jìn)（1，m），G（1，2），∴MG＝m﹣2．∴cot∠AMB＝＝m﹣2．（3）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，∴拋物線向下平移了3個(gè)單位．∴平移后拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x﹣1，PQ＝3．∵OP＝OQ，∴點(diǎn)O在PQ的垂直平分線上．又∵QP∥y軸，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱．∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣．將y＝﹣代入y＝﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1＝﹣，解得：x＝或x＝．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義、二次函數(shù)的平移規(guī)律、線段垂直平分線的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，從而得到點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共6小題）1．（2022?寶山區(qū)模擬）關(guān)于拋物線y＝﹣x2+2x﹣3的判斷，下列說法正確的是（）A．拋物線的開口方向向上 B．拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1 C．拋物線對(duì)稱軸左側(cè)部分是下降的 D．拋物線頂點(diǎn)到x軸的距離是2【分析】由拋物線的解析式可求得其開口方向、對(duì)稱軸、增減性以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴A、B、C不正確；∵拋物線頂點(diǎn)到x軸的距離是|﹣2|＝2，∴D正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對(duì)稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．2．（2022?浦東新區(qū)二模）如果將拋物線y＝5x2向上平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝5（x+1）2 B．y＝5（x﹣1）2 C．y＝5x2+1 D．y＝5x2﹣1【分析】利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．【解答】解：將拋物線y＝5x2向上平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是：y＝5x2+1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確記憶圖形平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），且頂點(diǎn)在第一象限，那么下列結(jié)論：①a+c＝b；②x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc＞0；④c﹣a＞2，其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】把（﹣1，0）代入拋物線的解析式，便可判斷①的正誤；根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，便可判斷②的正誤；由拋物線的開口方向確定a的正負(fù)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的位置，可以確定b的正負(fù)，由拋物線與y軸交點(diǎn)位置，可以確定c的正負(fù)，于是便可判斷③的正誤；把（0，2）代入拋物線的解析式，便可求得c的值，結(jié)合a的正負(fù)便可判斷④的正誤．【解答】解：把（﹣1，0代入y＝ax2+bx+c，得a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＝0，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，方程ax2+bx+c＝0成立，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的解，故②正確；由于函數(shù)圖象開口向下知，a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸∴，∴c＞0，∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，∴，∴b＞0，∴abc＜0，故③錯(cuò)誤；∵拋物線與y軸交于（0，2），∴c＝2，∵a＜0，∴c﹣a＞2，故④正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．4．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）一次函數(shù)y＝ax+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】本題可先由一次函數(shù)y＝ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象相比是否一致．【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＜0，故本選項(xiàng)符合題意；C、由拋物線可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由拋物線可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＜0，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法．5．（2022?虹口區(qū)二模）拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）【分析】由拋物線頂點(diǎn)式求解．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．6．（2022?楊浦區(qū)三模）如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象全部在x軸的上方，那么下列判斷中一定正確的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0 C．a(chǎn)＞0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，c＞0【分析】由次函數(shù)的圖象全部在x軸的上方，可得拋物線開口向上，拋物線與y軸交點(diǎn)位置，從而可判定a，c的符號(hào)．【解答】解：當(dāng)拋物線開口向上，且拋物線與x軸無交點(diǎn)時(shí)，圖象全部在x軸上方，∴a＞0，拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，即c＞0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二．填空題（共8小題）7．（2022?楊浦區(qū)三模）如果二次函數(shù)y＝x2+2x﹣m+2圖象的頂點(diǎn)在x軸上，那么m的值是1．【分析】因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)在x軸上，故函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)Δ＝0，即可求出m的值．【解答】解：∵拋物線y＝x2+2x﹣m+2的頂點(diǎn)在x軸上，∴Δ＝22﹣4×（﹣m+2）＝0，即﹣4+4m＝0，解得m＝1．故答案是：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系，要明確：Δ＞0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；Δ＝0，圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；Δ＜0，圖象與x軸無交點(diǎn)．8．（2022?楊浦區(qū)三模）已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，且在對(duì)稱軸左側(cè)函數(shù)y的值隨x的值增大而增大．請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x.（只需寫一個(gè)）【分析】根據(jù)拋物線在對(duì)稱軸的右側(cè)，且在對(duì)稱軸左側(cè)函數(shù)y的值隨x的值增大而增大，則a＜0；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，﹣＞0，則b＞0，即可得到解析式．【解答】解：根據(jù)題意，二次函數(shù)的解析式是y＝﹣x2+2x，故答案為：y＝﹣x2+2x．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，能夠根據(jù)變化規(guī)律確定a的符號(hào)，能夠根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定b的符號(hào)．9．（2022?寶山區(qū)模擬）如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝1，那么2a+b的值為0．【分析】根據(jù)對(duì)稱軸公式列出﹣＝1，變形即可．【解答】解∵對(duì)稱軸為x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶二次函數(shù)對(duì)稱軸公式是解題關(guān)鍵．10．（2022?寶山區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，令x＝0，求出相應(yīng)的y的值，即可解答本題．【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣3，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，即二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），故答案為（0，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，知道拋物線與y軸的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0．11．（2022?黃浦區(qū)二模）將拋物線y＝x2+x+1向下平移1個(gè)單位，所得新的拋物線的表達(dá)式是y＝x2+x．【分析】先把函數(shù)化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)“上加下減”的法則即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y＝x2+x+1可化為y＝（x+）2+，∴拋物線y＝x2+x+1向下平移1個(gè)單位，所得新拋物線的表達(dá)式為y＝（x+）2+﹣1，即y＝x2+x．故答案為：y＝x2+x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．12．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如果將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向左平移2個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y＝2（x+1）2+3．【分析】根據(jù)“左加右減”的法則即可得出結(jié)論．【解答】解：將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向左平移2個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y＝2（x﹣1+2）2+3，即y＝2（x+1）2+3，故答案為：y＝2（x+1）2+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022?普陀區(qū)二模）如果二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2的圖象在y軸的右側(cè)部分是下降的，寫出符合條件的一個(gè)a的值是0．【分析】由圖象在y軸的右側(cè)部分是下降的可得a﹣1＜0，進(jìn)而求解．【解答】解：∵y＝（a﹣1）x2圖象在y軸右側(cè)部分下降，∴拋物線開口向下，∴a﹣1＜0，解得a＜1，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．14．（2022?徐匯區(qū)二模）定義：將兩個(gè)不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個(gè)函數(shù)的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式：y＝x2﹣2x+4．【分析】拋物線y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2個(gè)單位求解．【解答】解：將拋物線y＝（x﹣1）2+1向上平移2個(gè)單位可得拋物線y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，故答案為：y＝x2﹣2x+4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律．三．解答題（共33小題）15．（2022?金山區(qū)二模）已知：在直角坐標(biāo)系中直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式；（2）如果直線AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C，求OC的長(zhǎng)；（3）P是線段OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AB的平行線，與y軸相交于點(diǎn)Q，把△OPQ沿直線PQ翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，如果點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），先得出四邊形DPOQ為矩形，再得出四邊形DPOQ為正方形，最后得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，列出方程求解即可．【解答】解：（1）直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，∴A（4，0）、B（0，4），代入拋物線得：，∴b＝1，c＝4，∴拋物線的解析式為：．（2）由＝，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x+4＝3，∴C（1，3），∴．（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PQ∥AB，∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，∴四邊形DPOQ為矩形，∵OP＝OQ，∴四邊形DPOQ為正方形，∴DP＝DQ＝OP＝t，∴四邊形DPOQ為正方形，∴D（t，t），∴，解得：，（不合題意，舍去），∴點(diǎn)P是坐標(biāo)為：（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確畫出圖象是解題的關(guān)鍵．16．（2022?徐匯區(qū)模擬）某店旺季銷售一種海鮮產(chǎn)品，為了尋求合適的銷售量，試營(yíng)銷了4天，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，試營(yíng)銷日銷量情況如下表：時(shí)間x（天）第1天第2天第3天第4天…日銷售量y（千克）380400420440…（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，選擇一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中的一種函數(shù)模型來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明選擇的理由．（2）試營(yíng)銷后，公司對(duì)這種海產(chǎn)品每天進(jìn)行定量銷售，首批6000千克海產(chǎn)品很塊銷售一空，對(duì)于第二批次6000千克海產(chǎn)品，公司決定在第一批銷售量的基礎(chǔ)上每天增加100千克定量銷售，結(jié)果還是比第一批次提前2天售完，求公司對(duì)第一批次每天的銷售定量是多少千克？【分析】（1）表格數(shù)據(jù)符合一次函數(shù)的規(guī)律，故設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝kx+b，將（1，380）、（2，400）代入上式，即可求解；（2）寫出兩批銷售天數(shù)的表達(dá)式，再利用第二批比第一批次提前2天售完，列等式即可．【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律可知：時(shí)間每增加1天，銷售量就增加20千克，∴選擇一次函數(shù)模型來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式．故設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝kx+b，將（1，380）、（2，400）代入上式得：，解得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝20x+360．（2）設(shè)公司對(duì)第一批次每天的銷售定量是a千克，則公司對(duì)第二批次每天的銷售定量是（100+a）千克，根據(jù)題意，得＝+2，整理，得，a2+100a﹣300000＝0，解方程，得，a1＝500，a2＝﹣600，經(jīng)檢驗(yàn)，a1、a2都是分式方程的解，但負(fù)值不合題意，應(yīng)舍去，∴a＝500．即公司對(duì)第一批次每天的銷售定量是500千克．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從實(shí)際意義中找到對(duì)應(yīng)的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．17．（2022?寶山區(qū)模擬）在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的底邊AB長(zhǎng)20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點(diǎn)E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)EF的長(zhǎng)為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積．【分析】由題意得，矩形的面積等于相鄰兩邊之積，根據(jù)圖中幾何關(guān)系把ED邊用x表示出來，再由矩形EFGD在等腰直角三角形內(nèi)，求出定義域，最后把EF的長(zhǎng)為4厘米，代入函數(shù)關(guān)系式，求得矩形面積．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，F(xiàn)G＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，矩形EFGD的面積y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，由0＜20﹣2x＜20，解得0＜x＜10，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x2+20x，定義域是0＜x＜10，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣2×42+20×4＝48，即當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)，所截得的矩形的面積為48平方厘米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，在等腰直角三角形和矩形中解題，要注意幾何關(guān)系．18．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在B左邊，交y軸于點(diǎn)C．（1）將函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化為y＝a（x+m）2+k的形式，并指出該函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D在該拋物線上，它是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，求△ABD的面積．【分析】（1）直接配方得出y＝﹣（x﹣3）2+4，即可得出答案；（2）先求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)D坐標(biāo)，最后用三角形面積公式求解，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5的開口方向向下，對(duì)稱軸為直線x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；（2）如圖，針對(duì)于y＝﹣x2+6x﹣5，令y＝0，則﹣x2+6x﹣5＝0，∴x＝1或x＝5，∵點(diǎn)A在B左邊，∴A（1，0），B（5，0），令x＝0，則y＝﹣5，∴C（0，﹣5），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴D（6，﹣5），∴S△ABD＝AB?|yD|＝（5﹣1）×5＝10．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，配方法，對(duì)稱性，三角形的面積求法，求出點(diǎn)D坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．19．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖所示，拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）當(dāng)a＝﹣時(shí)，①求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；②如果點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，當(dāng)△OMP是以O(shè)M為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接BD、CD，當(dāng)四邊形OBDC是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，求a的值．【分析】（1）①當(dāng)a＝﹣時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；②證明△PFM≌△OEP（AAS），則PE＝MF，則﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，即可求解；（2）當(dāng)四邊形OBDC是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，則BC的中點(diǎn)為該圓的圓心，故OQ＝DQ，即可求解．【解答】解：對(duì)于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x＝5或﹣1，令x＝0，則y＝﹣5a，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（5，0）、（0，﹣5a），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣9a）．（1）①當(dāng)a＝﹣時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣（x+1）（x﹣5），則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（5，0）、（0，2）；②過點(diǎn)P作y軸的平行線交過點(diǎn)M與x軸的平行線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣（x+1）（x﹣5）），∵∠MPO＝90°，∴∠MPF+∠OPE＝90°，∵∠OPE+∠POE＝90°，∴∠POE＝∠MPF，∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，∴△PFM≌△OEP（AAS），∴PE＝MF，則|﹣（x+1）（x﹣5）|＝x﹣2，解得x＝﹣或4或0或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（4，2）或（0，2）或（，﹣）；（2）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣5a），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣9a）．當(dāng)四邊形OBDC是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，則BC的中點(diǎn)為該圓的圓心，設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)Q，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)Q（，﹣a），則OQ＝DQ，即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，解得a＝±．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形全等、勾股定理的運(yùn)用等，綜合性強(qiáng)，難度適中．20．（2022?松江區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝2x+8與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）P是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點(diǎn)M、N．①當(dāng)MN＝AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②聯(lián)結(jié)OP交AB于點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)時(shí)，求的值．【分析】（1）先根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入y＝﹣x2+bx+c即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）①證明△PMN∽△OBA，可得，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（﹣4＜m＜0），則PM＝﹣m2﹣4m，又OA＝4，OB＝8，建立方程求解即可得出答案；②連接OP交AB于點(diǎn)C，先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式可求得C（﹣，），再證明點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得C（﹣2，4），建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵直線y＝2x+8與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，∴令x＝0，則y＝8，令y＝0，則x＝﹣4，∴B（0，8），A（﹣4，0），∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，∴，∴，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）①∵P是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點(diǎn)M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（﹣4＜m＜0），則M（m，2m+8），P（m，﹣m2﹣2m+8），∴PM＝﹣m2﹣2m+8﹣（2m+8）＝﹣m2﹣4m，∵B（0，8），A（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝8，∵M(jìn)N＝AB，∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，∴P（﹣2，8）；②如圖，連接OP交AB于點(diǎn)C，∵PN∥x軸，P（m，﹣m2﹣2m+8），∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為﹣m2﹣2m+8，令y＝﹣m2﹣2m+8，則2x+8＝﹣m2﹣2m+8，解得：x＝，N（，﹣m2﹣2m+8），∵點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，M（m，2m+8），∴C（﹣，），由①知：∠MPN＝90°，又點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，∴PC＝CM＝CN，∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，∵PM∥y軸、PN∥x軸，∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，∴AC＝OC，BC＝OC，∴AC＝BC，∴點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴C（﹣2，4），∴﹣＝﹣2，解得：m＝±2，∵﹣4＜m＜0，∴m＝﹣2，∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝8﹣8，∵PM∥y軸，∴△PCM∽△OCB，∴＝＝＝﹣1，故的值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，難度不大，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（2022?崇明區(qū)二模）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交直線BC于點(diǎn)F，交拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；（3）如果將△ECF沿直線CE翻折，點(diǎn)F恰好落在y軸上點(diǎn)N處，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱軸可得關(guān)于a、c的方程組，解方程組可得答案；（2）首先利用點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，則∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，設(shè)F（m，﹣m+3），則E（m，﹣m2+2m+3），表示出EF和CF的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，從而解決問題；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得CF＝EF，從而得出m的方程，即可解決問題．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，所以，所求的拋物線的解析式是：y＝﹣x2+2x+3；（2）由題意得：B（3，0），C（0，3），∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，∴∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，設(shè)F（m，﹣m+3），則E（m，﹣m2+2m+3），∴，當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，①若，則，∴或m＝0（舍去），∴，②若，則，∴或m＝0（舍去），∴，∴EF＝或；（3）∵△CEN是由△CEF沿直線CE翻折而得，∴CN＝CF，∠NCE＝∠ECF，∵NC∥EF，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF，∵，解得：（舍去），∴，所以，N的的坐標(biāo)是．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握平行線與角平分線得出等腰三角形是解決問題（3）的關(guān)鍵．22．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，直線AE交y軸于點(diǎn)F．①用m的代數(shù)式表示直線AE的截距；②在△ECF的面積與△EAD的面積相等的條件下探究：在y軸右側(cè)存在這樣一條直線，滿足：以該直線上的任意一點(diǎn)及點(diǎn)C、F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于△EAD面積，試用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)符合條件的直線．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式，再利用配方法將拋物線表達(dá)式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①設(shè)點(diǎn)E（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），利用待定系數(shù)法求得直線AE的解析式為y＝（4﹣m）x+8﹣2m，即可得出答案；②當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線AE于點(diǎn)H，則H（1，12﹣3m），可得S△EAD＝DH?（xE﹣xA）＝（3m﹣3）（m+2），再求得S△ECF＝CF?m＝×2m×m＝m2，根據(jù)題意可得：m2＝（3m﹣3）（m+2），解得m＝，故符合條件的直線為x＝；當(dāng)點(diǎn)E在y軸與對(duì)稱軸之間時(shí)，過點(diǎn)E作平行y軸的直線交AD于點(diǎn)K，利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y＝3x+6，可得K（m，3m+6），進(jìn)而可得S△EAD＝EK×（xD﹣xA）＝（﹣m2﹣m+2），建立方程求解即可得出符合條件的直線為x＝．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+8，∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，9）；（2）①設(shè)點(diǎn)E（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），直線AE的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AE的解析式為y＝（4﹣m）x+8﹣2m，∴直線AE的截距為8﹣2m；②∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，9），∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線AE于點(diǎn)H，如圖1，則H（1，12﹣3m），∴DH＝9﹣（12﹣3m）＝3m﹣3，∴S△EAD＝DH?（xE﹣xA）＝（3m﹣3）（m+2），由①知：直線AE的截距為8﹣2m，即F（0，8﹣2m），又C（0，8），∴CF＝8﹣（8﹣2m）＝2m，∴S△ECF＝CF?m＝×2m×m＝m2，由題意：S△ECF＝S△EAD，∴m2＝（3m﹣3）（m+2），解得：m＝或m＝，∵0＜m＜4，∴m＝，根據(jù)同底等高的三角形面積相等可得：過點(diǎn)E且平行y軸的直線上任意一點(diǎn)及點(diǎn)C、F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于△EAD面積，∴符合條件的直線為x＝；當(dāng)點(diǎn)E在y軸與對(duì)稱軸之間時(shí)，過點(diǎn)E作平行y軸的直線交AD于點(diǎn)K，如圖2，∵A（﹣2，0）、D（1，9），∴直線AD的解析式為y＝3x+6，∴K（m，3m+6），∴EK＝﹣m2+2m+8﹣（3m+6）＝﹣m2﹣m+2．∴S△EAD＝EK×（xD﹣xA）＝（﹣m2﹣m+2），∵S△ECF＝S△EAD，∴（﹣m2﹣m+2）＝m2，解得：m＝或m＝（舍去），∴符合條件的直線為x＝，綜上所述，符合條件的直線為x＝或x＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，拋物線的頂點(diǎn)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，直線的截距，三角形面積等，運(yùn)用等底等高的三角形面積相等解決問題是解題關(guān)鍵．23．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線的對(duì)稱軸沿x軸的正方向平移，平移后交x軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線BC的垂線，垂足為點(diǎn)G．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）以點(diǎn)G為圓心，BG為半徑畫⊙G；以點(diǎn)E為圓心，EF為半徑畫⊙E．當(dāng)⊙G與⊙E內(nèi)切時(shí)．①試證明EF與EB的數(shù)量關(guān)系；②求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線y＝a（x+1）（x﹣3），再將點(diǎn)C代入即可求出a的值，從而得出答案；（2）①分兩種情形，當(dāng)r⊙G＞r⊙E時(shí)，則GB﹣EF＝GE，則EF＝EB，當(dāng)r⊙G＜r⊙E時(shí)，則EF﹣GB＝GE，設(shè)EF＝5t，F(xiàn)G＝3t，GE＝4t，則5t﹣GB＝4t，則GB＝t＜GE＝4t，從而得出矛盾；②由．設(shè)BD＝t，則DE＝，利用勾股定理得BE＝，則F坐標(biāo)為（3﹣t，3t），代入拋物線解析式，從而解決問題．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0）．設(shè)拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，4），∴4＝﹣3a．解得．∴拋物線的表達(dá)式是；（2）①由于⊙G與⊙E內(nèi)切，當(dāng)r⊙G＜r⊙E時(shí)，則EF﹣GB＝GE，設(shè)EF＝5t，F(xiàn)G＝3t，GE＝4t，則5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上．又∵已知點(diǎn)E在線段BC上，∴矛盾，因此不存在．當(dāng)r⊙G＞r⊙E時(shí)，則GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，F(xiàn)D⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴設(shè)BD＝t，則DE＝；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐標(biāo)為（3﹣t，3t），∵F點(diǎn)在拋物線上，∴，∴解得，t＝0（點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，舍去）．∴F坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圓與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)等知識(shí)，根據(jù)⊙G與⊙E內(nèi)切，得出EF＝EB是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022?寶山區(qū)模擬）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；（3）設(shè)P為直線AD上一點(diǎn)，且以A、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）求出D（2，1），再由待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（3）（3）設(shè)P（t，﹣t+1），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t＝1+3＝4，則P（4，3）；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1＝3+t，則P（﹣2，﹣3）；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t+1＝3，則P（2，1），此時(shí)不能構(gòu)成平行四邊形．【解答】解：（1）設(shè)y＝ax2+bx+c，將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴D（2，1），設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣1；（3）設(shè)P（t，t﹣1），①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t＝1+3＝4，∴P（4，3）；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1＝3+t，∴t＝﹣2，∴P（﹣2，﹣3）；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t+1＝3，∴t＝2，∴P（2，1），此時(shí)﹣3+0≠1+0，∴P（2，1）不符合題意；綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣2，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．25．（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在x軸下方，聯(lián)結(jié)PA．當(dāng)∠PAB＝∠ACO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)AQ平分∠PAC時(shí)，求拋物線平移的距離．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AC、AP，可證得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；（3）如圖2，連接AQ、PQ，過點(diǎn)P作PE⊥PA交AQ于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PQ于點(diǎn)F，可證得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系數(shù)法求得直線AE的解析式為y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得拋物線平移的距離．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），∴，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+4x﹣3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AC、AP，則∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣4t+3，又OA＝1，OC＝3，∵∠PAB＝∠ACO，∴△APD∽△CAO，∴＝，即＝，∴3t2﹣13t+10＝0，解得：t1＝1（舍去），t2＝，當(dāng)t＝時(shí)，﹣t2+4t﹣3＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣∴P（，﹣）；（3）如圖2，連接AQ、PQ，過點(diǎn)P作PE⊥PA交AQ于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PQ于點(diǎn)F，由（2）知：P（，﹣），∠PAC＝90°，∴PD＝，AD＝﹣1＝，∠ADP＝90°，∵將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴D、P、Q在同一條直線上，∴∠APD+∠EPF＝90°，∵∠PFE＝90°＝∠ADP，∴∠PEF+∠EPF＝90°，∴∠APD＝∠PEF，∵AQ平分∠PAC，∴∠PAE＝∠PAC＝×90°＝45°，又PE⊥PA，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP＝PE，∴△APD≌△PEF（AAS），∴PF＝AD＝，EF＝PD＝，∴E（，﹣），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AE的解析式為y＝﹣2x+2，當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣2x+2＝﹣2×+2＝﹣，∴Q（，﹣），∵﹣﹣（﹣）＝，∴拋物線y＝﹣x2+4x﹣3向下平移了個(gè)單位．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三