124北京市三帆中學2023-2024學年八年級下學期開學考數(shù)學試題

北京三帆中學2025屆初二數(shù)學寒假學習反饋注意：（1）考試時間60分鐘；（2）請將答案填寫在答題紙相應的位置上．一、選擇題（本題共24分，每題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.“”表示此類型的口罩能過濾空氣中的粒徑約為的非油性顆粒．其中，用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：故選B．2.下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查最簡二次根式的判定條件：①被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；②被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．由此逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：A、的被開放數(shù)中含有分數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、是最簡二次根式，故本選項符合題意；C、的被開方數(shù)中在分母中，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．3.下列計算正確的是（）A.x+x2＝x3 B.x2?x3＝x6 C.x9÷x3＝x3 D.（x3）2＝x6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)合并同類項法則及冪運算等相關知識進行計算即可得解．【詳解】選項A，與不是同類項，不可以合并，A選項錯誤；選項B，，B選項錯誤；選項C，，C選項錯誤；選項D，，D選項正確，故選D．【點睛】本題主要考查了合并同類項法則及冪運算的相關內(nèi)容，熟練掌握冪運算的四種運算方法以及合并同類項的相關知識是解決本題的關鍵．4.如圖，，點D，E分別在上，補充下列一個條件后，不能判斷的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)三角形全等的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A、∵，，，根據(jù)即可證明．B、∵，，，根據(jù)即可證明．C、∵，∴，∵，，根據(jù)即可證明．D、∵，，，不能判定．故選：D．5.以下列各組數(shù)為邊長，不能組成直角三角形的是（）A.4，5，3 B.1，1， C.1，2， D.30，60，90【答案】D【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理，只要驗證兩較短邊的平方和是否等于最長邊的平方，即可作出判斷，從而得到答案．【詳解】解：A、，該三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合題意；B、，該三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合題意；C、，該三角形符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，不符合題意；D、，該三角形不符合勾股定理逆定理，故不是直角三角形，符合題意；故選：D．6.如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點落在處的處，折痕為.如果，，，那么下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得結論.【詳解】由折疊得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故選A.【點睛】本題考查了三角形外角的性質，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是關鍵.7.寒風乍起，甲安裝隊為A小區(qū)安裝66臺空調(diào)，乙安裝隊為B小區(qū)安裝60臺空調(diào)，兩隊同時開工且恰好同時完工，甲隊比乙隊每天多安裝2臺．設乙隊每天安裝x臺，根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，找出題目中的關鍵語，找到相應的等量關系是解決問題的關鍵，注意工作時間=工作總量÷工作效率．利用“兩隊同時開工且恰好同時完工”，可得等量關系為：甲隊所用時間=乙隊所用時間．再列方程即可．【詳解】解：乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝臺，甲隊用的天數(shù)為：天，乙隊用的天數(shù)為：天，則列方程為：，故選D．8.如圖，點是線段上一點，，，，．給出下面四個結論：①；②；③；④若，則．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A.②③ B.①③ C.①③④ D.①④【答案】C【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，利用所給條件證明，，，可得①②③，再利用等腰直角三角形的性質，進行角度轉換，判斷④，根據(jù)選項作出正確的輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，，，故①正確；，，，，，，，故②錯誤，，，，，，，根據(jù)勾股定理，可得，故③正確；同理可得為等腰直角三角形，，，，即，，故④正確，故選：C．二、填空題（本題共16分，每題2分）9.點關于軸的對稱點坐標為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了關于軸的對稱點坐標的特征，根據(jù)關于軸的對稱的點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，即可得出答案．【詳解】解：點關于軸的對稱點坐標為，故答案為：．10.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，分式有意義的條件是分母不為0進行求解即可．【詳解】解：∵實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴，故答案為：．11.分解因式：___________．【答案】【解析】【分析】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．原式利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：原式．故答案為：12計算：________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了二次根式乘法計算，同底數(shù)冪乘法的逆運算，積的乘方的逆運算，根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運算，積的乘方的逆運算法則把所求式子變形為，據(jù)此計算求解即可．【詳解】解：，故答案為：．13.如圖，銳角三角形中，直線為的中垂線，直線為的角平分線，與相交于點．若，，則的度數(shù)為________．【答案】##64度【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、等角對等邊、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，由線段垂直平分線的性質得出，由等角對等邊得出，由角平分線的定義得出，從而得出，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得解．【詳解】解：直線為的中垂線，，，直線為的角平分線，，，，，，，，，故答案為：．14.直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8，則斜邊上的高為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應用，三角形面積公式，根據(jù)勾股定理得出斜邊長為，再根據(jù)面積相等，即可得出斜邊上的高．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：斜邊長為，根據(jù)面積相等，設斜邊上的高為，則，解得：，故答案為：．15.已知分式方程＝1的解為非負數(shù)，則a的取值范圍是_____．【答案】a≤﹣1且a≠﹣2【解析】【分析】先把分式方程轉化為整式方程求出用含有a的代數(shù)式表示的x，根據(jù)x的取值求a的范圍．【詳解】解：分式方程轉化為整式方程得，2x+a＝x﹣1移項得，x＝﹣a﹣1，解為非負數(shù)則﹣a﹣1≥0，又∵x≠1，∴a≠﹣2∴a≤﹣1且a≠﹣2，故答案為：a≤﹣1且a≠﹣2．【點睛】本題考查了分式方程的解，解答本題的關鍵是先把分式方程轉化為整式方程，求出方程的解，再按要求列不等式，解不等式．16.我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例，它的發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年左右．楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和．事實上，這個三角形給出了（，2，3，4，5，6）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應著展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數(shù)，等等．人們發(fā)現(xiàn)，當是大于6的自然數(shù)時，這個規(guī)律依然成立．（1）當時，按以上規(guī)律的展開式中第5項的系數(shù)是________；（2）的展開式中各項的系數(shù)的和為________．【答案】①.②.【解析】【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索，得出規(guī)律當時，展開式中各項的系數(shù)的和為是解此題的關鍵．（1）由圖可得：當時，的展開式對應的系數(shù)為，，，，，，，即可得出答案；（2）分別計算出當、、、時，展開式中各項的系數(shù)的和，從而得出當時，展開式中各項的系數(shù)的和為，由此即可得出答案．【詳解】解：（1）由圖可得：當時，的展開式對應的系數(shù)為，，，，，，，故的展開式中第項的系數(shù)為，故答案為：；（2）由圖可得：當時，的展開式對應的系數(shù)為，，故展開式中各項的系數(shù)的和為，當時，的展開式對應的系數(shù)為，，，故展開式中各項的系數(shù)的和為，當時，的展開式對應的系數(shù)為，，，，故展開式中各項的系數(shù)的和為，當時，的展開式對應的系數(shù)為，，，，，故展開式中各項的系數(shù)的和為，…，當時，展開式中各項的系數(shù)的和為，當，的展開式中各項的系數(shù)的和為，故答案為：．三、解答題（本題共60分，第17題16分，第18-22題，每題7分，第23題9分）17.計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，異分母分式加法計算，多項式乘以多項式和整式的加減等計算：（1）先去括號，然后合并同類項即可得到答案；（2）根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求解即可；（3）根據(jù)異分母分式加法計算法則求解即可；（4）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：；【小問4詳解】解：．18.已知，求代數(shù)式的值．【答案】【解析】【分析】先利用分式的減法計算括號內(nèi)的減法運算，再計算分式的乘法即可得到化簡結果，再求出，整體代入化簡結果即可得到答案，此題考查了分式化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：，∵，∴，∴原式19.如圖，電信部門要在公路，之間的區(qū)域修建一座信號發(fā)射塔，按照設計要求，發(fā)射塔到區(qū)域內(nèi)的兩個城鎮(zhèn)，的距離必須相等，到兩條公路，的距離也必須相等，在圖中標出發(fā)射塔的位置．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查了角平分線和線段垂直平分線的實際應用，角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，發(fā)射塔到區(qū)域內(nèi)的兩個城鎮(zhèn)，的距離必須相等，則點P在線段的垂直平分線上，到兩條公路，的距離也必須相等，則點P在直線m和直線n所夾的銳角的角平分線，據(jù)此作圖即可．【詳解】解：如圖所示，作線段的垂直平分線，作直線m和直線n所夾的銳角的角平分線，二者的交點P即為所求．20.如圖，，于，于，、交于，連接，求證：．【答案】證明見解析．【解析】【分析】先根據(jù)三角形全等的判定定理（定理）證出，再根據(jù)全等三角形的性質可得，然后根據(jù)線段的和差即可得證．【詳解】證明：于，于，，在和中，，，，，，即．【點睛】本題考查了垂直的定義、三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵．21.解方程：．【答案】【解析】【分析】去分母化為整式方程，然后求解方程并檢驗即可．【詳解】解：分式兩邊同乘得：，整理化簡得：，解得：，檢驗，當，．是原分式方程的解．【點睛】本題主要是考查了解分式方程，正確地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的關鍵．22.已知，，是的三邊長，是整數(shù)且滿足，求的值．【答案】5或6或7【解析】【分析】本題主要考查了三角形三邊的關系，因式分解的應用，非負數(shù)的性質，利用完全平方公式把已知條件式變形為，則由非負數(shù)的性質可得，再由三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，，是的三邊長，∴，∴，即，∵是整數(shù)，∴的值為5或6或7．23.已知等腰中，，，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，過點作于，連接．（1）如圖1，當時，連接，判斷的形狀為；（2）如圖2，當時，求的度數(shù)；（3）當時，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系．【答案】（1）等邊三角形（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質得到的度數(shù)，和，結合的度數(shù)，根據(jù)有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，即可求解，（2）在和中，根據(jù)三角形內(nèi)角和是，得到，進而確定是等腰直角三角形，由，得到，即可求解，（3）當時，作，通過證明等腰直角三角形，得到，通過證明，得到，即可求解，當時，過點作，通過證明是等腰直角三角形，得到，由，得到，由是等腰直角三角形，得到，，由，得到，即可求解；本題考查了等邊三角形的判定，等腰直角三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，梯形的中位線，解題的關鍵是：通過幾何變換，將所求線段拼接成一條線段．【小問1詳解】解：由旋轉可知，，，是等腰三角形，又，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形，【小問2詳解】解：連接，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故答案為：，【小問3詳解】當時，連接，過點作，交于點，連接，，，，，等腰直角三角形，，，，，是正方形，，，，即：，，，，當時，連接，過點作，交延長線于點，連接，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，是正方形，，，，即：，，，，故答案為：或．四、附加題（本題共20分，第24題6分，第25題8分，第26題6分）24.閱讀材料1：對于兩個正實數(shù)，，由于，所以，即，所以得到，并且當時，．閱讀材料2：若，則，因為，，所以由閱讀材料1可得，，即的最小值是2，只有時，即時取得最小值．根據(jù)以上閱讀材料，請回答以下問題：（1）比較大?。海ㄆ渲校?；（其中）．（2）求代數(shù)式的最小值，并指出此時的值為多少．【答案】（1），（2）當時，有最小值為【解析】【分析】本題考查了分式的混合運算、配方法的應用，讀懂材料并加以運用是解此題的關鍵．（1）根據(jù)求出法比較大小，由材料1進行比較即可得出答案；（2）先將變形為，由閱讀材料2可得當時，有最小值，即可得解．【小問1詳解】解：，，當時，由閱讀材料1可得：，，故答案為：，；【小問2詳解】解：，，，即當時，有最小值，當時，有最小值為．25.為等腰直角三角形，，點是直線上一動點（不與點重合），連接，過點作直線的垂線段，垂足為點，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，．（1）如圖1，當點在線段上時．①求證：；②延長交于點，求證：為的中點．（2）若，直接寫出的最大值和最小值．【答案】（1）①見解析；②見解析（2）的最小值為，最大值為【解析】【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質、三角形全等的判定與性質、旋轉的性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．（1）①由等腰直角三角形的性質可得，由旋轉的性質可得：，，證明，即可得出；②作交的延長線于，則，由等腰直角三角形的性質結合得出，再證明，得出即可得證；（2）由題意得，由（1）②知，取的中點，連接、，由直角三角形的性質可得，由勾股定理可得，由兩點之間線段最短可得：，，即可得出答案．【小問1詳解】證明：①：為等腰直角三角形，，，由旋轉的性質可得：，，，即，在和中，，，；②如圖，作交的延長線于，，則，由旋轉的性質可得：，，，，，，，由①得：，，，，，，在和中，，，，為中點；【小問2詳解】解：，為等腰直角三角形，，由（1）②知，如圖，取的中點，連接、，，，，，由兩點之間線段最短可得：，，即，的最小值為，最大值為．26.在平面直角坐標系中，直線過原點且經(jīng)過第三、第一象限，與軸所夾銳角為．對于點和軸上的兩點，，給出如下定義：記點關于直線的對稱點為，若為等邊三角形，則稱點為，的點．（1）如圖1，若點，，點為，的點，連接，．①；②點的坐標為．（2）已知點，，且點的橫坐標為2．①當時，點為，的點，則；②當時，點為，的點，則．【答案】（1）①；②（2）①；②或【解析】【分析】（1）①過點作軸于，過作軸于，由等邊三角形的性質可得，，，從而得出，，由題意得出與軸所夾銳角為，再由點關于直線的對稱