四川省成都市北京師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

四川省成都市北京師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列說法正確的是(

)A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”B．命題“?x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x＜0，x2+x﹣1＜0”C．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件參考答案：C【考點(diǎn)】四種命題．【專題】綜合題；簡易邏輯．【分析】A，寫出該命題的否命題，判斷A錯(cuò)誤；B，寫出該命題的否定，判斷B錯(cuò)誤；C，由命題與它的逆否命題真假性相同，判斷出C是否正確；D，判斷充分性與必要性是否成立即可．【解答】解：對于A，命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2≠0，則x≠0”，∴A錯(cuò)誤；對于B，命題“?x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x＜0，x2+x﹣1≥0”，∴B錯(cuò)誤；對于C，命題“若x=y，則sinx=siny”是真命題，它的逆否命題也是真命題，∴C正確；對于D，x=﹣1時(shí)，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0時(shí)，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要條件，D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題通過命題真假的判斷，考查了四種命題之間的關(guān)系，也考查了充分與必要條件的判斷問題，是綜合性題目．2.雙曲線：x2﹣=1的漸近線方程和離心率分別是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)a、b、c的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可【解答】解：雙曲線：的a=1，b=2，c==∴雙曲線的漸近線方程為y=±x=±2x；離心率e==故選D【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線特征參數(shù)a、b、c的幾何意義，雙曲線幾何性質(zhì)：漸近線方程、離心率的求法，屬基礎(chǔ)題3.方程（x+y﹣1）=0所表示的曲線是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】曲線與方程．【分析】原方程等價(jià)于：，或x2+y2=4；兩組方程分別表示出圓和不在圓內(nèi)部分的直線，進(jìn)而可推斷出方程表示的曲線為圓和與圓相交且去掉圓內(nèi)的部分．【解答】解：原方程等價(jià)于：，或x2+y2=4；其中當(dāng)x+y﹣1=0需有意義，等式才成立，即x2+y2≥4，此時(shí)它表示直線x﹣y﹣1=0上不在圓x2+y2=4內(nèi)的部分，這是極易出錯(cuò)的一個(gè)環(huán)節(jié)．故選D4.給定正數(shù)p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，則一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．無實(shí)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)根C．有兩個(gè)同號相異實(shí)根 D．有兩個(gè)異號實(shí)根參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先由p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列，確定a、b、c與p、q的關(guān)系，再判斷一元二次方程bx2﹣2ax+c=0判別式△=4a2﹣4bc的符號，決定根的情況即可得答案．【解答】解：∵p，a，q是等比數(shù)列，p，b，c，q是等差數(shù)列∴a2=pq，b+c=p+q．解得b=，c=；∴△=（﹣2a）2﹣4bc=4a2﹣4bc=4pq﹣（2p+q）（p+2q）===﹣（p﹣q）2又∵p≠q，∴﹣（p﹣q）2＜0，即△＜0，原方程無實(shí)根．故選A．5.若隨機(jī)變量X的分布列如下表，且，則的值為（）X49P0.501A.－14.39 B.7 C.5.61 D.6.61參考答案：C【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)，可得，解得，又由，解得，所以方差，故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，以及數(shù)學(xué)期望與方差的應(yīng)用，其中解答中熟記分布列的性質(zhì)，合理利用期望與方差的公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.5

得到的回歸方程為，則(

)

A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：A7.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲三次，設(shè)X為正面向上的次數(shù)，則等于（

）A．

B．0.25

C．0.75

D．0.5參考答案：C略8.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式＞0的解集是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，該程序輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當(dāng)i=6時(shí)不滿足條件i≤5，輸出S的值，利用裂項(xiàng)法即可計(jì)算得解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得i=1，S=0滿足條件i≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=，i=2滿足條件i≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=+，i=3滿足條件i≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=++，i=4滿足條件i≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=+++，i=5滿足條件i≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=++++，i=6不滿足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出S的值．由于S=++++=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故選：B．10.的內(nèi)角的對邊分別為,且．則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為．參考答案：212.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的方程為，類比圓的方程，請寫出在空間直角坐標(biāo)系中以點(diǎn)為球心，半徑為r的球的方程為

．參考答案：【分析】依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中圓的方程形式即可類比出空間直角坐標(biāo)系中球的方程．【詳解】利用類比推理,得空間直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)P(-1,1,3)為球心,r為半徑的球的方程為(x+1)2+(y-1)2+(z-3)2=r2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理知識，對比方程的形式即可得到答案，屬于基礎(chǔ)題．13.給出下列命題:(1)線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的變量x或y的值.(2)線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.(3)線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行域.(4)線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.其中正確的命題的題號是_________________.參考答案：(4)14.命題“有理數(shù)，使”的否定為

。參考答案：有理數(shù)，使略15.以下三個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．②方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率③雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1有相同的焦點(diǎn)．④已知拋物線y2=2px，以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切其中真命題為（寫出所以真命題的序號）參考答案：②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，可判斷①的真假；解方程求出方程的兩根，根據(jù)橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，可判斷②的真假；根據(jù)已知中雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷③的真假；設(shè)P為AB中點(diǎn)，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，根據(jù)拋物線的定義，可知AP+BP=AM+BN，從而PQ=AB，所以以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切．【解答】解：A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=K，當(dāng)K=|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故①錯(cuò)誤；方程2x2﹣5x+2=0的兩根為和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故②正確；雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±，0），橢圓﹣y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±，0），故③正確；設(shè)AB為過拋物線焦點(diǎn)F的弦，P為AB中點(diǎn)，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，∵AP+BP=AM+BN∴PQ=AB，∴以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故④正確故正確的命題有：②③④故答案為：②③④【點(diǎn)評】本題④以拋物線為載體，考查拋物線過焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化，綜合性強(qiáng)．16.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos+1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2014=

．參考答案：1006【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】通過求cos的值得到數(shù)列{an}的項(xiàng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的每四項(xiàng)和為6，求出前2012項(xiàng)的和，減去2014得答案．【解答】解：因?yàn)閏os=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…；∴ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；∴ncos的每四項(xiàng)和為2；∴數(shù)列{an}的每四項(xiàng)和為：2+4=6．而2014÷4=503+2．∴S2014=503×6﹣2014+2=1006．故答案為：1006．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的求和，解答此題的關(guān)鍵在于對數(shù)列規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．17.已知圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑相同，若圓柱M與球O的體積相等，則它們的表面積之比______.（用數(shù)值作答）參考答案：【分析】由已知中圓柱M與球O的體積相等，可以求出圓柱的高與圓柱底面半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出圓柱和球的表面積后，即可得到S圓柱：S球的值．【詳解】∵設(shè)圓柱M的底面圓的半徑與球O的半徑均為R，M的高為h則球的表面積S球＝4πR2又∵圓柱M與球O的體積相等即解得h＝，4πR2＝2πR2+2πR?h則S圓柱＝2πR2+2πR?h=，S球，∴S圓柱：S球，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是球的體積和表面積，圓柱的體積和表面積，其中根據(jù)已知求出圓柱的高，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知復(fù)數(shù)的模為，求的最大值．

參考答案：解：，，（5分）故在以為圓心，為半徑的圓上，

表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．（7分）如圖，由平面幾何知識，易知的最大值為．（10分）

略19.（本小題滿分14分）設(shè)是把坐標(biāo)平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)沿軸方向伸長為原來5倍的伸壓變換．（1）求直線在作用下的方程；（2）求的特征值與特征向量．參考答案：（1）．設(shè)是所求曲線上的任一點(diǎn)，，所以

所以代入得，，所以所求曲線的方程為．（2）矩陣的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．當(dāng)時(shí)，由，得特征向量；當(dāng)時(shí)，由，得特征向量．略20.已知圓柱的底面半徑為4，用與圓柱底面成30°角的平面截這個(gè)圓柱得到一個(gè)橢圓，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)圓柱的直徑算出橢圓的短軸長，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函數(shù)定義可算出橢圓的長軸．由此求截面橢圓的方程，進(jìn)一步求出橢圓的離心率．【解答】解：∵圓柱的底面半徑為4，∴橢圓的短軸2b=8，得b=4，又∵橢圓所在平面與圓柱底面所成角為30°，∴cos30°=，得．以AB所在直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則橢圓方程為：．，∴．∴橢圓的離心率為：e=．【點(diǎn)評】本題以一個(gè)平面截圓柱，求載得橢圓的焦距，著重考查了平面與平面所成角的含義和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．21.設(shè)a是實(shí)數(shù)，對函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3和拋物線C：y2=4x，有如下兩個(gè)命題：p：函數(shù)f（x）的最小值小于0；q：拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離大于2．已知“?p”和“p∧q”都為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】“?p”和“p∧q”都為假命題，可得p為真命題，q為假命題，分別求出相應(yīng)a的范圍，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵?p和p∧q都是假命題，∴p為真命題，q為假命題．…∵f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3=（x﹣1）2+a2+3a﹣4，∴，所以，﹣4＜a＜1；…又∵拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=﹣1，q為假命題，∴，∴﹣2≤a≤2．…故所求a的取值范圍為[﹣2，1）．…22.（12分）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)減區(qū)間和值域；（2）設(shè),函數(shù)若對于任意，總存在,使得成立，求的取