2024-2024學(xué)年秋季學(xué)期工科數(shù)學(xué)分析答案

PAGE哈爾濱工業(yè)大學(xué)2024/2024學(xué)年秋季學(xué)期姓名:班級(jí)：學(xué)號(hào)：工科數(shù)學(xué)分析期末考試試卷〔答案〕試題卷〔A姓名:班級(jí)：學(xué)號(hào)：題號(hào)一二三四五六七八卷面總分平時(shí)成績(jī)課程總成績(jī)分?jǐn)?shù)得分一．選擇題〔每題2分，共10分〕1．以下表達(dá)中不正確者為〔D〕〔A〕如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界?！睟〕如果，那么一定有?！睠〕在點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件是在點(diǎn)處可微?！睤〕如果函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為，那么必在該點(diǎn)處取得極值。2．設(shè)在[0，1]上那么以下不等式正確者為〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．假設(shè)在上可積，那么以下表達(dá)中錯(cuò)誤者為〔D〕〔A〕連續(xù)〔B〕在上可積第1頁(yè)〔共7頁(yè)〕〔C〕在上由界〔D〕在上連續(xù)第1頁(yè)〔共7頁(yè)〕4．假設(shè)，那么〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕遵守考試紀(jì)律注意行為規(guī)范5．〔D〕遵守考試紀(jì)律注意行為規(guī)范〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕得分二．填空題〔每題2分，共10分〕1．的間斷點(diǎn)為：，其類型為：第一類間斷點(diǎn)。2．的全部漸近線方程為：。3．?dāng)[線處的切線方程為：。4．=：1。5．設(shè)在上可導(dǎo)，，第2頁(yè)〔共7頁(yè)〕那么=：第2頁(yè)〔共7頁(yè)〕得分三．計(jì)算以下各題：〔每題4分，此題總分值20分〕1．假設(shè)，求解：2，那么2．，解：，3.解：==4．解：第3頁(yè)〔共7頁(yè)〕第3頁(yè)〔共7頁(yè)〕5.，求解：=，所以。故四．解答以下各題：〔每題5分，此題總分值10分〕得分?jǐn)?shù)列，，求證：收斂，并且證明：1)證有界因?yàn)?所以。假設(shè)，那么。故有界。2〕證單調(diào)因?yàn)?，故為單調(diào)上升數(shù)列。由1〕和2〕知道收斂。設(shè)，由，所以有解得。而且為單調(diào)遞增數(shù)列，所以。故。第4頁(yè)〔共7頁(yè)〕第4頁(yè)〔共7頁(yè)〕2．設(shè)，曲線與三條直線所圍平面局部繞x軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)體的體積為取何值時(shí)，最大？解：，由得，。當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，到達(dá)極大值，且為最大值。五：證明以下各題：〔1，2題各4分，3，4題各6分，此題總分值20分〕得分1.證明方程至少有一個(gè)不超過(guò)的正根。證明：設(shè)，顯然它在上連續(xù)。假設(shè)，那么即為滿足條件的根。假設(shè)，那么。而，由零點(diǎn)定理知存在，使得。即為滿足條件的根。第5頁(yè)〔共7頁(yè)〕第5頁(yè)〔共7頁(yè)〕設(shè)函數(shù)且，試證：證明：由知道，所以。因?yàn)?，故由積分中值定理知：，使得，即。設(shè)在區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù)。，證明：在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使證明：將在與處展成一階泰勒公式(1)(2)令，注意到，(1),(2)有(3)(4)(4)-(3)得：所以：第6頁(yè)〔共7頁(yè)〕第6頁(yè)〔共7頁(yè)〕取，即有。4.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且證明：存在一個(gè)使得證明：令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，即。在由羅爾定理知，存在使得，即