湖南省懷化市通道侗族自治縣臨口鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省懷化市通道侗族自治縣臨口鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），則ΔABC的邊AB上的中線所在的直線方程為（

）（A）x+5y-15=0

(B)x=3

(C)x-y+1=0

(D)y-3=0參考答案：A2.已知復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)為A. B. C. D.參考答案：B試題分析：由題意可得考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算3.已知圓，設(shè)平面區(qū)域，若圓心,且圓與軸相切，則的最大值為（

）

A.5

B.29

C.37

D.49參考答案：C4.數(shù)列－1，3，－5，7，－9，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．參考答案：C首先是符號(hào)規(guī)律：，再是奇數(shù)規(guī)律：，因此，故選C．5.判斷兩個(gè)變量y與x是否相關(guān)時(shí)，選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2分別為：模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.86，模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.68，模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.88，模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.66．其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4參考答案：C【考點(diǎn)】變量間的相關(guān)關(guān)系；獨(dú)立性檢驗(yàn)．【分析】?jī)蓚€(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2，越接近于1，這個(gè)模型的擬合效果越好，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中0.98是相關(guān)指數(shù)最大的值，得到結(jié)果．【解答】解：兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2，越接近于1，這個(gè)模型的擬合效果越好，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中0.88是相關(guān)指數(shù)最大的值，∴擬合效果最好的模型是模型3．故選C．6.在△ABC中，B=60°，b2=ac，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形參考答案：D【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac，再由b2=ac，得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，得A=B=C=60°，得△ABC的形狀是等邊三角形【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，又b2=ac，∴a2+c2﹣ac=ac，∴（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，∴△ABC的形狀是等邊三角形．故選D．7.函數(shù)f（x）=ax2+2（a﹣3）x+1在區(qū)間[﹣2，+∞）上遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0） B．[﹣3，+∞） C．[﹣3，0] D．（0，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由于函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)a不確定，故要分a=0，a＞0和a＜0時(shí)，三種情況結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行分析，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣6x+1，∵﹣6＜0，故f（x）在R上單調(diào)遞減滿足在區(qū)間[﹣2，+∞）上遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)在對(duì)稱軸右側(cè)遞增，不可能在區(qū)間[﹣2，+∞）上遞減，當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)在對(duì)稱軸右側(cè)遞減，若函數(shù)f（x）=ax2+2（a﹣3）x+1在區(qū)間[﹣2，+∞）上遞減，僅須﹣≤﹣2，解得﹣3≤a＜0綜上滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣3，0]故選：C．8.圓內(nèi)接三角形角平分線延長(zhǎng)后交外接圓于，若，則（

）A.3

B.2

C.4

D.1

參考答案：A,,又，∽，得,,,從而.9.在的展開式中，含有但不含有的項(xiàng)的系數(shù)之和為

A.

B.C.

D.參考答案：C10.在等比數(shù)列中，若，，則的值為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為、，虛軸兩端點(diǎn)為、，兩焦點(diǎn)為、，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為、、、，則雙曲線的離心率e＝

▲

.參考答案：略12.已知雙曲線=1（a＞b＞0）的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c，且|FA|=c，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出雙曲線的右頂點(diǎn)A（a，0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，根據(jù)已知條件得出①及=2c②，求出a=b，即可得雙曲線的離心率．【解答】解：∵右頂點(diǎn)為A，∴A（a，0），∵F為拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，∴F（0，），∵|FA|=c，∴①拋物線的準(zhǔn)線方程為y=﹣，代入雙曲線的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴雙曲線的離心率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握?qǐng)A錐曲線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別是a和2a，棱臺(tái)的高為a，則正三棱臺(tái)的側(cè)面積為

．參考答案：a2【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】作出三棱臺(tái)的直觀圖，還原成三棱錐，利用圖中的相似及直角三角形關(guān)系求出棱臺(tái)的側(cè)棱，再求出側(cè)面梯形的高即可算出答案．【解答】解：作出三棱臺(tái)的直觀圖，還原成三棱錐如圖：取BC中點(diǎn)D，連接OD，OB，則BD==a，∠ODB=90°，∠OBD=30°．∴OB=2OD∵OD2+BD2=OB2∴OB=∵====∴SO=2SO'=，∴SB==，∴B'B=．過B'作B'E⊥BC于E，則BE=（BC﹣B'C'）=．∴B'E==a．即棱臺(tái)側(cè)面梯形的高為a．∴S側(cè)面積=（a+2a）?a?3=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14.已知，則=

．參考答案：15.若恒成立，則a的最小值是

參考答案：錯(cuò)解：不能靈活運(yùn)用平均數(shù)的關(guān)系，正解：由，即，故a的最小值是。16.圓與雙曲線的漸近線相切，則的值是

.參考答案：17.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______參考答案：【分析】先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的幾何性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其準(zhǔn)線方程，屬于簡(jiǎn)單題目.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，橢圓C0：+=1（a＞b＞0，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓C1：x2+y2=t12，b＜t1＜a．．點(diǎn)A1，A2分別為C0的左，右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)．（1）若C1經(jīng)過C0的焦點(diǎn)，且C0離心率為，求∠DOC的大??；（2）設(shè)動(dòng)圓C2：x2+y2=t22與C0相交于A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若t12+t22=a2+b2，證明：矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)∠DF1F2=θ，則DF2=2csinθ，DF1=2ccosθ，利用|DF1|+|DF2|=2a，得到2ccosθ+2csinθ=2a，然后求解∠DOC=．（2）設(shè)，矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積分別為S，S′，則代入圓的方程，求出面積的表達(dá)式，利用t12+t22=a2+b2，推出，然后推出S=S′，即可得到矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等．【解答】解：（1）設(shè)∠DF1F2=θ，則DF2=2csinθ，DF1=2ccosθ…（1分）∵|DF1|+|DF2|=2a∴2ccosθ+2csinθ=2a…（2分）即…依題意，，得∴…故∠DOC=．…（2）設(shè)，矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積分別為S，S′則，…（6分）∵，∴…（7分）又，，∴…（8分）即，∴，∵a≠b∴，即…（9分）∴…（10分）==…（11分）==0，∴S=S′，即矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，整體代入以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．19.（本小題滿分10分）已知，為虛數(shù)單位，當(dāng)為何值時(shí)，分別是（1）實(shí)數(shù)？（2）純虛數(shù)？參考答案：(1) ……3分0或3 ……5分(1) ……8分 ……10分20.在△ABC中，a=3，b=2，AB邊上的中線長(zhǎng)為2，求邊c及△ABC的面積S．參考答案：【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】在△ABC中，中線CD，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E使得CD=DE，連EA，EB，平行四邊形BCAE中，BC=3，BE=2，CE=4，△BCE中，根據(jù)余弦定理求解cos∠CBE，即可利用三角形面積公式求解△ABC的面積S．【解答】解：如圖：在△ABC中，中線CD，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E使得CD=DE，連EA，EB，平行四邊形BCAE中，BC=3，BE=2，CE=4，△BCE中，根據(jù)余弦定理cos∠CBE=cos（π﹣C）=∴∴c2=4+9﹣3=10，即又∴△ABC的面積．21.（本小題滿分13分）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線相交于坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，從點(diǎn)F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程.（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過點(diǎn)M（－2，0）和線段AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍參考答案：解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx－y=0∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為

……………2分故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為∴，∴雙曲線C的方程為

……………4分（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF2到T，使|QT|=|QF1|若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF1|

根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，所以點(diǎn)T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是

①………6分由于點(diǎn)N是線段F1T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（）則

代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為

…8分（3）由

令直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程上有兩個(gè)不等實(shí)根.因此

又AB中點(diǎn)為∴直線L的方程為

……10分令x=0，得∵

∴

∴故b的取值范圍是

…………13分略22.（本小題滿分14分）(1)若x＝1為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x＋y－3