第2講 集合間的基本關(guān)系（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第02講集合間的基本關(guān)系

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.能利用集合間的包含關(guān)系解決兩個(gè)集合間的問題。

1.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)

2.在解決集合問題時(shí)，易漏集合的特殊形式，比如集

別給定集合的子集、真子集.

合是空集時(shí)參數(shù)所具備的意義。

2.理解與掌握空集的含義，在解題中把握

3.能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系

空集與非空集合、任意集合的關(guān)系。

判斷集合之間的關(guān)系時(shí)，要從元素入手.

趣:知識(shí)精講

生知識(shí)點(diǎn)01Venn圖，子集

1.Venn圖的概念

我們經(jīng)常用平面上___________的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.

說明：（I）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線.

（2）Venn圖表示集合時(shí)，能夠直觀地表示集合間的關(guān)系，但集合元素的公共特征不明顯.

2.子集

（1）子集的概念

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合4中都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有

包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AqB（或,讀作“4含于8”（或“B包含A”）.用

Venn圖表示AN3如圖所示：

（2）子集的性質(zhì)

①任何一個(gè)集合是它自身的子集，即

②傳遞性，對(duì)于集合A，B，C,如果A=且8=那么4=C.

【答案】1.封閉曲線2.(1)任意一個(gè)元素

(3)從子集的角度看集合的相等：

如果集合A是集合3的(AcB),且集合B是集合A的(B^A),此時(shí),

集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作4=3.用Venn圖表示A=8

如圖所示.

【答案】子集子集

【即學(xué)即練1】設(shè)a,beR,集合{0,血。}={1,。一反切,則a+b=.

【答案】-2

【解析】由題意若a—Z?=0,則而=1或a=l：由a。=1=>a?=1=>a=±1,,當(dāng)a=l時(shí)，由

a=b，得到b=l,不合題意：當(dāng)。=一1時(shí)，由a，得到6=—1,符合題意；由a=l,?.?a=b,得

到力=1,不合題意；

若6=0,則，力=(),不符合題意.

綜上，a=h=-1,a+b=-2

【即學(xué)即練2】已知集合戶{1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},則是

集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合個(gè)數(shù)為.

【答案】196個(gè)

【分析】先找出集合U的子集個(gè)數(shù)，再減去集合力或集合8的子集個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】集合U的子集個(gè)數(shù)為28,其中是集合A或集合8的子集個(gè)數(shù)為2$+2‘-22,所以滿足條件的集

合個(gè)數(shù)為28—(25+25—22)=196.

【點(diǎn)睛】本題主要考查子集的概念，解題的關(guān)鍵是會(huì)判斷子集個(gè)數(shù).

>,知識(shí)點(diǎn)02

真子集

1.真子集的概念

如果集合41B,但存在元素,我們稱集合A是集合B的真子集，記作A母8(或6).

如果集合A是集合8的真子集，在Venn圖中，就把表示A的區(qū)域畫在表示8的區(qū)域的內(nèi)部.如圖所

示：

【答案】xeB，且xeA

2.真子集的性質(zhì)

對(duì)于集合4，B，C,如果B峰C,那么

【微點(diǎn)撥】子集與真子集的區(qū)別：若A=8,則A與6或A=3：若A與B,則A=

【即學(xué)即練3】在平面直角坐標(biāo)系中，集合C={(x,y)|y=x}表示直線卜=》，從這個(gè)角度看，集合

[2x—y=1]

o=<(x,y)l〈■「卜表示什么？集合c,。之間有什么關(guān)系？

x+4y=5J

【答案】DC

【分析】表示兩條直線的交點(diǎn)，解得交點(diǎn)得到集合關(guān)系.

[2x-y=1

【詳解】集合。=(x,y)H//表示直線2x-y=l與直線x+4y=5交點(diǎn)的集合，

x+4y=5

即。={(1,1)}.。C

【點(diǎn)睛】本題考查了集合表示的意義，集合的包含關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)于集合的理解和掌握.

W、知識(shí)點(diǎn)03

空集

1.空集的概念

我們把__________任何元素的集合叫做空集，記作0,并規(guī)定：空集是任何集合的子集.

2.空集的性質(zhì)

(1)空集是任何集合的，即0=A；

(2)空集是任何非空集合的,即。目A.

【微點(diǎn)撥】空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往

容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解.

【答案】1.不含2.(1)子集(2)真子集

【即學(xué)即練4]若集合4={司0?-2四+〃-1=0}=。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】{a|a40}

【分析】根據(jù)集合4={]|以2-2?+。-1=0}=。，分。=0和兩種情況討論，結(jié)合一元二次方程

的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，集合4={耳依2-2以+。-1=()}=0,

若a=0時(shí)，集合4={止1=0}=°,滿足題意；

若aH0時(shí)，要使得集合A={x|以2一2斯+。-i=o}=0,

則滿足△=(-2a)2一4a(a-1)=4。v0,解得a<0,

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a[a<。}.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正確理解集合的表示方法,

結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

U能力拓展

考法01

從集合相等的概念入手，尋找兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系，看一個(gè)集合中的元素與另一集合中的哪

個(gè)元素相等，一般需要分類討論，在求出參數(shù)值后，要注意檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性及是否使

有關(guān)的代數(shù)式有意義.

【典例1】已知集合｛l,a,耳與｛a,/,"｝相等，求實(shí)數(shù)a,匕的值.

【答案】a=-\,b=0.

【解析】因?yàn)榧希?,可與｛a,/,"｝相等，所以有：

cr-\[a=-\

(1)5=>〃=1或〈,

ab-bh=0

當(dāng)a=l時(shí)，不符合集合元素的互異性，故舍去；

a=-1

當(dāng)，c時(shí)，符合集合元素的互異性.

。=0

a2=bfa=1

(2)\,,不符合集合元素的互異性，故舍去，

ab=l區(qū)=I

所以。=-1,b=0.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)集合相等，求實(shí)數(shù)的值的問題.考查了分類思想、運(yùn)算能力.本題值得注

意的是要注意到集合元素的互異性.

(1)對(duì)于列舉法給出的集合，若兩個(gè)集合相等，則它們所含元素完全相同，與元素的排列順序無(wú)關(guān)，由

此可列出方程或方程組.因?yàn)榧现械脑鼐哂袩o(wú)序性，所以在建立方程(組)的時(shí)候，要注意分類討

論，同時(shí)要對(duì)最后結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以免與集合中元素的互異性相矛盾.

(2)對(duì)于描述法給出的集合，要判斷兩集合是否相等，要判斷兩個(gè)集合的代表元素是否一致，及代表元

素所滿足的條件是否一致，若都一致，則兩集合相等.

考法02

判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系

(1)從集合關(guān)系的定義入手，對(duì)兩個(gè)集合進(jìn)行分析，

首先，判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B,若是，則AqB,否則A不是B的子集；

其次，判斷另一個(gè)集合8中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A,若是，則否則8不是A的子集;

若既有A=又有則A=8.

(2)確定集合是用列舉法還是描述法表示的，對(duì)于用列舉法表示的集合，可以直接比較它們的元素；

對(duì)于用描述法表示的集合，可以對(duì)元素性質(zhì)的表達(dá)式進(jìn)行比較，若表達(dá)式不統(tǒng)一，要先將表達(dá)式統(tǒng)一,

然后再進(jìn)行判斷.也可以利用數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行快速判斷.

【典例2］（1）已知集合加={1},N={1,2,3},則（）

A.M<NB.MsN

C.MjND.N

（2）設(shè)集合"={x|X=4〃+1,〃GZ},N={x|x=2〃+l,〃€Z},則（）

A.M與NB.M

C.MGND.NGM

【答案】（1）c（2）A

【解析】（1）因?yàn)閘wN,2定M,所以Af=N,故選C.

（2）因?yàn)閤=2-2〃+l,所以可得N,故選A.

【名師點(diǎn)睛】（1）本題考查集合包含關(guān)系，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.根據(jù)元素關(guān)系確定集合

關(guān)系.

（2）本道題考查了集合與集合的關(guān)系，難度較小.解答本題時(shí)，轉(zhuǎn)化M,可得M,N的關(guān)系.

注意：包含、真包含關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系，屬于關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系，注意區(qū)分.

考法03

判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法：

已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解.

（1）若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程（組）求解，此時(shí)注意集合中元素的互

異性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到.

【典例3】已知集合4={1,2},B={x以2+必+1=0,xeR},若8UA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】［-2,2）

【解析】①若8=0,則/=加一4<0,解得一20*2.

②若1G8,則12+機(jī)+1=0,解得〃?=一2,此時(shí)8={1},符合題意；

③若2G8,則22+2,〃+1=0,解得此時(shí)8=〔2,不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為［-2,2）.

考法04

確定集合的子集的個(gè)數(shù)

有限集子集的確定問題，求解關(guān)鍵有三點(diǎn):

(1)確定所求集合；

(2)注意兩個(gè)特殊的子集：0和自身；

(3)依次按含有一個(gè)元素的子集，含有兩個(gè)元素的子集，含有三個(gè)元素的子集……寫出子集.就可避免

重復(fù)和遺漏現(xiàn)象的發(fā)生.

【典例4](1)已知集合「={4,5,6},Q={1,2,3},定義P十Q={x|x=p—q,pGP,qWQ},則集合

尸十Q的所有真子集的個(gè)數(shù)為()

A.32B.31

C.30D.以上都不對(duì)

【答案】B

【解析】由所定義的運(yùn)算可知P$Q={1,2,3,4,5},所以P十Q的所有真子集的個(gè)數(shù)為25—1=31.

⑵設(shè)集合。={-1，0，1，2},A==則集合4的真子集個(gè)數(shù)為()

A.2B.3

C.7D.8

【答案】C

【解析】...集合。={-1，0,1，2},.,.集合A={y|y=,x2+],xwU}={1,y/2>V5}?

真子集個(gè)數(shù)為23-1=7個(gè)，

故選C.

【名師點(diǎn)睛】以上兩題考查了真子集的概念及性質(zhì)，考查集合的表示方法：列舉法，是一道基礎(chǔ)題.解答

本題時(shí)，先求出集合A,進(jìn)而求出其真子集的個(gè)數(shù).如果有限非空集合A中有〃個(gè)元素，則：

(1)集合A的子集個(gè)數(shù)為2"；

(2)集合A的真子集個(gè)數(shù)為2"-1；

(3)集合A的非空子集個(gè)數(shù)為2"—1；

(4)集合A的非空真子集個(gè)數(shù)為2"—2.

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知集合4={2,-I},B={m2-m,-1},則A=B,則實(shí)數(shù)機(jī)=()

A.2B.-1

C.2或-1D.4

【答案】C

【解析】?.,集合4={2,-1）,B={m2-m,-1）,A-B,m2-m-2,解得〃?=-1或，"=2.故選C.

2.集合A={xeNk2a<2}的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.7

C.4D.3

【答案】D

【解析】:集合4={xGNH2<32}={0,1},.?.集合4的真子集的個(gè)數(shù)是:22-1=3.故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的真子集的個(gè)數(shù)的求法，考查子集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.求解時(shí)，先求出集合A={0,1}，由此能求出集合A的真子集的個(gè)數(shù).

3.設(shè)A={x|2W爛6},B={x\2a<x<a+3},若8UA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[1,3]B.[3,+oo）

C.11,+8）D.（1,3）

【答案】C

。+346

【解析】?；A={x|2W啟6},B=[x\2a<x<a+?>],且BQA；當(dāng)B=<P時(shí)，2a>a+3,解得a>3；當(dāng)B豐①時(shí),<2a>2

2a<a+3

解得1&W3；.?.〃的取值范圍是{叩或x>3}={a|色1},故選C.

4.設(shè)集合尸={），|），=/+1},M={x|y=/+1},則集合M與集合P的關(guān)系是（）

A.M=PB.PwM

C.PD.P%M

【答案】D

【解析】：P={y|y=x2+1}={y]）。},M={巾=「+l}=R,AM）故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了描述法表示集合的方法，解題的關(guān)鍵是弄清集合的元素，屬于基礎(chǔ)題.先弄

清集合的代表元素，然后化簡(jiǎn)集合，再進(jìn)行判定即可.

5.滿足條件{1,2,3,4}3七N{1,2,3,4,5,6}的集合同的個(gè)數(shù)是（)

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】由題意可知：M={l,2,3,4}uA,其中集合A為集合{5,6}的任意一個(gè)真子集，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公

式可得，集合M的個(gè)數(shù)是22-1=3.本題選擇B選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查子集個(gè)數(shù)公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和II?算求解能力.求

解時(shí)，由題意結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式確定集合M的個(gè)數(shù)即可.

6.【多選題】下列敘述正確的是（）

A.集合N中的最小數(shù)是1B.{x|x>1}C{X|X>1}

C.方程6犬+9=0的解集是{3}D.{4,3,2}與{3,2,4}是相等的集合

【答案】BCD

【分析】

利用自然數(shù)集元素的大小判斷A；利用集合的包含關(guān)系判斷B；利用方程的解判斷C；利用集合的基本性質(zhì)

判斷D.

【詳解】對(duì)于A,集合N中的最小數(shù)是0,不是1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,{x|x>l}={x|xNl}滿足集合的包含關(guān)系，故B正確；

對(duì)于C,方程/一61+9=0的解為玉=々=3,故其解集是{3},故C正確；

對(duì)于D,{4,3,2}與{3,2,4}是相同的集合，滿足集合的基本性質(zhì)，故D正確.

故選：BCD

7.【多選題】已知集合加={2,3,4},集合仞{1,2,3,4,5},則集合N可以是（）

A.{2,3,4}B.{2,3,5}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)子集的定義判斷.

【詳解】

?.?MqN土{1,2,3,4,5},而〃={2,3,4},

.?.〃={2,3,4}或用={2,3,4,5}或用={1,2,3,4}或加={1,2,3,4,5},

故選：ACD.

8.【多選題】已知集合A={xeR,一3兀-18<（）},BR|x2+<xx+?2-27<0^,則下列命題中

正確的是（）

A.若A=3，則。=一3B.若A=則。=一3

C.若3=0,則aW-6或。之6D.若8t）A時(shí)，則-6<。4—3或?！?

【答案】ABC

【分析】求出集合A,根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷.

【詳解】

A={xeR|-3<x<6},若A=B，則。=-3,且"-27=-18，故A正確.

。=-3時(shí)，A=B，故D不正確.

若A=則（一3y+a.（—3）+Y—27<0且62+6。+。2一2740,解得。=一3,故B正確.

當(dāng)8=0時(shí),O2-4（?2-27）<0,解得aW-6或a?6,故C正確.

故選：ABC.

題組B能力提升練

1.【多選題】己知集合4={川分<2},8={2,、歷},若BqA,則實(shí)數(shù)”的值可能是（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】ABC

【分析】由A可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，解出實(shí)數(shù)。的取值范圍，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)。的可能取值.

f/z

【詳解】A={x\ax<2},8={2,發(fā)}且B=所以，<；<2，解得aKL

因此，ABC選項(xiàng)合乎題意.

故選：ABC.

2.【多選題】下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限的點(diǎn)的集合為{（x,y）|孫>0}

B.方程|x—2|+|y+2|=0的解集為｛-2,2｝

C.集合｛(x,y)ly=l—x｝與｛x|y=l-x｝是相等的

D.若4=｛%€7一1效k1｝,則一LlwA

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)集合的定義依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】

fx>0fx<0

對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)槿?gt;0o〈八或〈,

y>0[y<0

所以集合｛(x,y)|外>0｝表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一、三象限的點(diǎn)的集合，故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,方程卜一2|+卜+2]=0的解集為｛(2,-2)｝,故B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C,集合｛(x,y)|y=l-x｝表示直線y=l-x上的點(diǎn)，

集合｛x|>=1-*｝表示函數(shù)y=1-*中x的取值范圍，

故集合｛(x,y)|y=i—耳與｛%ly=l-x｝不相等，故c錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)D,A=｛xeZ|-l<%<1)=｛-1,0,1｝,所以一1.1史A,

故D錯(cuò)誤.

故選：BCD

3.【多選題】設(shè)集合M=｛a|a=d-y2,x,y?Z],則對(duì)任意的整數(shù)〃，形如4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3

的數(shù)中，是集合“中的元素的有()

A.4〃B.4/7+1C.4〃+2D.4/7+3

【答案】ABD

【分析】

將4〃,4鹿+1,4n+3分別表示成兩個(gè)數(shù)的平方差，故都是集合M中的元素，再用反證法證明4〃+2?M.

【詳解】

?.?4〃=(〃+I)2-(〃-I)2,：.4ntM.

???4〃+1=(2〃+I)12-*B(2〃>，4〃+1?M

V4/?+3=(2〃+2)2-(2〃+I)2,4/1+3?M.

若4“+2?則存在x,yiZ使得V-/=4/?+2,

則4〃+2=(%+y)(x-y),x+y和x-y的奇偶性相同.

若x+y和x-y都是奇數(shù)，貝|」（工+?。?。一?。槠鏀?shù)，而4〃+2是偶數(shù)，不成立.：

若x+y和x-y都是偶數(shù)，則（x+y）（x—y）能被4整除，而4"+2不能被4整除，不成立，.?.4"+2?M.

故選ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合描述法的特點(diǎn)、代表元元素特征具有的性質(zhì)P,考查平方差公式及反證法的靈活運(yùn)用，對(duì)邏

輯思維能力要求較高.

4.已知集合A={a,b,2},B={2,tr,2a],且A=8,則a=.

【答案】（）或工

4

a=2a優(yōu)=2。

【解析?集合A={a",2},3={2,入2a},且A=B,又根據(jù)集合元素的互異性，所以有{匕=6或a"?,

a手ba手b

1

a=—

a=0411

解得《成』:,故。=0或一.故答案為：?；蛞?

,144

b=—

2

5.設(shè)集合4={幻?<4},8={劃*一。）*一1）<0},且A=則。的取值范圍是

【答案】[0,16].

【分析】

由題意得4={1|0<工<16},討論。<1、〃=1、a>l時(shí)的集合3,再山A38即可求。的取值范圍.

【詳解】

A-{x\yjx<4}={x|0<x<16}，

B-{x|(x—a)(x-1)<0}中,

當(dāng)a<l時(shí)，8={x[a<x<I}；

當(dāng)a=l時(shí)，8為空集；

當(dāng)”>1時(shí)，B={x[l<x<。}：

，綜上，要使A衛(wèi)B則有：時(shí)，1>。20；。=1時(shí)，A衛(wèi)8成立；。>1時(shí)，l<a<16-.

二。的取值范圍是[0,16].

【點(diǎn)睛】

本題考查了由集合的包含關(guān)系求參數(shù)范圍，應(yīng)用了不等式的解法、分類討論的思想.

6.己知集合4=卜卜2?xW5},B=+m一1},若B=則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】（—8,3]

【分析】由5=分8=0和兩種情況分別討論，進(jìn)而建立不等關(guān)系，可求出答案.

【詳解】

當(dāng)機(jī)+1>2加一1,即加<2時(shí)，此時(shí)3=0,滿足BqA；

機(jī)+12-2

當(dāng)團(tuán)+142加一1,即〃時(shí)，此時(shí)B/0,由可得I,解得2WmW3.

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為（—8,3].

故答案為：（-℃,3]

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的范圍，其中的易漏點(diǎn)在于漏掉考慮子集為空集的情況，易

錯(cuò)點(diǎn)在于弄錯(cuò)不等關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸依次分類討論即可避免此類問題.

7.已知集合"={1,2,3,4,5,6,7,8,9/0},則集合M子集的個(gè)數(shù)是；集合M所有子集的元素的和是

【答案】2）55x29

【分析】

由10個(gè)元素組成的集合M的子集是指屬于集合的部分或所有元素組成的集合,其中包括空集.欲求集合M的

所有子集的元素和的和，先計(jì)算出包含元素1的集合:剩下的9個(gè)元素組成的集合含有29個(gè)子集，包括空集，同

理,在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、510都出現(xiàn)了29次,從而得出集合M的所有非空子集

元素和的和.

【詳解】

由10個(gè)元素組成的集合例={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},的子集有：

0,{1},{2},{3}...{4}...{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),共*個(gè).

先計(jì)算出包含元素1的集合:剩下的9個(gè)元素組成的集合含有29個(gè)子集，包括空集

而以上29個(gè)子集和元素1組合(含空集),又構(gòu)成了集合例的所有非空子集中含元素1的非空子，即:在集合M

的所有非空子集中，元素1出現(xiàn)了29次

同理,在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5....10都出現(xiàn)了29次

故集合M的所有非空子集元素和的和為：

(1+2+3+4+...+10)x29=55x2，

故答案為2^,55x29

【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，子集與真子集、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.

對(duì)于集合M的子集問題一般來說，若M中有n個(gè)元素，則集合M的子集共有T個(gè).

8.已知集合A={a|a=%2-y2,xeZ,yeZ}.給出如下四個(gè)結(jié)論：

①2/A,且3eA；

②如果8={>|。=2/〃-l,加eN*},那么8=A；

③如果C={c|c=2〃+2,〃eN*},那么對(duì)于VcwC,則有ciA；

④如果qeA,a2eA,那么

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④.

【分析】

①：舉例子可證3GA,山a=(x+y)(x—y)的性質(zhì)可知，其結(jié)果為奇數(shù)或能被4整除的偶數(shù)，即可判斷

2史A；②由2〃?一1=〃，一(〃?一1)~eN*可得A；③當(dāng)〃=2時(shí)，c=6由①可得6e4；⑷設(shè)

%-y；,%=x2~￡，苞,孫必，必6Z,則由a。+>跖)2-(%為+%2>1)2eA.

【詳解】

①：a=(x+y)(x-y),由的奇偶一致，若同為奇數(shù)，“此時(shí)為奇數(shù)；

若同為偶數(shù)，a此時(shí)為偶數(shù)，且能被4整除，因此2eA.當(dāng)x=2,y=l時(shí)，x2-/3,

所以3eA.綜上所述，①正確.

②：因?yàn)?m一l=〃/-（w—1『/“GN*,所以2加一IwA,即B=則②正確.

③：假設(shè)③iE確，則對(duì)于〃eN*,2〃+2=（x+y）（x—y）成立，當(dāng)〃=2時(shí)，2〃+2=6,

由①知，。為奇數(shù)或能被4整除的數(shù)，因此6史A,故③錯(cuò)誤；

④：設(shè)q=無(wú)；一犬,々=x；-y；,玉eZ,則—-

=（芯々）2+（M%）2一（七%）2一（々yf=（占尤2+y必）2一（內(nèi)％+工2yfA,

即q/eA,所以④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，考查了運(yùn)算求解能力和化歸思想

題組C培優(yōu)拔尖練

2

1.設(shè)x,yeR,集合A={3,/+盯+”，B=|l,%+xy+x-31,且A=8，求實(shí)數(shù)x，y的值.

x=3x=-l

【答案】c或《

b=-2y=-6

【分析】

x+xy+y=1

根據(jù)兩個(gè)集合相等，則其元素全部相同，可得〈2c-從而得出答案.

x+孫+%-3=3

【詳解】

/+盯+y=1x=%=-1

由A=B得：解得《或

尤2+xy+x-3=3y=3=-6

2.設(shè)集合4=｛幻爐一8X+15=0｝，B=｛x|ax-l=O）.

（1）若a=1,試判定集合A與8的關(guān)系；

5

（2）若求實(shí)數(shù)a的取值集合.

【答案】（1）8是A的真子集；（2）

【解析】(1)由題意可得A={3,5},B={5},B是A的真子集

(2)當(dāng)8=0時(shí)，滿足8=此時(shí)。=0；

當(dāng)時(shí)，集合5=又B=得，=3或5,解得a=1或』.

[aJa35

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{o，g，g}.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查集合間的包含關(guān)系，此類問題屬于基礎(chǔ)題，注意討論含參數(shù)的集合之間的包含

關(guān)系時(shí)要優(yōu)先考慮空集(或全集)的情形.解答本題時(shí)，(1)算出A、B后可判斷B是A的真子集；(2)

就8=0、分類討論即可.

3.已知集合4={劃-2VxK5}.

(1)若B=B={x\m+\<x<2m-\],求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若A=B,B={x\m-6<x<2m-\],求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

【答案】⑴{/H|m<3}；(2){m|3</n<4}

【分析】

m+1<2m-1

(1)當(dāng)B=0時(shí)，m4-l>2m-l,當(dāng)時(shí)，即可求解；

2m—1<5

2m-1>m-6

(2)若ARB,則卜九一64一2,即可求解.

2m-1>5

【詳解】

(1)因?yàn)锳={x|-2〈％K5},B={x\m+\<x<2m-\],

若31A,當(dāng)3=0時(shí)，m+l>2m-l,解得m<2,滿足

m+l<2m-1

當(dāng)時(shí)，〈機(jī)+1之一2,解得24m43,

2m-1<5

綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍是{加I加W3}.

2m-1>/n-6\m>-5

⑵若46,貝川加一6<—2,解得卜