2023十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編 向量（精解精析）

2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編向量（精解精析）

一、選擇題

1.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)山卷理科）已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=5,|/?|=6,。/=一6,則

cos（a,a+b）=（）

31191719

A.---B.---C.——D.—

35353535

【答案】D

解析：pz|=5,|&|=6,〃.匕=-6，???4,（。+〃）=卜|+a-b=52-6=19.

卜+〃|=J（a+Z?）=+2a?b+b~-125-2x6+36=7，

〃?（〃+〃）1919

因此，cos<a,a+b>=-^-,---=———=一.

r加卜+r目5x735

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及

向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

2.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)II卷理科）己知A3=（2,3）,AC=（3"）,忸c|=1,則ABBC=

（）

A.-3B.—2C.2D.3

【答案】c

【解析】VAB=（2,3）,AC=（3,f）,BC=AC-A3=（1,53），:.

麻卜肝+（一3『=1,解得￡=3,

即初=0,0）,則A8-8C=（2,3>（l,0）=2xl+3x0=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取公

式法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技

能，難度不大.學(xué)生易在處理向量的法則運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算處出錯(cuò)，借助向量的模的公式得

到向量的坐標(biāo)，然后計(jì)算向量數(shù)量積.

3.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科）已知非零向量a,Z?滿(mǎn)足同=2忖，且（a叫

則a與b的夾角為()

7i7127r54

A.—B?-C.—D.—

6336

【答案】B

解析：(a-Z?)_L6,(a-b)力=a?。一片=0,二a?)=》-=M,所以

所以卜力）=（.

4.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度

與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比為近二

（正二1ao.618,稱(chēng)為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

2

人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是縣口.若某人滿(mǎn)足上述兩個(gè)黃金

2

分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

解析：如圖，-=-=0.618,a=0.618/J,c=0.618J,

db

c<26,則d=—^<42.07,a=c+d<68.07,/?=<110.15,

0.6180.618

所以身高/?=a+/?<178.22,

又b〉105,所以a=0.618b>64.89,身高〃=a+b>64.89+105=169.89，

故一€(169.89,178.22),故選B.

5.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷(理))已知向量a,5滿(mǎn)足|a|=l,a-h=—\,則a?(2a-〃)=

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

解析：a<2。-5）=2|a『一a.》=2+1=3,故選B.

6.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））在AABC中,AO為BC邊上的中線(xiàn)，E為的中點(diǎn),

貝!IEB-（）

31133113

A.-AB——ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

解析：在AABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，E為的中點(diǎn)，

11/\31

EB=AB—AE=AB一一AD=AB一一（AB+AC）=-AB一一AC，故選A.

22、>44

7.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則

的最大值為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下

圖

則，，，，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

在中，有

即

所以圓的方程為

可設(shè)

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值為，故選A.

法二：通過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，，可求得

又由，可求得

由等和線(xiàn)定理可知，當(dāng)點(diǎn)的切線(xiàn)（即）與平行時(shí)，取得最大值

又點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等，均為

而此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

所以，所以的最大值為，故選A.

另一種表達(dá)：如圖，由“等和線(xiàn)”相關(guān)知識(shí)知，當(dāng)點(diǎn)在如圖所示位置時(shí)，最大，且此時(shí)若，

則有，由三角形全等可得，知，所以選A.

法三：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系

設(shè)

根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是

,若滿(mǎn)足

即，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得，所以的最大值

是，即的最大值是，故選A.

法四：由題意，畫(huà)出右圖.

設(shè)與切于點(diǎn)，連接.以為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系

則點(diǎn)坐標(biāo)為.切于點(diǎn).

.,.是中斜邊上的高.

即的半徑為?在上....點(diǎn)的軌跡方程為.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的參數(shù)方程如下：

而，，.

??,?

兩式相加得：

（其中，）

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3.

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：平面向量基本定理

【點(diǎn)評(píng)】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向

量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

8.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小

值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積，意在考查考生

轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解能力

【解析】解法一：建系法

H歹連接OP，04=(0,G),OB=(-1,0),OC=(1,0；

PC+PB=2PO,APOPA=(-x,-y)-(-x,6-y

，石、2a

/.PO?PA=x2+y2-=x2+y--------

\2/4

o

B0C/.POPA>—,???PA^PC+PB^=2POPA>-

?,?最小值為一己3

2

解法二：均值法

???

????

由上圖可知：；兩邊平方可得

?f??

最小值為

解法三：配湊法

..?最小值為

【知識(shí)拓展】三角形與向量結(jié)合的題屬于高考經(jīng)典題，一般在壓軸題出現(xiàn)，解決此類(lèi)問(wèn)題的通

法就是建系法，比較直接，易想，但有時(shí)計(jì)算量偏大.

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)的最值

【點(diǎn)評(píng)】平而向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量

的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最位或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)

行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值

域、不等式我解集，方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.

9.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)in卷理科）已知向量區(qū)4=（g,孚），BC=（q,g）,則NABC=

（）

A.30°B.45°c.60°D.120°

【答案】A

,X"+立X』

［解析］由題意，得cosNABC=「"產(chǎn)=1—1__2_2=且，所以ZABC=30°,

|BA|-|BC|1X12

故選A.

1（）.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）已知向量a=（1,冽）,6=（3,-2）,且（a+6）_L/?,則加=

()

A.一8B.-6C.6D.8

【答案】D

【解析】由+可得：（a+b）S=0,所以￡山+片=0，又a=(1,M"=(3,-2)

所以3-26+(3?+(—2)2)=°,所以加工8,故選D.

11.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)=38,則)

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

【答案】A

11I4

解析：由題知AO=AC+CO=AC+—8C=AC+-（AC—A3）==--AB+-AC,故

3333

選A.

考點(diǎn)：平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算

12.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）設(shè)向量a,b滿(mǎn)足la+b|=,|a-b|=,則ab=（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

rrrrr2r2rr

析：因?yàn)閨a+〃|=（a+方f=a+b+2a%=10,

rrrr,r2r2rr

\a-b\={a—by=a+b-2a-b=6,

兩式相加得：?+/=8,所以=1,故選A.

考點(diǎn)：（1）平面向量的模；（2）平面向量的數(shù)量積

難度：B

備注：?？碱}

二、填空題

13.（2021年高考全國(guó)甲卷理科）已知向量a=（3,l）,0=（l,0）,c=a+Zb.若。_1,，則％=

…10

【答案】一二.

3

解析：a=（3,1）力=（1,0）,:.'=。+妨=（3+幺1）,

aa?c；=3（3+Z）+lxl=0,解得k=-1，

故答案為：——?.

3

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平而向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

力=（王，%），〃=（々，％）垂直的充分必要條件是其數(shù)量積與尤2+%丁2=°?

14.（2021年高考全國(guó)乙卷理科）已知向量a=（1,3）,。=（3,4）,若（4一4。）_1_匕，則2=

3

【答案】|

解析：因?yàn)閍—?jiǎng)?（1,3）—；1（3,4）=（1—343—4/1）,所以由（。一/?7?）-1人可得,

3（l-32）+4（3-4A）=0,解得2=3.

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)。=（5,乂）/=（工2，%），

6Z±/?<=>cz-Z?=0<=>x]x2+y}y2=0,注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

15.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）設(shè)為單位向量，且|4+力|=1,則|〃-6|二

【答案】x/3

【解析】因?yàn)閍,b為單位向量，所以口=1=1

所以,+目=+b）=+2。力+忖=j2+2a-0=1

解得：2a-h=-l

所以,一目=’（“_『）_2a為+忖=A/3

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）已知單位向量：，X的夾角為45。，左與之垂直，則

k=.

【答案】叵

2

TT\/2

解析：由題意可得：a-b=lxlxcos45=—，

2

由向量垂直的充分必要條件可得：（￡-“2=0,

即：kxa—ab=k--^-—0，解得：k--

22

故答案為：旦.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知

識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

17.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科）已知a,b為單位向量，且。若c=2a-哥,則

cos〈a,c〉=

【答案】

3

【解析】IN為c=2a--J5h>a-b-0'所以a.c=2a?--s/5a-b=2，

a-c_2_2

|c『=4|a/-4逐。力+5|切2=9,所以|d=3,所以cos〈a,c〉=

|a|-|c|"bG-3'

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng).使

用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

18.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷（理））已知向量a=（l,2）,。=（2,-2）,c=（l,4）,若

c//（2a+6）,貝ij4=.

【答案】-

2

解析：依題意可得2a+/?=（2,4）+（2,—2）=（4,2）,又工=0㈤,c//（2a+b）

所以4x4—2x1=0,解得義=工.

2

19.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科）已知向量,的夾角為,，，則.

【答案】

【解析】法一：

所以.

法二（秒殺解法）：利用如下圖形,可以判斷出的模長(zhǎng)是以為邊長(zhǎng)的菱形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，則為.

法三:坐標(biāo)法

依題意，可設(shè),，所以

所以.

【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算

【點(diǎn)評(píng)】平面向量中涉及到有關(guān)模長(zhǎng)的問(wèn)題,用到的通法是將模長(zhǎng)進(jìn)行平方,利用向量數(shù)量

積的知識(shí)進(jìn)行解答,很快就能得出答案;另外，向量是一個(gè)工具型的知識(shí),具備代數(shù)和幾何特

征,在做這類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)加快解題速度.

20.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）設(shè)向量4=（加,1）,6=（1,2）,且k+則

m=_________

【答案】m=—2

【解析】由已知得：a+b=（m+l,3）

.電+q?=,]+愀Jo（m+l）2+32=/n2+l2+l2+22,解得m=一2.

21.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2