四川省廣安第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

秘密★啟用前2023年秋廣安二中高2022級第二次月考數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班次、學(xué)號、智學(xué)網(wǎng)號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線化為斜截式方程得出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】將直線化為斜截式方程為，斜率.設(shè)直線的傾斜角為，則.又，所以.故選：C.2.設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.3.已知，，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線列出關(guān)于的方程，由此求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，解得，故選：A.4.如圖，在四面體中，是的中點．設(shè)，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算直接得解.【詳解】由是的中點，可知，所以，故選：D.5.已知表示的曲線是圓，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方程配方后得，根據(jù)圓的半徑大于0求解.【詳解】由方程可得，所以當時表示圓，解得.故選：C.6.已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線上的點到焦點的最近距離為，結(jié)合離心率計算可得答案.【詳解】結(jié)合題意：雙曲線上的點到焦點的最近距離為，因為雙曲線離心率為，所以，解得，故雙曲線的方程為.故選：B.7.直線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)范圍是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】確定直線恒過定點，確定曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，由直線與圓位置關(guān)系解決即可.【詳解】由題知，直線恒過定點，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，當直線經(jīng)過點時，與曲線有2個交點，此時，不滿足題意，直線記為，當直線經(jīng)過點時，與曲線有1個交點，此時，滿足題意，直線記為，如圖，當直線與半圓相切時，由，解得，直線記為，由圖知，當或，與曲線有1個交點，故選：C8.已知為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及通徑，可得，，再根據(jù)已知列式，結(jié)合橢圓的關(guān)系，求出離心率即可.【詳解】為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，由橢圓的性質(zhì)，可得.過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知數(shù)列的通項公式為，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列 B.C.為最小項 D.為最大項【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，利用分離常數(shù)法得出，結(jié)合及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A、C、D；求得即可判斷B．【詳解】，當()時，，且單調(diào)遞減；當()時，，且單調(diào)遞減，則為最小項，為最大項，故C、D正確，A錯誤；，，則，故B錯誤，故選：CD．10.已知曲線C的方程為，則下列說法正確的是（）A.存在實數(shù)，使得曲線為圓B.若曲線C為橢圓，則C.若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則D.當曲線C是橢圓時，曲線C的焦距為定值【答案】AC【解析】【分析】按圓和圓錐曲線的標準方程逐項判斷即可.【詳解】A正確：曲線C為圓即；B錯誤：C為橢圓C正確：C為焦點在x軸上的雙曲線，D錯誤：C是橢圓，此時焦距，不是定值.故選：AC11.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，M為PD的中點，則（）A.直線CM與AD所成角余弦值為 B.C. D.點M到直線BC的距離為【答案】ABD【解析】【分析】過A作，垂足為E，以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量法逐一判斷各個選項即可.【詳解】過A作，垂足為E，則，以A為原點，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，因為，所以直線CM與AD所成角的余弦值為，故A正確；因為，所以B正確；因為，所以BM與PC不垂直，故C不正確；設(shè)點M到直線BC的距離為d，則，即點M到直線BC的距離為，故D正確．故選：ABD.12.已知圓：，過直線：上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（）A.若點，則直線的方程為B.面積的最小值為C.直線過定點D.以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過點【答案】BCD【解析】【分析】對A：計算出過、、三點的圓的方程，再兩圓方程相減即可得到；對B：當最小時，的面積會有最小值；對C：設(shè)出點坐標，再計算出直線的方程，求定點即可得到；對D：可尋找特殊點，如A選項中，計算發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過點即可得到.【詳解】A選項，若，則直線的方程為，，以P為圓心，4為半徑的圓的方程為，即，由，兩式相減得，，故A錯誤；B選項，到直線：的距離為，而，所以的最小值為，所以面積的最小值為，故B正確；C選項，設(shè)，，線段的中點坐標為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得：，由，兩式相減得，即，由，解得，所以直線過定點，故C正確；D選項，由A選項，由，解得或,即，，，即此時以線段為直徑的圓不經(jīng)過點，故D正確．故選：BCD.三?填空題：本大題共4小題，把答案填寫在題中橫線上．13.直線與直線的距離為__________.【答案】##0.7【解析】【分析】把直線方程化為，利用兩平行線之間的距離公式，即可求解結(jié)果．【詳解】由直線，可化為，則直線和直線之間的距離．故答案為：14.已知，則向量在上的投影向量的坐標是______．【答案】【解析】【分析】由已知得出的坐標，然后求出投影向量即可得出答案.【詳解】因為，，所以，向量在上的投影向量是，其坐標為.故答案為：.15.已知拋物線：的焦點為，，為上一點，則的最小值為________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】過作準線的垂線，垂足為，則，顯然點在拋物線內(nèi)，則當，，三點共線時，最小，其最小值為．故答案為：16.如圖,我們把由半橢圓：和半橢圓:合成的曲線稱作“果圓”.,是曲線的焦點,是曲線的焦點,則的周長為______.過且斜率為的直線交曲線于兩點,則=________．【答案】①.②.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓方程，求得三個焦點坐標，結(jié)合距離公式求得的周長即可.(2)根據(jù)點斜式得出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，代入弦長公式即可.【詳解】(1)由題意得的周長為故答案為：.(2)根據(jù)題意得直線的方程為將直線與曲線聯(lián)立,得設(shè)則弦長.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列前項和為．（1）試寫出數(shù)列的前項；（2）求的通項公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由數(shù)列的前項和公式,得代入運算即可.(2)根據(jù)得驗證綜合可得的通項公式.【小問1詳解】數(shù)列前項和為,【小問2詳解】由題得時,又不符合上式,18.已知的三個頂點，D為BC的中點.求：（1）中線AD所在直線的方程；（2）BC邊上的高所在直線的方程.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）求出BC的中點D坐標，求出中線AD所在直線的斜率，代點斜式即可求解.（2）求出直線的斜率，即可得到BC邊上的高線的斜率，利用直線方程的點斜式，即可求解.【小問1詳解】BC的中點，中線AD所在直線的斜率為，所以BC邊上的中線AD所在直線的方程為，即.【小問2詳解】、，BC邊斜率k，則BC邊上的高線的斜率k＝，所以BC邊上的高線所在直線的方程為，即.19.已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點和．（1）求圓C的標準方程；（2）若過點直線l與圓C交于A，B兩點，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）點和的中垂線經(jīng)過圓心，兩直線聯(lián)立方程得圓心坐標，再利用兩點間距離公式求解半徑.（2）已知弦長，求解直線方程，分類討論斜率是否存在.【小問1詳解】點和中點為，,所以中垂線的，利用點斜式得方程為，聯(lián)立方程得圓心坐標為，所以圓C的標準方程為.【小問2詳解】當過點的直線l斜率不存在時，直線方程為，此時弦長，符合題意.當過點的直線l斜率存在時,設(shè)直線方程為，化簡得，弦心距，所以，解得，所以直線方程為.綜上所述直線方程為或.20.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.【小問1詳解】證明：取中點，連接，為的中點，，又，，四邊形為平行四邊形：，平面平面，平面；【小問2詳解】平面平面，平面平面平面，平面，取中點，連接，則平面，，，又，如圖以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，，，設(shè)平面的一個法向量，，則，取，則，平面的一個法向量可取，設(shè)平面與平面所成的夾角為，,平面與平面所成的夾角的余弦為21.已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線過點，且與曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）不妨設(shè)，，，由可得，結(jié)合韋達定理運算求解.【小問1詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由條件可得，即，則根據(jù)雙曲線的定義可知，點是以，為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支，則，可得，所以曲線的方程為．【小問2詳解】由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，由于且直線的斜率不等于0，不妨設(shè)，，，則，，由可得，聯(lián)立方程，消去x得則，由韋達定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直線，即.22.已知橢圓的上頂點為，左、右焦點分別為，，離心率，的面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓相交于點，，則直線，的斜率分別為，，且，，其中是非零