2023-2024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣高二年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）

模擬試題

一、單選題

1.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2,…,

840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間［481,720］的人數(shù)為

A.11B.12C.13D.14

【正確答案】B

【詳解】試題分析：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人.

從編號1?480的人中，恰好抽取480/20=24人，

接著從編號481-720共240人中抽取240/20=12人

系統(tǒng)抽樣

2.拋物線y=4/的焦點坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.總0.償

【正確答案】C

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可得拋物線的焦點坐標(biāo).

【詳解】將拋物線y=4/的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為P=L,開口向上，焦點在y軸的正

半軸上，

所以焦點坐標(biāo)為（（*）.

故選：C.

3.已知兩直線4：x-y+6=O與/2：-3x+3y—2=0,則4與4間的距離為（）

A.口B.—C.百D,當(dāng)叵

33

【正確答案】B

【分析】把直線4的方程化簡，再利用平行線間距離公式直接計算得解.

【詳解】直線4的方程化為：+1=顯然，“〃2，

所以4與4間的距離為d=」6-字=述

#7（^73

故選：B

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入。的值為-1,則輸出5=()

A.2B.-3C.3D.-4

【正確答案】B

【分析】利用程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)依次計算即可

【詳解】初始化數(shù)值a=-l，k=l,S=0,循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：

第一次：S=0—1=—1,a=l,k=2；

第二次：S=-1+2=1,a=—1,k=3；

第三次：S=l—3=—2,a=\,k=4；

第四次：S=—2+4=2,a=—1,k=5；

第五次：S=2—5=—3,a=\,k=6；

結(jié)束循環(huán)，輸出S=-3.

故選:B.

5.用2,3,4這3個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個三位數(shù)是偶數(shù)”與事件“這個

三位數(shù)大于342”()

A.是互斥但不對立事件B.不是互斥事件

C.是對立事件D.是不可能事件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意列舉出所有可能性，進(jìn)而根據(jù)各類事件的定義求得答案.

【詳解】由題意，將2,3,4組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶數(shù)有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件.

故選：B.

6.“機(jī)>6”是“方程9+丫2-蛆+4y+機(jī)+7=0是圓的方程”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】若方程X?+y2-,〃x+4y+m+7=0表示圓，則（一根）。+4。-4（機(jī)+7）>0,

即*-4〃?-12>0,解得，">6或機(jī)<-2,

故"，">6”是“方程x2+y2-mx+4y+m+7=0是圓的方程”的充分不必要條件，

故選：A

7.命題。:若”>6,且必>0,則lnf>0,命題4：在一ABC中，若A>B,則sin4>sin5.

b

下列命題中為真命題的是（）

A<

A.（-1/7）AqB.P7C.p/\（F）D.（->p）A（->g）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題P的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦

定理可判斷命題q的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：若且燦>o,則o<￡,

b

當(dāng)a>8>0時，—>1,所以In丁>0,

bb

當(dāng)0>a>%時，0<-<1,所以In^vO,

bb

綜上命題P為假命題，則f為真命題，

在一ABC中，若A>B,則

由正弦定理得sinA>sinB,

所以命題4為真命題，r為假命題，

所以（一叩）八4為真命題，0A4,p八5q）,（力）八（F7）為假命題.

故選：A.

8.在矩形ABC￡>中，AB=i,BC=&，P4_L平面ABC￡>，PA^\,則PC與平面ABC。所

成角是.

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正確答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A8CO的法向量以及直線PC方向向量，利用空間向

量夾角余弦公式可求出PC與平面A8CQ所成角.

【詳解】4°

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P（0,0,l）,C（l,上,0卜.尸C=（l,夜,—1）,

易知平面A8CD的一個法向量為〃（0,0,1）,

.〔PC與平面ABCD所成的角為30,故選A.

求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，

利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利

用空間向量夾角余弦公式求解即可.

9.已知直線/：9=十+加與曲線x=有兩個公共點,則實數(shù)〃，的取值范圍是（）

A.[一2,2旬B.（-2>/2,-2]C.12,2旬D.（-2^,2]

【正確答案】B

【分析】畫出圖像,當(dāng)直線/過點A,8時，求出機(jī)值;當(dāng)直線/與曲線犬=7?二丁相切時?求出優(yōu),

即可得出，"的取值范圍.

【詳解】畫出如下圖像:

當(dāng)直線/過點A8時，相=-2,此時直線/與

曲線x=二手有兩個公共點；

直線/與曲線相切時,％=-2&,

因此當(dāng)_20＜利4-2時，直線/與

曲線》=斤丁有兩個公共點.

故選B

本題考查了直線與圓相切時滿足的關(guān)系，以及點到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想，準(zhǔn)確判斷出曲線方程所表示曲線形狀，且根據(jù)題意畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

10.已知三棱錐P-MC的各頂點都在同一球面上，且PAL平面ABC,AB=2,4c=1,

ZACB=90°,若該棱錐的體積為名叵，則此球的表面積為（）

3

A.16乃B.204C.8）D.5乃

【正確答案】B

作出三棱錐，找出球心的位置，進(jìn)而求出球的半徑，根據(jù)球的表面積公式即可求解.

【詳解】作出三棱錐P-ABC,如圖：

因為PA_L平面ABC,則

又因為NAC8=90。，所以8CJ.AC,由ACcPA=A,

所以BC/平面P4C,所以BCJ_PC,

所以PCB為直角三角形，

又」P鉆為直角三角形，

所以三棱錐P-ABC的外接球球心在P8的中點上，

V?AKr=-SAHC-PA=-x-xlxy/3-PA=^-,解得*4,

r~~riOV3./iOV33

所以PB=y/4?+22=2石,

故三棱錐P-ABC的外接球半徑r=0，

所以外接球表面積為4萬產(chǎn)=4]x5=20萬.

故選：B

11.設(shè)40,6）,點B為雙曲線C：W-1=1（a>（U>0）的左頂點，線段A8交雙曲線一條漸近

a-b-

3

線于C點，且滿足cosNOCB=y,則該雙曲線的離心率為（）

A.@B.6C.D.75

23

【正確答案】D

先求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)余弦定理即可求出.

【詳解】解：40，。），3（-。,0）,

b

二?直線A3的方程為y=—x+b,

a

h

拋物線的一條漸近線方程為J=--x,

a

由余弦定理可得^=4+V-2X^X^X1，

44225

整理可得5a2=/,

即e=￡=石，

a

故選：D.

本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，以及余弦定理和離心率公式，屬于中檔題.

12.如圖，在單位正方體中，點P在線段AR上運動，給出以下四個命題:

Di

wCi

①異面直線AP與BG間的距離為定值；

②三棱錐。-BPG的體積為定值；

③異面直線GP與直線C4所成的角為定值；

④二面角P-BC「。的大小為定值.

其中真命題有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【正確答案】D

【詳解】對于①，異面直線AP與BG間的距離即為兩平行平面AORA和平面8"聲間的

距離，即為正方體的棱長，為定值.故①正確.

=

對于②，由于^D-BPC,Vp-DBc、,而SADBC,為定值，又P^AD\,AD\〃平面BDC\,所以點P

到該平面的距離即為正方體的棱長，所以三棱錐O-8PG的體積為定值.故②正確.

對于③，由題意得在正方體ABCD-ABCR中，BlC,平面ABC\D\,而ClPu平面ABC\D\,

所以81CLC1P,故這兩條異面直線所成的角為90。.故③正確；

對于④，因為二面角P-BC1-D的大小，即為平面ABC\D\與平面BDC\所成的二面角的大

小，而這兩個平面位置固定不變，故二面角P-BG-。的大小為定值.故④正確.

綜上①②③④正確.選D.

二、填空題

13.已知圓G：x2+y2+2x+3^+l=0,圓C?：%2+/+4x+3y+2=0,則圓G與圓G的

位置關(guān)系是.

【正確答案】相交

【分析】把兩個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點間的距

離公式求出兩圓心的距離，與半徑和與差的關(guān)系比較即可知兩圓位置關(guān)系.

2

9

【詳解】G：Y+y2+2x+3y+l=0化為(x+iy+卜+|

4

2217

C2:X+/+4x+3y+2=0化為(x+2)+

I),半徑分別為:

則兩圓圓心分別為：CJ-2,

姮+3>i>姮-3

圓心距為d=1,

2222

所以兩圓相交.

故相交.

14.某公司的班車在8：00準(zhǔn)時發(fā)車，小田與小方均在7：40至8：00之間到達(dá)發(fā)車點乘坐

班車，且到達(dá)發(fā)車點的時刻是隨機(jī)的，則小田比小方至少早5分鐘到達(dá)發(fā)車點的概率為

9

【正確答案】

【分析】設(shè)小田到達(dá)發(fā)車點的時間為x,小方到達(dá)發(fā)車點的時間為》(為>)所構(gòu)成的區(qū)域為

。={(x,y)140<x<60,40<y<60},小田比小方至少早5分鐘到達(dá)發(fā)車點為事件

A={(x,y)|y-x>5},作出示意圖，利用面積型的幾何概型的概率計算公式計算即可.

【詳解】設(shè)小田到達(dá)發(fā)車點的時間為x,小方到達(dá)發(fā)車點的時間為》a，y)所構(gòu)成的區(qū)域為

Q={(x,y)|40<x<60,40<y<60},對應(yīng)的面積S=2()x2()=4(X),則小田比小方至

少早5分鐘到達(dá)發(fā)車點為事件4={(*q)及-*25},作出示意圖，則符合題意的區(qū)域為

_A5C及其內(nèi)部區(qū)域，聯(lián)立解得C(55,60),聯(lián)立[)'一：二5,解得以40,45),

[y=60[y=40

1225

則SMC=2><15X15=；-，由幾何概型的概率計算公式，知小田比小方至少早5分鐘到

225

達(dá)發(fā)車點的概率為三二9.

400-32

本題考查面枳型的幾何概型的概率計算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道中檔題.

15.設(shè)函數(shù)yu)=|x+〃|,g(x)=x-1,對于任意的xGR,不等式也(x)恒成立，則實數(shù)a

的取值范圍是.

【正確答案】［-1,+oo)

【分析】對于VxeR,不等式〃x)2g(x)恒成立，等價于/(x)=|x+a|的圖象在g(x)=x-1

的圖象上方，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可求出實數(shù)。的取值范圍.

不等式y(tǒng)(x)溝(X)恒成立

如圖，作出函數(shù)4x)=|x+a|與g(x)=x-l的圖象，

觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)一把1,即生一1時，不等式兀r依(x)恒成立，

因此a的取值范圍是［―I,+oo).故答案為［―1,+oo).

本題主要考查利用函數(shù)圖象解答不等式恒成立問題，屬于中檔題.不等式恒成立問題常見方

法：①分離參數(shù)aN/(x)恒成立(aN/(x)niM即可)或a4/(x)恒成立(a〈/(了心即可)；

②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值/(可僦20或/(司皿*40

恒成立；④討論參數(shù).

16.過拋物線V=2px(p>0)的焦點F作斜率大于0的直線/交拋物線于A,5兩點(4在B

I4/7I

的上方)，且/與準(zhǔn)線交于點C,若CB=3BF,則焉=_________.

IBF\

【正確答案】2

分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，%由耨=隅=摺可求

【詳解】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4，4,

設(shè)|BF|=x,\AF\=y,則但旦1=空」=y31,

又'\BC\\BC\\AC\

.y_i.空=上=2

**y+x+3x3'"\BF\x'

故2.

三、解答題

17.己知P：X2-7X+10<0,q：x2-4;nx+3w2<0.其中機(jī)>0.

(1)若機(jī)=4且。八4為真，求x的取值范圍；

(2)若F是▼的充分不必要條件，求實數(shù)，”的取值范圍.

【正確答案】(1)4Vx<5；(2)|</n<2

【分析】(1)由?人<7為真，可知P，。都為真，進(jìn)而求出命題PM,可得到答案；

(2)先求出命題P，4,由F是力的充分不必要條件，可得P是4的充分不必要條件，進(jìn)

而可列出不等式，求出實數(shù)”?的取值范圍.

【詳解】由V-7x+10<0,解得2cx<5,所以P：2<x<5,

又/一4mx+3???vO,且〃2>0,解得"zvx<3相，所以4.〃2c工〈3機(jī)

(1)當(dāng)m=4時，q：4cxv12,

因為〃八夕為真，所以〃國都為真，所以4Vx<5.

(2)因為F是力的充分不必要條件，所以〃是4的充分不必要條件，

m<2

3m>5,解得*4%42.

因為。：2<x<5,q：m<x<3m,所以，

m>0

本題考查一元二次不等式的解法，考查利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)的范圍，考查充分不必要

條件的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于中檔題.

18.從某小區(qū)隨機(jī)抽取40個家庭，收集了這40個家庭去年的月均用水量（單位：噸）的數(shù)

據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.

分組頻數(shù)

[2,4)2

[4,6)10

[6,8)16

[8,10)8

[10,12]4

合計40

（1）求頻率分布直方圖中。，6的值；

（2）從該小區(qū)隨機(jī)選取一個家庭，試估計這個家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；

（3）在這40個家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個容量

為7的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2個家庭，求其中恰有一個家庭的月均

用水量不低于8噸的概率.

4

【正確答案】⑴""2；⑵0.7；⑶1

【詳解】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖中小矩形的高的實際意義進(jìn)行求解；（2）利用頻

率來估計概率；（3）先利用分層抽樣得到各層抽得的人數(shù)，列舉出所有基本事件和滿足要求

的基本事件，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解.

試題解析：（1）因為樣本中家庭月均用水量在［4,6）上的頻率為￡=0.25,

40

在［6,8）上的頻率為2=0.4,

40

0.25八…,0.4”

所以〃=---=0.125,b=—=0.2

22

（2）根據(jù)頻數(shù)分布表，40個家庭中月均用水量不低于6噸的家庭共有16+8+4=28個，

所以樣本中家庭月均用水量不低于6噸的概率是黑=0.7.

40

利用樣本估計總體，從該小區(qū)隨機(jī)選取一個家庭，可估計這個家庭去年的月均用水量不低于

6噸的概率約為0.7

（3）在這40個家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個容量

為7的樣本，

則在［6,8）上應(yīng)抽取7x普=4人，記為A8,C,D,

28

Q

在［8,10）上應(yīng)抽取7x2=2人，記為￡,產(chǎn)，

28

在口0,12］上應(yīng)抽取7乂4?=1人，記為G

28

設(shè)“從中任意選取2個家庭，求其中恰有1個家庭的月均用水量不低于8噸”為事件，

則所有基本事件有：{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C］，{氏￡>},{8,E事件「卜

{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G］,{F,G］,共21種.

事件包含的基本事件有：{AE},{AF},{AG},

{8,E},{8,1},{B,G},{C,EMC,F},{C,G},{￡>,?,{￡>,產(chǎn)},{￡>,G},共12種.

124

所以其中恰有一個家庭的月均用水量不低于8噸的概率為

1.頻率分布直方圖；2.分層抽樣；3.古典概型.

19.從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個家庭，獲得第i個家庭的月收入七（單位：千元）與

101010

月儲蓄%（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，計算得工占=80，2%=2°，2y=184,

1=11=1f=l

10

2>；=720.

J=1

(i)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程。=隊+機(jī)

(2)判斷變量X與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

(3)利用(1)中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并

預(yù)測當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額.附：線性回歸方程系數(shù)公式.

/__

工占必一"

y=中，?-*a-y-bxy其中x，y為樣本平均值.

E2-2

X：-nx

i=l

【正確答案】(l)y=0.3尤一0.4

(2)正相關(guān)

(3)1.7千元

【分析】(1)由題意得到”=10,求得反9，進(jìn)而求得分,儲寫出回歸方程；.

(2)由方=0,3>0判斷;

(3)將x=7代入回歸方程求解.

【詳解】(1)由題意知

-13800-1320c

n—10,x=—>x：=—=8,y=—>y：=-=2,

lOtT，1010210

__

貝ljb=耳---------=0.3,a=y-bx=-0.4,

i=l

所以所求回歸方程為y=0.3x—0.4.

(2)因為匕=0.3>0，

所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).

(3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為>=0.3x7-0.4=1.7(千元).

20.已知拋物線)，2=2px(p>0)的焦點為F,過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A,B兩

點，|AB|=4.

(1)求拋物線的方程；

（2）過點尸的直線/交拋物線于P,Q兩點，若40。。的面積為4,求直線/的斜率（其中

0為坐標(biāo)原點）.

【正確答案】（1）/=4x；（2）土B.

3

【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及拋物線通徑的性質(zhì)可得2〃=4,從而可得結(jié)果；（2）設(shè)

直線/的方程為卜=碎-1）,「（4,乂）,。（七,%），x=Rl代入V=4x,得爐_?_4=0,

利用弦長公式，結(jié)合韋達(dá)定理可得的歸。值，由點到直線的距離公式，根據(jù)三角形面積公式

可得S8°=:|PQ|M="客=4,

從而可得結(jié)果.

2\K\

【詳解】（1）由拋物線的定義得A、B到準(zhǔn)線的距離都是P,

所以|AB|=2p=4,

所以拋物線的方程為V=4x.

（2）設(shè)直線/的方程為y=A（x-l）,P（x/,yi）,Q（X2,yi）-

因為直線/與拋物線有兩個交點，

所以原0,得x=4+l，代入f=4x,得/一冬一4=0,且△=黑+16>0恒成立,

kKK

4

則%+>2=:，郎=-4,

k

H+0\k\

又點。到直線1的距離d==-fLL=,

ylk2+lylk2+\

所以5嘰=9尸。|刀=如產(chǎn)=4,解得/=；,即Z=±3.

2困33

本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查綜合利用所學(xué)知識解決問題能

力和較強(qiáng)的運算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，

然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.

21.如圖所示，平面ABC。，四邊形AE7方為矩形，BCAD,BAYAD,

AE=AD=2AB=23C=4.

E

（1）求證：CF〃平面A￡>E；

（2）求平面C￡>尸與平面AEE8所成銳二面角的余弦值.

*【正確答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由面面平行判斷定理證平面8FC：平面AOE,再證C/〃平面AZ）E即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由向量法即可求

【詳解】（1）證明：四邊形明歸為矩形，...B尸AE,又5C〃AO,AE、ADu平面ADE,

BF、ADE,故8尸,平面AOE,BC平面AOE,

又BF、BC=B,BF、BCu平面BFC,：.平面BFC/平面ADE,

：CFu平面BFC,：.CF//平面ADE；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則

C（2,2,0）,D（0,4,0）,F（2,0,4）,DF=（2,-4,4）,DC=（2,-2,0）,

/、m-DF=2x-4y+4z=0