13.3.1等腰三角形（一）等腰三角形的性質(zhì)解析版

13.3.1等腰三角形（一）等腰三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)管理瞄準(zhǔn)目標(biāo)，牢記要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究等腰三角形定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)解讀:等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°；等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）；等腰三角形求角度公式：∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝；等腰三角形邊長(zhǎng)需滿足兩邊之和大于第三邊.題型一：等腰三角形定義求邊長(zhǎng)【例題1】（2022·山東德州·七年級(jí)期末）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和12，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．30 B．24 C．18 D．24或30【答案】A【分析】題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．【詳解】當(dāng)三邊6，6，12時(shí)，6+6=12，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；當(dāng)三邊是6，12，12時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)是30．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2021·遼寧大連·八年級(jí)期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm，其中一邊長(zhǎng)為4cm，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（

）A．5cm B．4cm C．3cm或4cm D．2cm或4cm【答案】D【分析】分為兩種情況：4cm是等腰三角形的腰或4cm是等腰三角形的底邊，然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形．【詳解】解：若4cm為等腰三角形的腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為10-4-4=2（cm），此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2cm，4cm，4cm，而4+2＞4，符合三角形的三邊關(guān)系；若4cm為等腰三角形的底邊，則腰長(zhǎng)為（10-4）÷2=3（cm），此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3cm，3cm，4cm，而3+3＞4，符合三角形的三邊關(guān)系；∴等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2cm或4cm，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時(shí)注意三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊．【變式1-2】（2022·甘肅白銀·七年級(jí)期末）已知等腰三角形的兩邊的長(zhǎng)分別為3和6，則它的周長(zhǎng)為（）A．9 B．12 C．15 D．12或15【答案】C【分析】根據(jù)三角形邊的性質(zhì)可知，這個(gè)等腰三角形的腰為6，即可得出答案．【詳解】①若三角形的腰為3，則3+3=6，不能構(gòu)成三角形，故排除此種情況；②若三角形的腰為6，6-6<3<6+6，能構(gòu)成三角形，故周長(zhǎng)為：6+6+3=15；故答案選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義以及三角形邊的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【變式1-3】（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）已知等腰三角形三邊的長(zhǎng)分別為4，x，10，則x的值是（

）A．4 B．10 C．4或10 D．6或10【答案】B【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：∵10-4<x<10+4，∴6<x<14，∴B選項(xiàng)符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形兩邊之得大于每三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．題型二：等腰三角形定義求角度【例題2】（2021·廣東·肇慶市頌德學(xué)校八年級(jí)期中）若等腰三角形一個(gè)角等于80°，則它的底角是（

）A．80° B．50° C．60° D．80°或50°【答案】D【分析】分情況討論，當(dāng)80°為底角；當(dāng)80°為頂角．再結(jié)合三角形的內(nèi)角和，即可求底角．【詳解】解：當(dāng)80°底角時(shí)，那么底角=80°；當(dāng)80°為頂角時(shí)，那么底角=×（180°-80°）=50°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°的應(yīng)用，注意當(dāng)?shù)妊切沃形疵鞔_角為底角或頂角時(shí)，需要分兩種情況考慮．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·河南駐馬店·八年級(jí)期末）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）．A．100° B．40° C．40°或100° D．40°或70°【答案】C【分析】分兩種情況討論：（1）當(dāng)這個(gè)40°的角是頂角時(shí)；（2）當(dāng)這個(gè)40°的角是底角時(shí)，求出頂角即可．【詳解】當(dāng)這個(gè)40°的角是頂角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為40°；當(dāng)這個(gè)40°的角是底角時(shí)，則頂角度數(shù)為：=100°；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角為40°或100°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論，注意考慮問(wèn)題要全面，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類討論思想．【變式2-2】（2022·湖北鄂州·八年級(jí)期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)∠A＝70°為頂角時(shí)，則兩底角為：；當(dāng)∠A＝70°為底角時(shí)，另一個(gè)底角為70°，頂角為180°-70°-70°=40°∴∠C的度數(shù)不可能是65°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的分類討論及三角形內(nèi)角和定理，在不明確所給的角是等腰三角形的什么角時(shí)，需分類討論是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·福建福州·八年級(jí)期末）等腰三角形的一個(gè)外角等于130°，則它的頂角為（）A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°【答案】C【分析】先求出該外角的內(nèi)角為50°，再分50°角為底角和頂角兩種情況，求出其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)外角等于130°，∴等腰三角形的內(nèi)角為180°-130°=50°，當(dāng)50°角為底角時(shí)，頂角為180°-2×50°=80°，當(dāng)50°為頂角時(shí)，底角為（180°-50°）÷2=65°，故等腰三角形的頂角為50°或80°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等．等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.幾何語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，∵AB=AC，等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.幾何語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.要點(diǎn)解讀:應(yīng)用“等邊對(duì)等角”的前提條件是在同一個(gè)三角形中，不在同一個(gè)三角形中不能使用.題型三：等邊對(duì)等角求角度【例題3】（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，若AB，CD相交于點(diǎn)E，若，，則的度數(shù)是（

）A．48° B．62° C．76° D．88°【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AE，從而∠AEC=∠ACD，再利用三角形內(nèi)角和求得∠ACD即可．【詳解】∵，∴AC=AE，∴∠AEC=∠ACD，∵，∴∠ACD=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2022·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，在中，，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等，可得：，，根據(jù)傳遞性，可得：，再根據(jù)三角形外角等于其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得：，再根據(jù)，得到：，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和為，可得：，解出即可得到的大?。驹斀狻拷猓骸摺唷摺唷唷呤堑耐饨恰唷摺唷啵ㄈ切蝺?nèi)角和為）∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理．【變式3-2】（2022·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，直線垂直平分線段，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：直線垂直平分線段，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·陜西·交大附中分校八年級(jí)期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接BD，則∠DBC的度數(shù)為（

）A．30° B．32° C．34° D．36°【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出ABC=70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，則DBA=A=40°，通過(guò)計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：在△ABC中，AB＝AC，A＝40°，∴ABC＝ACB＝70°，∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，∴DA＝DB，∴DBA＝A＝40°，∴DBC＝30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四：等邊對(duì)等角證明【例題4】（2022·山東威海·七年級(jí)期末）已知：點(diǎn)在上，，，，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合，可得，從而可證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，即可得證．【詳解】證明：，又，，在和中，，≌，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2021·陜西銅川·七年級(jí)期末）如圖，四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，．(1)試判斷與有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)嗎？為什么？【答案】(1)AB∥CD；理由見解析(2)BC=AD，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，求出∠OAB=∠OCD，根據(jù)平行線的判定推出即可；（2）求出AC=BD，根據(jù)SAS推出△ABC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．（1）AB∥CD，理由如下：∵OA=OB，OC=OD，∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，∵∠COD=∠AOB，∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OCD+∠ODC+∠COD=180°，∴∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC，即∠OAB=∠OCD，∴AB∥CD；（2）BC=AD，理由如下：∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴BC=AD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)SAS推出△ABC≌△BAD是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，AD、BC交于點(diǎn)O，AB＝CD，∠ABO＝∠CDO．求證：∠CBD＝∠ADB．【答案】證明見解析．【分析】先證明，得到，進(jìn)而得到，即可求證【詳解】證明：在和中∴．．∴．∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與等腰三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式4-3】（2022·陜西寶雞·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，，，垂足為M，連接EA．(1)與全等嗎？為什么？(2)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)全等，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）先證明，，可得，再利用AAS證明三角形全等即可；（2）先證明，可得，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論．(1)解：，理由如下：因?yàn)?，，，所以，所以，所以，在和中，所以?2)，理由如下：在和中，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義與性質(zhì)，熟練的運(yùn)用AAS，ASA證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）.幾何語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD.等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）.幾何語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD.②∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=CD.③∵AB=AC，BD=CD，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.要點(diǎn)解讀:1，“三線合一”的性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛，可以用來(lái)證明角相等、線段相等或線段垂直.2，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為頂角平分線（或底邊上的高或底邊上的中線）所在的直線.3，應(yīng)用“三線合一”的前提條件是等腰三角形，且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才能互相重合.【題型5】三線合一求解【例題5】（2020·南靖縣城關(guān)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．60°【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，從而可求得∠C=55°.故選C考點(diǎn)：等腰三角形三線合一變式訓(xùn)練【變式5-1】（2020·廣東中考真題）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可．【詳解】由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，而AB=AC，由等腰三角形的三線合一知D為BC重點(diǎn)，BD=3，故選B【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線及三線合一的性質(zhì),關(guān)鍵在于牢記尺規(guī)作圖的方法和三線合一的性質(zhì).【變式5-2】（2020·老河口市第四中學(xué)八年級(jí)月考）等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)分別是10和12，則底邊上的高是（）A．13 B．8 C． D．【答案】D【解析】【分析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出此高的長(zhǎng)度．【詳解】解：作底邊上的高并設(shè)此高的長(zhǎng)度為x，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得高線平分底邊，根據(jù)勾股定理得：52+x2=122，解得x=【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：等腰三角形底邊上高的性質(zhì)和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直線為底邊的中垂線．然后根據(jù)勾股定理即可求出底邊上高的長(zhǎng)度．【變式5-3】（2020·山東八年級(jí)月考）如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，若的周長(zhǎng)為，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AB=AE=CE，再根據(jù)的周長(zhǎng)為，能推出2DE+2EC=14cm，即可得出答案．【詳解】∵，，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∵△ABC周長(zhǎng)26cm，AC=10cm，∴AB+BE+EC=16cm，即2DE+2EC=16cm，∴DE+EC=DC=8cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行等量代換為解題關(guān)鍵．【題型6】三線合一證明【例題6】（2019·莆田第十五中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以下結(jié)論：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．其中正確的有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由“三線合一”可知（2）（4）正確，由等邊對(duì)等角可知（3）正確，且容易證明△ABD≌△ACD，得（1）正確，可得出答案．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，故（3）正確，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，故（2）（4）正確，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），故（1）正確，∴正確的有4個(gè)，故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式6-1】如圖﹐在中﹐﹐D為的中點(diǎn)﹐點(diǎn)F在上﹐延長(zhǎng)至點(diǎn)E﹐使﹐求與之間的位置關(guān)系．【答案】AD∥EF【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義和外角的定義，可得∠AEF=∠BAD，進(jìn)而可證明AD∥EF．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．【變式6-2】（2021·湖南張家界市·八年級(jí)期末）如圖，已知AB=CD，∠A=∠C，AD和BC相交于點(diǎn)O，E是BD的中點(diǎn)，連接OE．（1）求證：△AOB≌△COD；（2）求∠BEO的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BEO=90°．【分析】利用AAS定理證明即可；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BO=DO，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：(1)在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC；(2)∵△AOB≌△DOC,∴OB=OD,又∵E是BD的中點(diǎn),∴OE⊥AD,即∠AEO=90°【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2021·上海七年級(jí)期末）如圖，已知平分，，是的中點(diǎn)，試說(shuō)明的理由，【答案】見解析【分析】先由角平分線定義得出∠BAD=∠CAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，那么∠EBA=∠E，由等角對(duì)等邊得出AE=AB，又F是BE的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明AF⊥BE．【詳解】解：證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，∴∠EBA=∠E，∴AE=AB，又∵F是BE的中點(diǎn)，∴AF⊥BE．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．得出AE=A