2012年上海市長(zhǎng)寧區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2012年上海市長(zhǎng)寧區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如圖，EC與BD交于點(diǎn)A，則下列比例式中不能判斷出DE∥BC的是（）A． B． C． D．2．（4分）已知α是銳角，cosα＝，則α等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．（4分）如圖，若DE是△ABC的中位線，△ABC的周長(zhǎng)為1，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．4．（4分）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）5．（4分）如圖，下列四個(gè)三角形中，與△ABC相似的是（）A． B． C． D．6．（4分）為測(cè)樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測(cè)得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知線段a＝6厘米，c＝3厘米，若b是線段a、c的比例中項(xiàng)，則b＝厘米．8．（4分）已知，那么＝．9．（4分）若向量與單位向量的方向相反，且，則＝．（用表示）10．（4分）已知斜坡的坡度為1：，如果斜坡長(zhǎng)為100米，那么此斜坡的高為米．11．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD邊的中點(diǎn)，若，，則＝．（結(jié)果用、表示）12．（4分）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，若S△ABC＝k?S△GBC，則k＝．13．（4分）拋物線y＝a（x﹣1）2+c的圖象如圖所示，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（，0），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，平移拋物線y＝﹣x2+2x﹣8使它經(jīng)過原點(diǎn)，寫出平移后拋物線的一個(gè)解析式．15．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的黃金分割點(diǎn)，且BE＞CE，AE與BD相交于點(diǎn)F．那么BF：FD的值為．16．（4分）如圖，⊙O的直徑為26cm，弦AB長(zhǎng)為24cm，則點(diǎn)O到AB的距離OP為cm．17．（4分）已知△ABC，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝2．若要在AB上找一點(diǎn)E，使△ADE∽△ABC，則AE＝．18．（4分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)等于．三、解答題：（19、20、21、22題每題10分，23、24題每題12分，25題14分，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：cos45°﹣tan60°+（sin45°﹣cos30°）20．（10分）如圖，已知正方形網(wǎng)格中的向量、先化簡(jiǎn)，再求作：（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量．）21．（10分）如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OC、OD與AB分別交于點(diǎn)E、F，且AE＝BF．求證：．22．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于F，BE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于G．（1）求證：；（2）若GE＝2，BF＝3，求線段EF的長(zhǎng)．23．（12分）在建筑樓梯時(shí)，設(shè)計(jì)者要考慮樓梯的安全程度，如圖1，虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板的夾角為傾角θ，一般情況下，傾角θ愈小，樓梯的安全程度愈高．如圖2，設(shè)計(jì)者為提高樓梯的安全程度，要把樓梯的傾角由θ1減至θ2，這樣樓梯占用地板的長(zhǎng)度由d1增加到d2，已知d1＝4m，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，求樓梯占用地板的長(zhǎng)度增加了多少？（精確到0.01m）參考數(shù)據(jù)：sin36°＝0.5878，cos36°＝0.8090，tan36°＝0.7265，sin40°＝0.6428，cos40°＝0.7660，tan40°＝0.8391．24．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)P是射線DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將三角板的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P，三角板兩直角邊中的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交射線BA于點(diǎn)E．（1）判斷△EAP與△PDC一定相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）設(shè)PD＝x，AE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長(zhǎng)等于△PDC周長(zhǎng)的2倍？若存在，請(qǐng)求出PD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．25．（14分）如圖，點(diǎn)A在x正半軸上，點(diǎn)B在y正半軸上．tan∠OAB＝2．拋物線y＝x2+mx+2的頂點(diǎn)為D，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）將△OAB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處．將上述拋物線沿y軸上下平移后過C點(diǎn)．寫出點(diǎn)C坐標(biāo)及平移后的拋物線解析式；（3）設(shè)（2）中平移后拋物線交y軸于B1，頂點(diǎn)為D1．點(diǎn)P在平移后的圖象上，且S△PBB1＝2S△PDD1，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

2012年上海市長(zhǎng)寧區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如圖，EC與BD交于點(diǎn)A，則下列比例式中不能判斷出DE∥BC的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線的判定定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，進(jìn)行逐項(xiàng)分析解答即可．【解答】解：A、由AE：AC＝AD：AB，即可推出DE∥BC，故本選項(xiàng)不符合題意，B、由AE：EC＝AD：DB，即可推出AE：AC＝AD：AB，便可推出DE∥BC，故本選項(xiàng)不符合題意，C、由AE：AB＝AD：AC，可推出△ABC∽△AED，得∠E＝∠B，并不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)符合題意，D、由EC：AC＝BD：AB，可推出AE：AC＝AD：AB，便可推出DE∥BC，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，平行線的判定定理，比例式的性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握比例式的性質(zhì)．2．（4分）已知α是銳角，cosα＝，則α等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解即可．【解答】解：∵cos30°＝，∴α＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】解答此題要熟記以下三角函數(shù)值：sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝；cot30°＝，cot45°＝1，cot60°＝．3．（4分）如圖，若DE是△ABC的中位線，△ABC的周長(zhǎng)為1，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，DE是△ABC的中位線，△ABC的周長(zhǎng)為1，得DE＝，AD＝，AE＝而解得．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，△ABC的周長(zhǎng)為1，∴DE＝，AD＝，AE＝∴△ADE的周長(zhǎng)為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形的中位線定理，得三角形ADE的邊長(zhǎng)是三角形ABC邊長(zhǎng)的．此題主要是根據(jù)三角形的中位線定理進(jìn)行分析計(jì)算．4．（4分）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】16：壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式一般形式的特點(diǎn)，可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3為頂點(diǎn)式，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．5．（4分）如圖，下列四個(gè)三角形中，與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；S8：相似三角形的判定．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用勾股定理求出△ABC各邊的長(zhǎng)度，求出三邊的比，然后結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解答】解：設(shè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)是1，則AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴AB：AC：BC＝：2：＝1：2：，A、三邊之比是，2：：3≠1：2：，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、三邊之比是，2：4：2＝1：2：，故本選項(xiàng)正確；C、三邊之比是，2：3：≠1：2：，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、三邊之比是，：：4≠1：2：，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，網(wǎng)格圖形的性質(zhì)，分別求出各圖形的三角形的三邊之比是解題的關(guān)鍵，難度不大，但計(jì)算比較復(fù)雜．6．（4分）為測(cè)樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測(cè)得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】利用所給角的正切函數(shù)即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角、俯角的概念，以及三角函數(shù)的應(yīng)用．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知線段a＝6厘米，c＝3厘米，若b是線段a、c的比例中項(xiàng)，則b＝厘米．【考點(diǎn)】S2：比例線段．【分析】由比例中項(xiàng)的定義可以得出a：b＝b：c，然后將a、c的值代入比例式就可以求出其b的值．【解答】解：∵b是線段a、c的比例中項(xiàng)，∴a：b＝b：c，∵a＝6厘米，c＝3厘米，∴6：b＝b：3，∴b2＝18∴b＝±3，∵b≥0，∴b＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道運(yùn)用比例的性質(zhì)解答的題目，考查了比例中項(xiàng)的運(yùn)用．是一道比較簡(jiǎn)單的題目．8．（4分）已知，那么＝﹣．【考點(diǎn)】S1：比例的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先根據(jù)已知條件可求出a＝b，然后再把a(bǔ)的值代入所求式子計(jì)算即可．【解答】解：∵＝，∴a＝b，∴＝＝﹣．故答案是：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出a＝b．9．（4分）若向量與單位向量的方向相反，且，則＝．（用表示）【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答．【解答】解：∵長(zhǎng)度為5，向量是單位向量，∴|a|＝5|e|，∵向量與單位向量的方向相反，∴＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平面向量的知識(shí)，即長(zhǎng)度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向．10．（4分）已知斜坡的坡度為1：，如果斜坡長(zhǎng)為100米，那么此斜坡的高為50米．【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【分析】利用所給的坡度，得到坡角的正弦值，然后求解．【解答】解：∵斜坡的坡度為1：，∴斜坡的高：斜坡的水平距離＝1：．斜坡的高：斜坡的長(zhǎng)＝1：2．∵斜坡長(zhǎng)100米，∴斜坡的高為50米．【點(diǎn)評(píng)】本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可把條件和問題放到直角三角形中進(jìn)行解決．11．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD邊的中點(diǎn)，若，，則＝．（結(jié)果用、表示）【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【專題】31：數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)可得出，，繼而根據(jù)＝﹣可得出答案．【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD邊的中點(diǎn)，∴＝﹣，＝﹣，∴＝﹣＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，及向量的表示方法，難度一般，注意結(jié)合圖形進(jìn)行解答．12．（4分）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，若S△ABC＝k?S△GBC，則k＝3．【考點(diǎn)】K3：三角形的面積；K5：三角形的重心．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，再結(jié)合三角形的面積公式求解．【解答】解：如圖，三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，AG：GD＝2：1，∴S△ABG＝2S△BGD，S△CAG＝2S△CGD，∴△BGC的面積為△ABC的面積的，∴S△ABC＝3S△GBC．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的重心的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式找到三角形的面積比．13．（4分）拋物線y＝a（x﹣1）2+c的圖象如圖所示，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（，0），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2﹣，0）．【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)．【專題】16：壓軸題．【分析】利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱解答即可．【解答】解：∵拋物線y＝a（x﹣1）2+c得對(duì)稱軸為x＝1，∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（xA，0），又∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（，0），則＝1；解得xA＝2﹣．則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2﹣，0）．故答案為：（2﹣，0）．【點(diǎn)評(píng)】考查二次函數(shù)的對(duì)稱性和拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．14．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，平移拋物線y＝﹣x2+2x﹣8使它經(jīng)過原點(diǎn)，寫出平移后拋物線的一個(gè)解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x（答案不唯一）．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】1：常規(guī)題型．【分析】求出拋物線與y軸的交點(diǎn)，然后向上平移8個(gè)單位即可．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣8，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣8），向上平移8個(gè)單位為y＝﹣x2+2x．故答案為：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，先求出與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)，然后平移即可，注意平移前后的拋物線形狀不變，只是位置發(fā)生變化．15．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的黃金分割點(diǎn)，且BE＞CE，AE與BD相交于點(diǎn)F．那么BF：FD的值為．【考點(diǎn)】S3：黃金分割；S4：平行線分線段成比例．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可證△BEF∽△DAF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得BE：DA＝BF：DF，再根據(jù)點(diǎn)E是邊BC上的黃金分割點(diǎn)，得出BE：BC的值，即可求出結(jié)果．【解答】解：ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，BC＝AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA＝BF：DF∵BC＝AD∴BF：DF＝BE：BC，∵點(diǎn)E是邊BC上的黃金分割點(diǎn)，∴BE：BC＝，∴BF：FD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了黃金分割；解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理列出比例式．16．（4分）如圖，⊙O的直徑為26cm，弦AB長(zhǎng)為24cm，則點(diǎn)O到AB的距離OP為5cm．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理．【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答．【解答】解：∵AB⊥OP，OP過圓心∴AP＝AB＝×24＝12cm∵直徑26cm∴OA＝×26＝13cm根據(jù)勾股定理OP＝＝＝5cm則點(diǎn)O到AB的距離OP為5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理，同時(shí)此題還可根據(jù)相交弦定理解答．17．（4分）已知△ABC，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝2．若要在AB上找一點(diǎn)E，使△ADE∽△ABC，則AE＝．【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定．【專題】26：開放型．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，在解答此類題目時(shí)要找出對(duì)應(yīng)的角和邊．18．（4分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)等于2，﹣3，．【考點(diǎn)】LJ：等腰梯形的性質(zhì)．【專題】16：壓軸題．【分析】首先理解題意，得出此題應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，分別是AB＝AE，AB＝BE，AE＝BE，從而得到最后答案．【解答】解：作AM⊥BC，DN⊥BC，根據(jù)已知條件可得，BM＝（BC﹣AD）÷2，在直角三角形ABM中，cosB＝，則AB＝（BC﹣AD）÷2÷cosB＝3，①當(dāng)AB＝AE′時(shí)，如圖，∠B＝45°，∠AE′B＝45°，∴AE′＝AB＝3，則在Rt△ABE′中，BE′＝＝3，故E′C＝4﹣3＝．易得△FE′C為等腰直角三角形，故CF＝＝2．②當(dāng)AB＝BE″時(shí)，∵AB＝3，∴BE″＝3，∵∠AE″B＝∠BAE″＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴∠FE″C＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CFE″＝180°﹣∠C﹣∠FE″C＝67.5°，∵△E″CF為等腰三角形，∴CF＝CE″＝CB﹣BE″＝4﹣3；③當(dāng)AE＝BE′″時(shí)，△ABE′″和△CFE′″是等腰Rt△，∴BE′″＝，∴CE′″＝∴CF＝FE′″＝．故答案為：2，4﹣3，．【點(diǎn)評(píng)】本題要注意分析出現(xiàn)等腰三角形的情況．三、解答題：（19、20、21、22題每題10分，23、24題每題12分，25題14分，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：cos45°﹣tan60°+（sin45°﹣cos30°）【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【專題】11：計(jì)算題．【分析】將cos45°＝，tan60°＝，sin45°＝，cos30°＝代入運(yùn)算，繼而可得出答案．【解答】解：原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握一些特殊角的三角函數(shù)值，是需要我們熟練記憶的內(nèi)容，難度一般．20．（10分）如圖，已知正方形網(wǎng)格中的向量、先化簡(jiǎn)，再求作：（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量．）【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【專題】13：作圖題．【分析】根據(jù)平面向量的概念及運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：原式＝﹣2＝（4分）所求作的向量如下圖所示，就是所求作的向量．（2分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平面向量這一概念及其運(yùn)算法則，難度一般．21．（10分）如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OC、OD與AB分別交于點(diǎn)E、F，且AE＝BF．求證：．【考點(diǎn)】M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】取AB中點(diǎn)G，連接OG并延長(zhǎng)與⊙O交于H．利用圓心角、弧、弦間的關(guān)系可以推知＝；然后根據(jù)AE＝BF以及垂徑定理可知EG＝GF，＝；最后根據(jù)圖形易證得結(jié)論．【解答】證明：取AB中點(diǎn)G，連接OG并延長(zhǎng)與⊙O交于H．∵O是圓心，且G是弦AB的中點(diǎn)，∴＝；∵AG＝BG且AE＝BF，∴EG＝GF；又∵OG過圓心，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓心角弧、弦間的關(guān)系．解答本題時(shí)，通過作輔助線OH構(gòu)建等?。ǎ剑剑﹣碜C明結(jié)論的．22．（10分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于F，BE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于G．（1）求證：；（2）若GE＝2，BF＝3，求線段EF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】A7：解一元二次方程﹣公式法；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】152：幾何綜合題．【分析】（1）由于AD∥BC，易證得△GED∽△GBC；得GE：GB＝DE：BC；已知AE＝DE，代換相等線段后即可得出本題要證的結(jié)論．（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC＝EF：FB，再聯(lián)立（1）得出的比例關(guān)系式，可列出關(guān)于EF的方程，即可求得EF的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）∵AD∥BC∴∠GED＝∠GBC∵∠G＝∠G∴△GED∽△GBC∴∵AE＝DE∴；（3分）（2）∵AD∥BC∴△AEF∽△CBF（4分）∴（5分）由（1）問∴（6分）設(shè)EF＝x，∵GE＝2，BF＝3∴（7分）∴x1＝1，x2＝﹣6（不合題意，舍去）∴EF＝1．（9分）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了梯形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)和解一元二次方程．23．（12分）在建筑樓梯時(shí)，設(shè)計(jì)者要考慮樓梯的安全程度，如圖1，虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板的夾角為傾角θ，一般情況下，傾角θ愈小，樓梯的安全程度愈高．如圖2，設(shè)計(jì)者為提高樓梯的安全程度，要把樓梯的傾角由θ1減至θ2，這樣樓梯占用地板的長(zhǎng)度由d1增加到d2，已知d1＝4m，∠θ1＝40°，∠θ2＝36°，求樓梯占用地板的長(zhǎng)度增加了多少？（精確到0.01m）參考數(shù)據(jù)：sin36°＝0.5878，cos36°＝0.8090，tan36°＝0.7265，sin40°＝0.6428，cos40°＝0.7660，tan40°＝0.8391．【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用．【分析】由題意得：增加部分是CD長(zhǎng)，分別在Rt△ABC，Rt△ABD中利用三角函數(shù)的定義即可求出BC，BD長(zhǎng)，然后利用已知條件即可求出CD長(zhǎng)．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝d1＝4m，∠ACB＝∠θ1＝40°，∴AB＝BC×tan40°＝4tan40°≈3.356m，在Rt△ABD中，BD＝d2，∠ADB＝θ2＝36°，∴BD＝AB÷tan36°≈4.62m∴CD＝d2﹣d1＝BD﹣CB＝4.62﹣4≈0.62m．∴樓梯占用地板的長(zhǎng)度增加了0.62m．【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)兩個(gè)直角三角形共用一條線段時(shí)，應(yīng)先利用三角函數(shù)算出這條線段的長(zhǎng)度．此題還要注意最后計(jì)算結(jié)果要求保留2位小數(shù)，那么在計(jì)算過程中最好保留3位小數(shù)．24．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)P是射線DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將三角板的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P，三角板兩直角邊中的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交射線BA于點(diǎn)E．（1）判斷△EAP與△PDC一定相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）設(shè)PD＝x，AE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長(zhǎng)等于△PDC周長(zhǎng)的2倍？若存在，請(qǐng)求出PD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】2C：存在型．【分析】（1）根據(jù)當(dāng)P在AD邊上時(shí)以及當(dāng)P在AD邊上時(shí)，分別得出三角形相似；（2）根據(jù)若點(diǎn)P在邊AD上或點(diǎn)P在邊DA延長(zhǎng)線上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出y與x的關(guān)系式；（3）假如存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長(zhǎng)等于△PDC的2倍，若點(diǎn)P在邊AD上，若點(diǎn)P在邊DA延長(zhǎng)線上分別得出即可．【解答】解：（1）△EAP∽△PDC，①當(dāng)P在AD邊上時(shí)如圖（1），∵矩形ABCD∠D＝∠A＝90°，∴∠1+∠2＝90°，據(jù)題意∠CPE＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴△EAP∽△PDC，②當(dāng)P在AD延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（2）同理可得△EAP∽△PDC；（2）若點(diǎn)P在邊AD上，據(jù)題意：PD＝x，PA＝6﹣x，DC＝4，AE＝y(tǒng)，又∵△EAP∽△PDC，∴，∴，∴（0＜x＜6），若點(diǎn)P在邊DA延長(zhǎng)線上時(shí)，據(jù)題意PD＝x，PA＝x﹣6，DC＝4，AE＝y(tǒng)，∵△EAP∽△PDC，∴，∴∴（x＞6）；（3）假如存在這樣的點(diǎn)P，使△EAP周長(zhǎng)等于△PDC的2倍，若點(diǎn)P在邊AD上，∵△EAP∽△PDC，∴C△EAP：C△PDC＝（6﹣x）：4，∴（6﹣x）：4＝2，∴x＝﹣2不合題意舍去，若點(diǎn)P在邊DA延長(zhǎng)線上，同理得（x﹣6）：4＝2，∴x＝14，綜上所述：存在這樣的點(diǎn)P滿足題意，此時(shí)PD＝14．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論思想結(jié)合P點(diǎn)位置的不同得出答案是解題關(guān)鍵．25．（14分）如圖，點(diǎn)A在x正半軸上，點(diǎn)B在y正半軸上．tan∠OAB＝2．拋物線y＝x2+mx+2的頂點(diǎn)為D，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）將△OAB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處．將上述拋物線沿y軸上下平移后過C點(diǎn)．寫出點(diǎn)C坐標(biāo)及平移后的拋物線解析式；（3）設(shè)（2）中平移后拋物線交y軸于B1，頂點(diǎn)為D1．點(diǎn)P在平移后的圖象上，且S△PBB1＝2S△PDD1，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；HF：二次函數(shù)綜合題；K3：三角形的面積；R2