第03講平方差和完全平方公式（知識(shí)解讀達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（原卷版）

第03講平方差和完全平方公式【題型1平方差公式運(yùn)算】【題型2利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】【題型3平方差公式的逆運(yùn)算】【題型4平方差公式的幾何背景】【題型5完全平方公式】【題型6完全平方公式下得幾何背景】【題型7完全平方公式的逆運(yùn)算】考點(diǎn)1：平方差公式平方差公式：語(yǔ)言描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.考點(diǎn)2：平方差公式的特征抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類(lèi)型：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【題型1平方差公式運(yùn)算】【典例1】（2023春?渭南期中）計(jì)算（3a+2）（3a﹣2）＝．【變式11】（2023春?蕉城區(qū)校級(jí)月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，則a2﹣b2＝．【變式12】（2023春?雙峰縣期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝．【變式13】（2023春?埇橋區(qū)期末）計(jì)算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝．【題型2利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】【典例2】（2023春?佛岡縣期中）19992﹣1998×2002．【變式21】（2023?皇姑區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）簡(jiǎn)便運(yùn)算：20222﹣2020×2024．【變式22】（2023春?安鄉(xiāng)縣期中）計(jì)算：20222﹣2021×2023．【變式23】（2023春?渭濱區(qū)期末）用整式乘法公式計(jì)算：899×901+1．【題型3平方差公式的逆運(yùn)算】【典例3】（2023春?海陽(yáng)市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項(xiàng)式x﹣2y的值是．【變式31】（2023春?遼陽(yáng)期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，則n﹣m等于．【變式32】（2023春?廣饒縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，則a+b的值為．【變式33】（2023春?甘州區(qū)校級(jí)期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，則＝．【題型4平方差公式的幾何背景】【典例4】（2023春?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成壟一個(gè)矩形．（1）通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的等式是：．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）D．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②計(jì)算：；【變式41】（2023春?高明區(qū)月考）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）如圖1到圖2的操作能驗(yàn)證的等式是．（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）當(dāng)4m2＝12+n2，2m+n＝6時(shí)，則2m﹣n＝；（3）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【變式42】（2023春?清遠(yuǎn)期末）如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：（選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）；C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）請(qǐng)應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：2022×2024﹣20232；（2）計(jì)算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【變式43】（2023春?屏南縣期中）乘法公式的探究及應(yīng)用：如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成兩個(gè)直角梯形后，再拼成一個(gè)等腰梯形．?（1）通過(guò)計(jì)算左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式計(jì)算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．考點(diǎn)3：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：考點(diǎn)4：拓展、補(bǔ)充公式；；；.【題型5完全平方公式】【典例5】（2023春?碭山縣校級(jí)期末）計(jì)算：（x+4）2﹣x2＝．【變式51】（2023春?威寧縣期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，則（x﹣y）2＝．【變式52】（2023春?東港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，則n的值為．【變式53】（2023春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【題型6完全平方公式下得幾何背景】【典例6】（2023秋?綠園區(qū)校級(jí)月考）為創(chuàng)建文明校園環(huán)境，高校長(zhǎng)制作了“節(jié)約用水”“講文明，講衛(wèi)生”等宣傳標(biāo)語(yǔ)，標(biāo)語(yǔ)由如圖①所示的板材裁剪而成，其為一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形板材，將長(zhǎng)方形板材沿圖中虛線剪成四個(gè)形狀和大小完全相同的小長(zhǎng)方形標(biāo)語(yǔ)，在粘貼過(guò)程中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)標(biāo)語(yǔ)可以拼成圖②所示的一個(gè)大正方形．（1）用兩種不同方法表示圖②中小正方形（陰影部分）面積：方法一：S小正方形＝；方法二：S小正方形＝；（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系為；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【變式61】（2023春?甘州區(qū)校級(jí)期中）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2x、寬為2y的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀剪成四個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形，然后按圖2所示拼成一個(gè)正方形．（1）你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于．（2）試用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．方法1：；方法2：．（3）根據(jù)圖2你能寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若x+y＝4，xy＝3，則（x﹣y）2＝．【變式62】（2023?永修縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖①所示是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積（直接用含m，n的代數(shù)式表示）．方法一：；方法二：．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，請(qǐng)你寫(xiě)出代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：a+b＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【變式63】（2023春?湖州期中）閱讀理解：若x滿(mǎn)足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設(shè)30﹣x＝a，x﹣10＝b．則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解決問(wèn)題：（1）若x滿(mǎn)足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如圖，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，點(diǎn)E、F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x．分別以FC、CE為邊在矩形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若矩形CEPF的面積為160平方單位，求圖中陰影部分的面積和．【題型7完全平方公式的逆運(yùn)算】【典例7】（2023春?永豐縣期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【變式71】（2023春?都昌縣期末）已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【變式72】（2023春?周村區(qū)期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【變式73】（2022秋?大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．一．選擇題（共10小題）1．（2023?東營(yíng)模擬）對(duì)于任意有理數(shù)a，b，現(xiàn)用“☆”定義一種運(yùn)算：a☆b＝a2﹣b2，根據(jù)這個(gè)定義，代數(shù)式（x+y）☆y可以化簡(jiǎn)為（）A．xy+y2 B．xy﹣y2 C．x2+2xy D．x22．（2022秋?官渡區(qū)期末）若（x+m）2＝x2+8x+16．則m的值為（）A．4 B．±4 C．8 D．±83．（2023秋?城中區(qū)校級(jí)期中）已知x﹣y＝5，xy＝4，則x2+y2的值為（）A．10 B．17 C．26 D．334．（2023?虎林市校級(jí)二模）下列運(yùn)算正確的是（）A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6 C．（﹣m）3?m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n25．（2023春?電白區(qū)期末）已知a+b＝7，a﹣b＝8，則a2﹣b2的值是（）A．11 B．15 C．56 D．606．（2023春?西安期末）下列各式中，能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（a+2b）（2a﹣b） B．（a﹣3）（﹣a+3） C．（x﹣3）2 D．（2x+y）（2x﹣y）7．（2023春?興賓區(qū)期末）已知x+y＝1，x﹣y＝3，則xy的值為（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣28．（2023秋?藁城區(qū)期末）如圖，從邊長(zhǎng)為a+1的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虛線剪開(kāi)，再拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），則該矩形的面積是（）A．4a B．2a C．a(chǎn)2﹣1 D．29．（2023秋?大冶市期末）在下面的正方形分割方案中，可以驗(yàn)證（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的圖形是（）A． B． C． D．10．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝16，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（）A．（x﹣p）2＝14 B．（x+p）2＝14 C．（x﹣p）2＝18 D．（x+p）2＝16二．填空題（共5小題）11．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）若9x2+kx+4是一個(gè)完全平方式，則k的值為．12．（2023秋?永善縣期末）若多項(xiàng)式x2+kx+25是完全平方式，則k的值是．13．（2023秋?龍巖期末）若a2﹣b2＝15，a+b＝﹣3，則a﹣b的值為．14．（2023秋?豐澤區(qū)期末）邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為b的正方形DEFG按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)A，D，G在同一直線上．已知a+b＝10，ab＝24．則圖中陰影部分的面積為．15．（2023秋??？谄谀└鶕?jù)圖，利用面積的不同表示方法寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式．三．解答題（共4小題）16．（2023秋?宜州區(qū)期末）計(jì)算：（3+a）（3﹣a）+（a+1）2．17．（2023秋?雷州市期末）若x，y滿(mǎn)足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x﹣y；（3）x3y+xy3．18．（2023秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（2）若要拼出一個(gè)面積為（a+2b）（a+b）的矩形，則需要A號(hào)卡片多少?gòu)?，B號(hào)卡片多少?gòu)?，C號(hào)卡片多少?gòu)垼?）根據(jù)（1