18.2.2+菱形（第1課時(shí)+菱形的性質(zhì)）+課件+2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期

18.2.2

菱形第1課時(shí)

菱形的性質(zhì)1.菱形的定義：有______________的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質(zhì)圖示邊菱形的四條____都相等.符號(hào)語言：

四邊形

是菱形,

_

___一組鄰邊相等邊

對(duì)角線菱形的對(duì)角線__________且互相平分.符號(hào)語言：

四邊形

是菱形,

_

___,

____,

____菱形的每一條對(duì)角線平分一組______.符號(hào)語言：

四邊形

是菱形,

_______

,

互相垂直

對(duì)角

續(xù)表3.菱形是軸對(duì)稱圖形，有____條對(duì)稱軸.4.菱形的面積（1）菱形的一邊×____________;（2）兩條對(duì)角線乘積的______.兩該邊上的高一半&1&

利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

跟蹤訓(xùn)練

D

2.若菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是____.20

&2&

利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明

跟蹤訓(xùn)練

&3&

菱形面積的計(jì)算

方法點(diǎn)撥

菱形是特殊的平行四邊形，所以求菱形的面積時(shí)，可以利用平行四邊形的面積公式求解，也可以利用對(duì)角線乘積的一半求解.跟蹤訓(xùn)練5.若菱形的周長(zhǎng)為16，高為2，則菱形的面積為(

)

CA.4

B.6

C.8

D.32

96強(qiáng)化練習(xí)1.菱形不具備的性質(zhì)是(

)

DA.對(duì)邊平行

B.對(duì)角線互相垂直C.菱形是軸對(duì)稱圖形

D.對(duì)角線一定相等

CA.6

B.12

C.24

D.48

B

C

16

D

探究新知平行四邊形矩形

前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),就成為了矩形.有一個(gè)角是直角思考如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形菱形鄰邊相等定義：菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納有一組鄰邊相等的平行四邊形.探究新知活動(dòng)

在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問題:問題1菱形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,指出它的對(duì)稱軸.是，兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸.問題1根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?菱形的兩條對(duì)角線有什么關(guān)系?

猜想1

菱形的四條邊都相等.

猜想2

菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，ABCOD證一證求證:(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.∴AB=CD，AD

=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）.又∵AB=AD,∴AB

=

BC

=

CD

=AD.解：（2）∵AB=AD,ABCOD∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.知識(shí)歸納對(duì)邊相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等四邊相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角矩形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)對(duì)角相等對(duì)角線互相平分對(duì)邊相等平行四邊形的性質(zhì)

比較菱形的對(duì)角線和平行四邊形的對(duì)角線，我們發(fā)現(xiàn)，菱形的對(duì)角線把菱形分成4個(gè)全等的直角三角形，而平行四邊形通常只被分成兩對(duì)全等三角形.探究新知

由菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，你能求出它的面積嗎？FMNEGABDCO問題2

菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形的面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積呢?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直,那么能否利用對(duì)角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢?E過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高=BC·AE.能如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O,試用對(duì)角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.菱形的面積計(jì)算有如下方法：歸納(1)一邊長(zhǎng)與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半．例題與練習(xí)例1如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD．求兩條小路的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．A

B

C

D

O

解：∵花壇ABCD是菱形，1.四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，練習(xí)∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∴△ABO是直角三角形，∴BO==3∴AC=2AO=8，BD=2BO=62.菱形ABCD的兩條對(duì)角線BD、AC長(zhǎng)分別是6cm和8cm，求菱形的周長(zhǎng)和面積.解：菱形的邊長(zhǎng)==5.（cm）

練習(xí)C菱形ABCD=4×5=20（cm）

例2如圖，在菱形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．BO＝DOB．∠DAC＝∠BACC．AC⊥BDD．AO＝DOD例3如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH.求證：∠DHO＝∠DCO.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠OHB＝∠OBH.∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，又∵AB∥CD，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.∴∠OHB＝∠ODC.∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.3．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．兩組對(duì)邊分別平行

B．兩組對(duì)角分別相等C．對(duì)角線互相平分

D．四條邊相等D練習(xí)4．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH等于____．5．如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：CE＝CF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.ADFCBE

菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．歸納課堂小結(jié)菱形的性質(zhì)菱形性質(zhì)有關(guān)計(jì)算邊1.周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)的四倍2.面積=底×高=兩條對(duì)角線乘積的一半角對(duì)角線1.兩組對(duì)邊平行且相等；2.四條邊相等兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)鄰角互補(bǔ)1.兩條對(duì)角線互相垂直平分；2.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.1菱形第2課時(shí)菱形的判定導(dǎo)入新課有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質(zhì)兩組對(duì)邊平行四條邊相等兩組對(duì)角分別相等鄰角互補(bǔ)兩條對(duì)角線互相垂直平分邊角對(duì)角線回顧菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：AB=AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形.數(shù)學(xué)語言有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD思考

還有其他的判定方法嗎？探究新知活動(dòng)前面我們用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？ABCOD已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O

，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.證一證 ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是線段AC的垂直平分線.

∴BA=BC.

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.命題1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.命題2：四條邊都相等的四邊形是菱形.已知：四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.證明：∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=BC，∴ABCD是菱形.ADCB知識(shí)歸納對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：∵在□ABCD中，AC⊥BD,四條邊都相等的四邊形是菱形AB=BC=CD=AD幾何語言描述：∴四邊形

ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：四邊形ABCDABCD知識(shí)歸納∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，例題與練習(xí)例1如圖，ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5，

AO=4，BO=3.

求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵

OA=4,OB=3,AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，∴四邊形ABCD是菱形.解：這是一個(gè)菱形.練習(xí)1.一個(gè)平行四邊形的一條邊長(zhǎng)是9，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是12和6，這是一個(gè)特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.BCDAOAO=CO=AC=6，BO=DO=BD=3.在△ABO中，S菱形ABCD=AC·BD=36BCDAO∵AO2+BO2=（3）2+62=81，AB2=92=81，∴△ABO是直角三角形，∴AC⊥BD，∴ABCD是菱形.例2如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，試問四邊形AEDF是菱形嗎？說明你的理由．解：四邊形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四邊形AEDF是菱形．例3如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AF＝DC；解：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝DB.∵AD是BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC；解：四邊形ADCF是菱形．證明如下：由(1)知，AF＝