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湖南省常德市臨澧縣城關(guān)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.武漢市2016年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖,如圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(
)A.21 B.22 C.23 D.24參考答案:B由莖葉圖可得這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為4,8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,共12個(gè),其中第6個(gè)、第7個(gè)數(shù)分別為21,23,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為22。選B。
2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n∈N*),若前n項(xiàng)的和為,則項(xiàng)數(shù)為(
)A.12
B.11
C.10
D.9參考答案:C3.集合{,1},{,1,2},其中{1,2,3,4,5},則滿足條件的事件的概率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A4.下列說法正確的是(
)A.命題“若,則”的否命題是“若,則”B.命題“,”的否定是“,”C.函數(shù)的最小值為2D.若,則“”是“”的必要不充分條件參考答案:D對(duì)于選項(xiàng)A,命題“若,則”的否命題是“若,則”,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B,命題“,”的否定是“,”,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C,不能利用基本不等式求最小值,因?yàn)槿〉鹊臈l件不成立.只能這樣:設(shè)所以函數(shù)在上是增函數(shù),所以t=3時(shí)函數(shù)取最小值所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D,由得a>1或a<0,由于a>1或a<0是“”的必要不充分條件,所以“”是“”的必要不充分條件,所以選項(xiàng)D正確.故選D.
5.(理)已知點(diǎn)P1的球坐標(biāo)是P1(4,,),P2的柱坐標(biāo)是P2(2,,1),則|P1P2|=(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A略6.下列說法正確的是A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B.四邊形一定是平面圖形
C.梯形一定是平面圖形
D.共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面參考答案:C略7.設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為,則雙曲線的漸近線方程為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C8.已知
(
)A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:D9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(1,2),則直線AB的斜率為(
)A.3
B.-2
C.2
D.不存在參考答案:B10.已知F1(﹣3,0),F(xiàn)2(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|﹣|PF2|=4,則點(diǎn)P的軌跡是()A.雙曲線 B.雙曲線的一支 C.一條射線 D.不存在參考答案:B【考點(diǎn)】軌跡方程.【分析】利用已知條件,結(jié)合雙曲線定義,判斷選項(xiàng)即可.【解答】解:F1(﹣3,0),F(xiàn)2(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|﹣|PF2|=4,因?yàn)閨F1F2|=6>4,則點(diǎn)P的軌跡滿足雙曲線定義,是雙曲線的一支.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線定義的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,則的最小值為
.參考答案:2略12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,則__________.參考答案:
13.已知是拋物線上一點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是
.參考答案:14.某校老年教師90人、中年教師180人和青年教師160人,采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況,在抽取的樣本中,青年教師有32人,則該樣本的老年教師人數(shù)為.參考答案:18【考點(diǎn)】分層抽樣方法.【分析】由題意,老年和青年教師的人數(shù)比為90:160=9:16,即可得出結(jié)論.【解答】解:由題意,老年和青年教師的人數(shù)比為90:160=9:16,設(shè)老年教師為x人則,解得x=18所以老年教師有18人,故答案為:18.15.對(duì)于自然數(shù)方冪和,,,求和方法如下:,,…,將上面各式左右兩邊分別相加,就會(huì)有,解得,類比以上過程可以求得,且與n無關(guān),則A+F的值為
.參考答案:
16.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),若|AF1|=3|BF1|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為__________.參考答案:設(shè)點(diǎn)在軸的上方,,,,由,可得,易得,又點(diǎn)、在橢圓上,故,化簡(jiǎn)得,∴,故橢圓的方程為.17.若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則PF1?PF2的值是_____.參考答案:15因?yàn)闄E圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn),設(shè)在雙曲線的右支上,利用橢圓以及雙曲線的定義可得:
①②由①②得
故答案為:15.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的綜合問題.其中根據(jù)點(diǎn)為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),結(jié)合橢圓和雙曲線的第一定義求出與的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面,點(diǎn)是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求證:;參考答案:略19.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an>0,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意n∈N+,有2Sn=p(2a+an-1)(p為常數(shù)).(1)求p和a2,a3的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.參考答案:(1)令n=1得2S1=p(2a+a1-1),又a1=S1=1,得p=1;令n=2得2S2=2a+a2-1,又S2=1+a2,得2a-a2-3=0,a2=或a2=-1(舍去),∴a2=;令n=3得2S3=2a+a3-1,又S3=+a3,得2a-a3-6=0,a3=2或a3=-(舍去),∴a3=2.(2)由2Sn=2a+an-1,得2Sn-1=2a+an-1-1(n≥2),兩式相減,得2an=2(a-a)+an-an-1,即(an+an-1)(2an-2an-1-1)=0,因?yàn)閍n>0,所以2an-2an-1-1=0,即an-an-1=(n≥2),故{an}是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,得an=(n+1).20.在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與直線:相切。(1)求圓的方程;(2)若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,且,求直線的方程。參考答案:略21.已知橢圓C方程為=1(a>b>0),左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若橢圓C上的點(diǎn)到F1,F(xiàn)2的距離和等于4(Ⅰ)寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);(Ⅱ)直線l過定點(diǎn)M(0,2),且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,(i)若直線l傾斜角為,求|AB|的值.(ii)若>0,求直線l的斜率k的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.【分析】(Ⅰ)通過橢圓定義及將點(diǎn)代入橢圓C,計(jì)算即得結(jié)論;(Ⅱ)(i)通過設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程代入橢圓C的方程,利用韋達(dá)定理計(jì)算即可;(ii)通過設(shè)l:y=kx+2并代入橢圓C的方程,利用根的判別式大于0可得k2>,利用韋達(dá)定理及>0計(jì)算可得k2<4,進(jìn)而可得結(jié)論.【解答】解:(Ⅰ)由題意得:2a=4,即a=2,又點(diǎn)在橢圓C上,∴,即b2=1,∴橢圓C的方程為:,焦點(diǎn)F1(﹣,0),F(xiàn)2(,0);(Ⅱ)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的斜率為,且過點(diǎn)M(0,2),故直線l的方程為:y=x+2,代入橢圓C的方程,整理得:13x2+16x+12=0,由韋達(dá)定理可知:x1+x2=﹣,x1x2=,∴|AB|=|x1﹣x2|=2=;(ii)由題意得直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l:y=kx+2,代入橢圓C的方程,整理得:(1+4k2)x2+16kx+12=0,∵△=(16k)2﹣4?(1+4k2)?12=16(4k2﹣3)>0,∴k2>,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理可知:x1+x2=﹣,x1x2=,=x1x2+y1y2>0,又y1y2=(kx1+2)?(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)+2k(﹣)+4=>0,∴k2<4,∴<k2<4,∴直線l的斜率k的取值范圍是:(﹣2,﹣)∪(,2).22.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,b=2,求△ABC的面積S.參考答案:【考點(diǎn)】解三角形;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.【專題】解三角形.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦,整理后可求得sinC和sinA的關(guān)系式,則的值可得.(Ⅱ)先通過余弦定理可求得a和c的關(guān)系式,同時(shí)利用(Ⅰ)中的結(jié)論和正弦定理求得a和c的另一關(guān)系式,最后聯(lián)立求得a
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