北京第八十五中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析

北京第八十五中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：C由，得，

設(shè)切點(diǎn)為

則，

∴切線方程為，

∵切線過點(diǎn)，

∴?ex0＝ex0(1?x0)，

解得：．

∴切線方程為，整理得：.

2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，那么A．5

B．10

C．15

D．20參考答案：A3.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)抽取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答【解答】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為P==．故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何概型，解決此類問題的關(guān)鍵是弄清幾何測度，屬于基礎(chǔ)題．4.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.P是邊長為a的正三角ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與EF所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】過F做FG∥PA，交AC于G，則∠EFG是PA與EF所成的角的平面角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出異面直線PA與EF所成的角．【解答】解：如圖，∵P是邊長為a的正三角ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中點(diǎn)，在△PEC中，PE=CE==，PC=a，∴PC的中線EF==，過F做FG∥PA，交AC于G，則∠EFG是PA與EF所成的角的平面角（或所成角的補(bǔ)角），連接EG，在△EFG中，∵FG=，EG=，EF=，∴EG2+FG2=EF2，∴EG⊥FG，EG=FG，∴∠EFG=45°，即異面直線PA與EF所成的角為45°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．6.有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則點(diǎn)一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是

（

）（A）①②

（B）①③

（C）②③

（D）①②③參考答案：C7.設(shè)P（x，y）是圓x2+（y+4）2=4上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．+2 B．﹣2 C．5 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】設(shè)M（1，1），可得所求式為P、M兩點(diǎn)間的距離．運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P得當(dāng)P在圓上且在線段CM上時(shí)，|PM|達(dá)到最小值，由此利用兩點(diǎn)的距離公式加以計(jì)算，即可得出本題答案．【解答】解：圓x2+（y+4）2=4的圓心是C（0，﹣4），半徑為r=2．設(shè)M（1，1），可得|PM|=，∵P（x，y）是圓x2+（y+4）2=4上任意一點(diǎn)，∴運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P點(diǎn)在圓C與線段CM的交點(diǎn)時(shí)，|PM|達(dá)到最小值．∵|CM|==，∴|PM|的最小值為|CM|﹣r=﹣2．故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題給出圓上一點(diǎn)與圓外一點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離的最小值．著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與動(dòng)點(diǎn)間距離最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．8.用4種不同顏色給甲、乙兩個(gè)小球隨機(jī)涂色，每個(gè)小球只涂一種顏色，則兩個(gè)小球顏色不同的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了次球，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.給定下列四個(gè)命題：①“x＝”是“sinx＝”的充分不必要條件；②若“p∨q”為真，則“p∧q”為真；

③若a<b，則am2<bm2；

④若集合A∩B＝A，則A?B.其中為真命題的是_______(填上所有正確命題的序號(hào))．A.②④B.①④

C.①②

D.①③參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況，銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況．若采用系統(tǒng)抽樣法，則抽樣間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)體分別為．參考答案：3，2【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】從92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況，用系統(tǒng)抽樣法，因?yàn)?2÷30不是整數(shù)，所以要剔除一些個(gè)體，根據(jù)92÷30=3…2，得到抽樣間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)體數(shù)分別為3和2．【解答】解：∵92÷30不是整數(shù)，∴必須先剔除部分個(gè)體數(shù)，∵92÷30=3…2，∴剔除2個(gè)，間隔為3．故答案為3，2．12.設(shè),則方程有實(shí)根的概率是__________參考答案：13.命題“,”的否定形式為

；參考答案：,

14.若，則等于

▲

.參考答案：略15.已知x＞0,由不等式……，啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論：

.參考答案：略16.已知x＞3，則函數(shù)y=+x的最小值為．參考答案：5【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】根據(jù)基本不等式即可求出最小值．【解答】解：x＞3，則函數(shù)y=+x=+x﹣3+3≥2+3=2+3=5，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)y=+x的最小值為5，故答案為：5．17.觀察以下等式：可以推測

（用含有的式子表示，其中為正整數(shù)）參考答案：。（可推測，）

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.過直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求直線AB的方程；（2）試用p表示A、B之間的距離；（3）當(dāng)p=2時(shí)，求∠AOB的余弦值．參考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的一般式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）根據(jù)所給的拋物線的方程寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又有所給的直線的傾斜角得到這條直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線的方程，整理成最簡形式．（2）要求兩點(diǎn)之間的距離，首先要把直線與拋物線方程聯(lián)立，整理出關(guān)于x的方程，根據(jù)根和系數(shù)之間的關(guān)系，和拋物線的定義，寫出結(jié)果．（3）根據(jù)所給的p的值，寫出具體的直線的方程，把直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，寫出根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用余弦定理寫出要求的角的余弦值，得到結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知焦點(diǎn)，∴過拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程是，即x﹣y﹣=0，（2）由?|AB|=xA+xB+p=4p．（3）由?x2﹣6x+1=0?xA+xB=6，xAxB=1.=．∴∠AOB的大小是與p無關(guān)的定值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，實(shí)際上這種問題在解題時(shí)考慮的解題方法類似，都需要通過方程聯(lián)立來解決問題，注意本題中拋物線還有本身的特點(diǎn)，注意使用．19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x．（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（1，0）處的切線方程；（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；（2）令f′（x）＞0得增區(qū)間，令f′（x）＜0得減區(qū)間．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x3﹣x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2﹣1，則在點(diǎn)M（1，0）處的切線斜率為3﹣1=2，故曲線y=f（x）在點(diǎn)M（1，0）處的切線方程為y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．（2）令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0，則﹣＜x＜．故f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣）和（，+∞）；減區(qū)間為（﹣，）．20.已知函數(shù)，且有．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：解：（1）由得

，

-----------3分解得．

------------------------4分（2）由（1）得．

-----------------------5分-----------6分

---------------------7分

---------------------------8分．

--------------------------------------9分由，.得，．

--------------------------------11分所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，略21.（本題滿分13分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)．求證：是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和．參考答案：（1）解得，

…………6分（2），是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

…………10分故前項(xiàng)和．

…………13分22.某公司今年年初用25萬元引進(jìn)一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬元。該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費(fèi)用的信息如下圖。（1）求；（2）引進(jìn)這種設(shè)備后，第幾