2023-2024學(xué)年長沙外國語高二數(shù)學(xué)（下）3月考試卷及答案解釋

-2024學(xué)年長沙外國語高二數(shù)學(xué)（下）3月考試卷時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合P=，，則PQ=（

）A．B．C． D．2．若向量，，，則（）A．5B．8C．10 D．123．設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則A． B． C． D．4．4名男生2名女生排成一排，要求兩名女生排在一起的排法總數(shù)為（

）A．48 B．96 C．120 D．2405．某單位開展主題為“學(xué)習(xí)強(qiáng)國，我學(xué)習(xí)我成長”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲選手答對(duì)第一道題的概率為，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對(duì)第一道題”，事件B表示“甲選手答對(duì)第二道題”，則＝（

）A． B． C． D．6．如圖，一個(gè)裝有水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，圓柱和圓錐的底面半徑均為3，圓柱的高為6，圓錐的高為3，已知液面高度為7，則瓶子中水的體積為（

）

A． B． C． D．7．年月日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)何題，并得到小于數(shù)字的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（

）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A． B． C． D．8．現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢(mèng)》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（

）A．180 B．150 C．120 D．210二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的是（

）A． B．在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限C． D．的虛部為10．已知的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則（

）A． B．只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C．各項(xiàng)系數(shù)之和為1 D．的系數(shù)為56011．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若函數(shù)在處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為．13．已知拋物線：，焦點(diǎn)為，若在拋物線上且在第一象限，，求直線的斜率為．14．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1、2、3、4外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開另一個(gè)沒有獎(jiǎng)品的箱子，并問抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇.現(xiàn)在已知甲選擇了1號(hào)箱，若用表示i號(hào)箱有獎(jiǎng)品，用表示主持人打開i號(hào)箱子，則；.四、解答題:本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知.(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和，以及數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值．17．如圖，在四棱錐中，平面平面，．(1)求證：平面；(2)若直線與底面所成的角的正切值為，求二面角的正切值．18．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.19．在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；(2)求橢圓在處的曲率；(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)集合交集定義求解.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．C【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即得.【詳解】由，，得，而，所以.故選：C3．B【詳解】∵∵∴∵，∴∴故選B點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.4．D【分析】相鄰元素運(yùn)用捆綁法解決即可.【詳解】第一步將兩名女生看作一個(gè)整體與4名男生全排列，第二步將兩名女生內(nèi)部排列，即：.故選：D.5．D【分析】利用條件概率的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.6．A【分析】根據(jù)圓柱體積和圓錐體積的計(jì)算公式，結(jié)合已知條件，求解即可.【詳解】圓柱的體積為，圓錐的體積為，設(shè)液體上方圓錐的底面圓半徑為，高為，作出圓錐的軸截面示意圖如下所示：

則，，解得；故液體上方圓錐的體積為，所以瓶子中水的體積為.故選：A.7．B【分析】計(jì)算的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，估?jì)以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為.故選：B.8．A【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．9．ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，的虛部為，D對(duì).故選：ACD.10．AD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為運(yùn)算求解，進(jìn)而判斷A；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析判斷B；令，求各項(xiàng)系數(shù)之和，進(jìn)而判斷C；對(duì)于D：結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的通項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：由題意可知：各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，故A正確；可得，對(duì)于B：因?yàn)?，則第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)為，故D正確；故選：AD.11．BCD【分析】用累加法求出、，再用裂項(xiàng)相消法可判斷A；分別令和，看有無正整數(shù)解即可判斷B；將放縮后用裂項(xiàng)相消求和即可判斷C；取即可判斷D.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時(shí)也成立；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時(shí)也成立.對(duì)于A，，利用裂項(xiàng)求和法：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，解得；令，解得；故B正確；對(duì)于C，，則，整理得，，故C正確；對(duì)于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確.故選：BCD.12．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用給定的極值點(diǎn)求出值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在處取得極值，所以實(shí)數(shù)a的值為.故答案為：13．【分析】設(shè)的斜率為，根據(jù)拋物線的定義以及弦長公式建立方程即可求解.【詳解】設(shè)則由于的斜率存在，設(shè)的斜率為．，都在軸上方，由題意知，由拋物線定義則，由弦長公式所以.故答案為：14．##【分析】分析出：若獎(jiǎng)品在3號(hào)箱里，主持人只能打開2、4號(hào)箱，可求得的值；求得，對(duì)獎(jiǎng)品所在的箱子進(jìn)行分類討論，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.【詳解】若獎(jiǎng)品在3號(hào)箱里，主持人只能打開2、4號(hào)箱，故；獎(jiǎng)品隨機(jī)等可能分配到四個(gè)箱子中，因此、、、的概率均為，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人可打開、、號(hào)箱，故，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人打開號(hào)箱的概率為，故，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人只能打開、號(hào)箱，故，獎(jiǎng)品在號(hào)箱里，主持人只能打開、號(hào)箱，故，由全概率公式可得：.故答案為：；15．(1)(2).【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可求得.（2）利用面積公式和余弦定理即可求解.【詳解】（1）由，得，在中，，在中，.（2），由余弦定理得，，，的周長為.16．(1)，，(2)-15【分析】（1）根據(jù)題意得到，根據(jù)得到通項(xiàng)公式.（2），根據(jù)通項(xiàng)的正負(fù)確定最值，計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，∴，.（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知條件及面面、線面垂直的性質(zhì)可得，，再由線面垂直的判定可證平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由線面夾角求得PB的值，由平面的法向量求得二面角的正切值.【詳解】（1）在四邊形中，，所以△，△都為等腰直角三角形，即，又平面PBC平面，平面平面所以直線平面，又平面所以，又，所以平面.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由因?yàn)橹本€與底面所成的角的正切值為，由面知：為直線與底面所成角的平面角，所以在中，，則，設(shè)平面PBC和平面PDC法向量分為易知可取因?yàn)?，所以，令，解得，若銳二面角為則，故18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件列出方程組，解出驗(yàn)證即可；（2）變形不等式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)闀r(shí)，有極大值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)有極大值，所以；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，要證，即證，即證：.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，故當(dāng)時(shí)，.19．