2021-2023年高考數(shù)學真題分類匯編18 坐標系與參數(shù)方程、不等式選講

專題18坐標系與參數(shù)方程、不等式選講

知識點目錄

知識點1：不等式選講之面積問題

知識點2：不等式選講之證明不等式、范圍問題

知識點3：直角坐標方程與極坐標方程互化

知識點4:，的幾何意義

近三年高考真題

知識點1：不等式選講之面積問題

1.(2023?甲卷(文))設a>0,函數(shù),f(x)=2|x-a|-a.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲線y=/(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求a.

2.(2023?乙卷(文))已知f(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x),,6-x的解集；

(2)在直角坐標系xOy中，求不等式組八所確定的平面區(qū)域的面積.

[x+y-6,,0

3.(2023?甲卷(理))已知/(幻=2|X一〃|一々，tz>0.

(1)解不等式f(x)<x；

(2)若曲線y=/(x)與x軸所圍成的面積為2,求

知識點2：不等式選講之證明不等式'范圍問題

4.(2022?乙卷(文))已知a,b,c都是正數(shù)，且/+扇+癡=i,證明:

(1)abc;,g;

b+ca+ca+b”

5.(2022?甲卷(文))已知a,h,。均為正數(shù)，且/+廿+4/=3,證明:

(1)Q+/?+2G,3；

(2)若b=2c,則LL.3.

6.(2021?乙卷(文))己知函數(shù)/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當a=l時，求不等式/。)..6的解集;

(2)若求〃的取值范圍.

知識點3:直角坐標方程與極坐標方程互化

7.（2021?乙卷（文））在直角坐標系中,」C的圓心為C（2,l）,半徑為1.

（1）寫出二。的一個參數(shù)方程；

（2）過點尸（4,1）作C的兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的

極坐標方程.

2-+-t--

8.（2022?甲卷（文））在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為｛6為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方

x=__2__+_s

程為一6'（s為參數(shù)）.

y=-4s

（1）寫出C1的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cos6-sin9=0,求C,

與C交點的直角坐標，及C：與C2交點的直角坐標.

9.（2022?乙卷（文））在直角坐標系X。），中，曲線C的參數(shù)方程為卜=6c°s”,（/為參數(shù)）.以坐標原點為

y=2sinr

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為夕sin（e+^）+%=0.

（1）寫出/的直角坐標方程；

（2）若/與C有公共點，求m的取值范圍.

10.（2023?乙卷（文））在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲

線G的極坐標方程為0=2sin。（（知B與,曲線二2sina（0為參數(shù)，］<0<〃）?

（1）寫出G的直角坐標方程;

(2)若直線y=x+機既與G沒有公共點，也與G沒有公共點、求用的取值范圍?

知識點4：/的幾何意義

Ix=2+/cosct

11.(2023?甲卷(理))已知P(2,l),直線/:一..。為參數(shù))，a為/的傾斜角，/與x軸，y軸正半

[y=l+fsina

軸交于A,8兩點，|PA|-|PB|=4.

(1)求a的值；

(2)以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求/的極坐標方程.

12.(2023?甲卷(文))已知點P(2,l),直線/:,.為參數(shù))，a為/的傾斜角，/與x軸正半軸、

[y=1+/sina

y軸正半軸分別交于A,B,且|P4|“P8|=4.

(1)求a；

(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求/的極坐標方程.

專題18坐標系與參數(shù)方程、不等式選講

知識點目錄

知識點1：不等式選講之面積問題

知識點2：不等式選講之證明不等式'范圍問題

知識點3：直角坐標方程與極坐標方程互化

知識點4：/的幾何意義

近三年高考真題

知識點1：不等式選講之面積問題

1.(2023?甲卷(文))設a>0,函數(shù)f(x)=2|x-a|-a.

(1)求不等式f(x)<x的解集；

(2)若曲線y=/(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求。.

【解析】(1)。>(),.,.當x..a時，f(x)=2(x-a)-a=2x-3a?

當不<。時，/(x)=-2(x-a)-a=-2x+a,

則當x..a時，由/(x)<x得2x-3“<x,X<3Q,此時④X<3Q,

當時，由/(x)<x得一2X+QVX,X>~^9此時

綜上］<x<3"，即不等式的解集為q，3a).

(2)作出了(x)的圖象如圖:

則A(-,0),8(—,0),C(a,-a),貝11A8|=即一州=a,

2222

則AABC的高/i=a,

則SMBC=2，得。2=4,即3=2.

2.(2023?乙卷(文))已知/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x),,6-x的解集；

(2)在直角坐標系xOy中，求不等式組八所確定的平面區(qū)域的面積.

[x+y-6,,0

【解析】(1)當"2時,f(x)=2x+x-2=3x-2,

當0cx<2時，/(x)=2x-x+2=x+2,

當用,0時，f(x)=-2x-x+2=-3x+2,

則當x..2時，由/得3x—2,6—x,得4工,8,即用,2,此時x=2.

當0cx<2時，由)(X),,6—元得x+2,6-x,得2xv4,即x<2,此時0vxv2.

當用,0時，由f(x),,6—x得一3x+2,6—x,得2x.「4,即",一2,此時一2領k0.

綜上-2觸2,即不等式的解集為[-2,2J.

y..2\x\+\x-2\

(2)不等式組C等價為

x+y-6?0x+y-6,,0

作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：則5。2),￡>(0,6),

得戶；

由,即C(2,4),

y=x+2[y=4

x+y-6=0fx=—2

得：｛，即A(-2,8),

y=-3x+2[y=8

則陰影部分的面積++—+.

3.(2023?甲卷(理))已知/(工)=2|工一〃|一々，ez>0.

(1)解不等式/(x)<x；

(2)若曲線)，=/(%)與工軸所圍成的面積為2,求

【解析】(1),f(x)=2\x-a\-a?。>0,

二./(%)<%可化為:

2\x-a\-a<x?

:.2\x-a\<x+a,

/.-(x+a)<2(x-a)<x+a,

3x>a

今，又a>0,

x<3a

一<x<3ci，

3

???原不等式的解集為九)'其中

2x-3a,x..a

(2)f(x)=2\x-a\-a=，a>0,

a-2x,x<a

.?./(%)的對稱軸為x=a,且最低點的坐標為(a,-〃)

令/(x)=2|x-a|-a=0,可得f(x)的兩零點分別為x=@和工=與

函數(shù)圖象大致如下:

，曲線y=/（x）與x軸所圍成的面積為』x（至-當xa=2,

解得4=2.

知識點2:不等式選講之證明不等式、范圍問題

333

4.（2022?乙卷（文））已知。，b,c都是正數(shù)，且/+扇+9=1,證明：

（1）aba,g；

/八abc1

（2）+----+----?—

b+ca+ca+b21abe

【解析】（1）證明：a,b,c都是正數(shù)，

333_2

空+樂+U..3面,當且僅當a=b=c=3三時，等號成立.

333

因為“5+京+Q=1,

所以1..3（〃bc）2,

11

所以].（而C）2,

所以Hc,,l，得證.

（2）根據(jù)基本不等式人+c..2癡，a+c..2\[ac,a+h..2>fah,

333333

.a+b+ca+b+c_a2+b2+c2_a2+b2_1

b+ca+ca+h2>fbc2y[ac2y[ah2\[abc24abe2y[abclyjahc2\[abc

當且僅當。=人=。時等號成立，故得證.

5.（2022?甲卷（文））已知a,b,。均為正數(shù)，且/+/+4。2=3,證明：

（1）。+人+2G,3；

(2)若b=2c,貝H+1..3.

ac

【解析】證明：(1)a,b,c均為正數(shù)，且/+從+4,2=3,

由柯西不等式知,(a2+b2+4c2)(12+12+12)..(?+/?+2c)2,

EP3x3..(Q+Z?+2c)2f:a+b+2<^,3；

當且僅當〃=〃=2c,BPa=fo=l,c=J時取等號；

2

(2)法一、由(1)知，a+b+2G,3且。=2c,

故0<a+4q,3,則—1—.」，

a+4c3

由權方和不等式可知，-+-=-+—^―3,當且僅當工=2,即a=i,c，時取等號,

aca4ca+4。a4c2

故LL.3.

ac

法二、山(1)知，a+4G,3,當且僅當a=2c=l等號成立，

111JL111、/,、

/.-+-=o3..-?(—+-)?(?+4c)

ac3ac3ac

=-(—+-+5)...-(2,/—--+5)=3,當?shù)﹥H當a=2c=l等號成立,

3ac3\ac

故'+L.3.

ac

6.(2021?乙卷(文))已知函數(shù)/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當。=1時，求不等式/(?..6的解集；

(2)若/(x)>-a,求。的取值范圍.

—2.x-2,兄，—3

【解析】(1)當。=1時，/(X)=|X-1|4-|X+3|=M,-3<X<1,

2x+29x..l

用，-31一3<冗<1卜..1

一2九一2..6以14..6[2x4-2..6

.二不，一4或X..2,

?,.不等式的解集為(TO,-4]J[2,+oo).

(2)f(x)=\x-a\+\x+3\..\x-a-x-3\^a+3\f

若f(x)>-。，貝ij|a+31>-a,

當a.O時，不等式恒成立；

當〃<0時，一.>0,不等式|i+3|>-a兩邊平方可得/+6a+9>/,解得一二<白<(),

2

綜上可得，”的取值范圍是(-|,+oo).

知識點3:直角坐標方程與極坐標方程互化

7.(2021?乙卷(文))在直角坐標系X。)，中，C的圓心為C(2,l),半徑為1.

(1)寫出的一個參數(shù)方程；

(2)過點尸(4,1)作[C的兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的

極坐標方程.

【解析】(D3c的圓心為C(2,l),半徑為1,

則：C的標準方程為(x-2)2+(>-1)2=1,

I1*—0-4-COS0

C的一個參數(shù)方程為一.二(。為參數(shù)).

[y=1+sin”

(2)由題意可知兩條切線方程斜率存在，

設切線方程為y-1=左。一4),即日一丁一4%+1=0,

圓心C(2,l)到切線的距離"=吐二竺」=1,解得&=±且，

心+13

所以切線方程為'=±?1)+1,

因為x=pcos。，y=psin。，

n

所以這兩條切線的極坐標方程為夕sin。=±y(夕cos。-4)+1.

8.(2022?甲卷(文))在直角坐標系xO)，中，曲線G的參數(shù)方程為""一1'(/為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方

、y=W

2+5

程為《一6'(s為參數(shù)).

,y=->/s

(1)寫出G的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G,的極坐標方程為28s6-sin，=o,求C3

與G交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標.

2+t

X=---,

【解析】(1)由6(f為參數(shù))，消去參數(shù)￡,

可得C,的普通方程為y2=6x-2(y..0)；

2+s

X=------,

(2)由?6(S為參數(shù))，消去參數(shù)6,

y=-&

可得G的普通方程為V=-6x-2（%0）.

由2cos9-sine=0,得2/7cos。一夕sin，=0,

則曲線G的直角坐標方程為2x-y=O.

1

%=一為x=\

聯(lián)立解得2或

j=2

」二1

，C3與G交點的直角坐標為d，D與(1,2)；

x=-\

聯(lián)立解得x__］或

y=-2

）=-1

C3與C2交點的直角坐標為(-1,-1)與(-1,-2).

X=^COS”,?為參數(shù)).以坐標原點為

9.(2022?乙卷(文))在直角坐標系X。)，中，曲線C的參數(shù)方程為＜

y=2sinr

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為psinS+()+,〃=().

(1)寫出/的直角坐標方程；

(2)若/與C有公共點，求機的取值范圍.

jrjrjr

【解析】（1）由夕Sin（8+1）+m=0,得夕（5缶％057+85。$吊5）+m=0,

；/?sin6+亨Pcose+〃？=0,

I

Xx=pcosd,y=psind,/.—y^-—^-x+m=0,

即I的直角坐標方程為JIr+y+2"?=0；

x=8cos2%為參數(shù)）,

(2)由曲線C的參數(shù)方程為

y=2sinr

消去參數(shù)t,可得丁=一芋*+2,

6x+y+2"?=0

聯(lián)立、2月，得3y2一2〉一4加一6=0（-2領52）.

y2=-----x+2

3

4m=3y2-2y-6,

令8（〉）=3/一2〉-6（-2領52）,

可得g（y）〃麗=g（；）=；-［一6=-*當>=-2時,g（y）M=g（—2）=10,

ioio5

10,-—^in

3122

.?.，〃的取值范圍是［-2,-］.

122

10.（2023?乙卷（文））在直角坐標系直力中，以坐標原點。為極點，工軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲

線C1的極坐標方程為夕=2sin6（?領投行,曲線G｛；［；：：：3為參數(shù)，%<a<a

（1）寫出a的直角坐標方程；

（2）若直線>=x+m既與G沒有公共點，也與G沒有公共點、求m的取值范圍.

【解析】（1）曲線G的極坐標方程為夕=2sin。（（麴8I），

x=pcosd

根據(jù)y=psin0轉換為直角坐標方程為f+（y—爐=1,

x2+y2=p1

因為三領B?—^$,04，x=pcos0=2sin0cos0=sin20e[O,1],

422

y=psin^=2sin20=l-cos2^e[l,2],

所以G的直角坐標方程為V+（y—1尸=1,xe[0,1],yc[l,2]；

（2）由于曲線G的方程為Y+（y-l）2=l,（噴*1,啜52）,曲線C,:｛「（a為參數(shù)，-<a<7c）,

-[y=2sina2

轉換為直角坐標方程為Y+y2=4,（-2<x<0,0<y<2）；

如圖所示：

由于y=x與圓G相交于點（1，D，即，"=0,

當，w<0時，直線y=x+m與曲線C1沒有公共點;

當曲線。2與直線y=x+相相切時，圓心G（°，°）到直線y=工+%的距離d==2，解得加=20（負值

V2

舍去）,

由于直線y=x+m與曲線C2沒有公共點，

所以機＞2血，

故直線y=x+m既與&沒有公共點，也與G沒有公共點、實數(shù)機的取值范圍為（ro,（））U（2及,y）.

知識點4：r的幾何意義

Ix=2+/cosct

11.（2023?甲卷（理））已知尸（2,1）,直線/:一。為參數(shù)），a為/的傾斜角，/與x軸，y軸正半

[y=1+fsiniz

軸交于A,3兩點，|PA|」P8|=4.

（1）求a的值；

（2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求/的極坐標方程.

■X=2+1cosa

，.。為參數(shù)），/與x軸，y軸正半軸交于A,B兩點,

{y=l+tsina

\PA\-\PB\=4.

令X=0,解得4=—―,令y=。，解得/2=..—?

cosasin