江蘇省南京市民辦實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

江蘇省南京市民辦實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知x，y滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a2+b2的最小值為（）A．5 B．4 C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件正?？尚杏?，然后求出使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到2a+b﹣2=0．a(chǎn)2+b2的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線2a+b﹣2=0的距離的平方，然后由點(diǎn)到直線的距離公式得答案．【解答】解：由約束條件作可行域如圖，聯(lián)立，解得：A（2，1）．化目標(biāo)函數(shù)為直線方程得：（b＞0）．由圖可知，當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z最?。?a+b=2．即2a+b﹣2=0．則a2+b2的最小值為．故選：B．2.已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則的最小值為（）A. B. C.4 D.2參考答案：A【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到，的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式即可．【詳解】函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，即．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到“”）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到，的關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3.圓關(guān)于對(duì)稱的圓方程是（

）A.

B.C.

D.參考答案：A4.下列各對(duì)方程中，表示相同曲線的一組是（

）A.與 B.與C.與 D.與參考答案：C【分析】依次求取選項(xiàng)中與的范圍,判斷是否一致,再觀察與的關(guān)系是否一致即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,中,中,故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B,為,為或,故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)D,中,中,故D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C,二者一致,故選：C5.雙曲線的漸近線方程為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：試題分析：令,解得考點(diǎn)：雙曲線漸近線的求法.6.已知拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1），則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1），求得=1，即可求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1），∴=1，∴該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查拋物線的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．7.下列結(jié)論正確的是

(

)A．當(dāng)

B．C．

D．參考答案：B8.已知，則A. B. C. D.參考答案：D9.已知雙曲線的兩條漸近線均與相切，則該雙曲線離心率等于（

） A． B． C． D．參考答案：A略10.設(shè)函數(shù)，若，則（

）A．8

B．9

C．10

D．11參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過直線上一點(diǎn)作圓的切線、關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)到圓心的距離為

。參考答案：12.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時(shí)，由n=k（k＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫出n=2時(shí)左邊的表達(dá)式即可，不等式的左邊需要從1加到，不要漏掉項(xiàng)．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（n∈N+，n＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為：；故答案為：13.已知兩點(diǎn)A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】可先設(shè)Q（x，y，z），由點(diǎn)Q在直線OP上可得Q（λ，λ，2λ），則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求，取得最小值時(shí)的λ，進(jìn)而可求Q【解答】解：設(shè)Q（x，y，z）∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），則由點(diǎn)Q在直線OP上可得存在實(shí)數(shù)λ使得=（λ，λ，2λ）則Q（λ，λ，2λ）=（1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ），=（2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ）∴=（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）=2（3λ2﹣8λ+5）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)λ=時(shí)，取得最小值﹣此時(shí)Q（）故答案為：（）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，求出的表達(dá)式，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．14.過點(diǎn)的直線，與圓相較于A、B兩點(diǎn)，則________________。參考答案：15.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是__________．參考答案：∵雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且一條漸近線方程為，∴，∴．16.函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是(

)A．20

B．18

C．3

D．0參考答案：A17.空間三點(diǎn)，，，若A、B、C三點(diǎn)共線，則＝ ．參考答案：9略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某工廠有一批貨物由海上從甲地運(yùn)往乙地，已知輪船的最大航行速度為60海里/小時(shí)，甲地至乙地之間的海上航行距離為600海里，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其他費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比，比例系數(shù)為0.5，其余費(fèi)用為每小時(shí)1250元。(Ⅰ)把全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度（海里/小時(shí)）的函數(shù)；(Ⅱ)為使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？參考答案：（1）由題意得：，

即：

……6分（2）由（1）知，令，解得x=50,或x=-50(舍去)。

……8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

（均值不等式法同樣給分）

……10分因此，函數(shù)在x=50處取得極小值，也是最小值。故為使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以50海里/小時(shí)的速度行駛。

……12分19.某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（2）當(dāng)n≤200時(shí)，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；當(dāng)200＜n≤300時(shí)，EY≤1.2×300+160=520；當(dāng)300＜n≤500時(shí)，n=300時(shí)，（EY）max=640﹣0.4×300=520；當(dāng)n≥500時(shí)，EY≤1440﹣2×500=440．從而得到當(dāng)n=300時(shí)，EY最大值為520元．【解答】解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X=200）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）==0.4，∴X的分布列為：X200300500P0.20.40.4（2）當(dāng)n≤200時(shí)，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，當(dāng)200＜n≤300時(shí)，若x=200，則Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，則Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×+p（x≥300）×2n=0.2+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，當(dāng)300＜n≤500時(shí)，若x=200，則Y=800﹣2n，若x=300，則Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴當(dāng)n=300時(shí)，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，則Y=2n，∴EY=0.2×+0.4+0.4×2n=640﹣0.4n，當(dāng)n≥500時(shí)，Y=，EY=0.2+0.4+0.4=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．綜上，當(dāng)n=300時(shí)，EY最大值為520元．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根據(jù)已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE∥AD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD①．現(xiàn)證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥PD，從而證得CD⊥EF②．結(jié)合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理證得平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD．又AD?平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21.設(shè)：實(shí)數(shù)x滿足，：實(shí)數(shù)x滿足．（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若其中且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0

當(dāng)a=1時(shí)，1＜x＜3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜4，若p∧q為真，則p真且q真

∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，若￢p是￢q的充分不必要條件，則￢p?￢q，且￢q?￢p，設(shè)A={x|￢p}，B={x|￢q}，則A?B，又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，則0＜a≤2，且3a≥4∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是22.(本小題滿分14分)已知可行域的外接圓與

軸交于點(diǎn)

、，橢圓以線段為長(zhǎng)軸，離心率.（I）求圓及橢圓的方程；（II）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線的垂線交直線=2于點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并給出證明．參考答案：(本小題滿分14分)解:（1）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，∵，∴為直角三角形，

………2分∴