2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點分類）三角形綜合題

三角形綜合題38．（2023?常德）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，延長DA至E，連接EB．EC．（1）求證：△BAE≌△CAE；（2）在如圖1中，若AE＝AD，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點D作DF⊥AB于F，設(shè)H是EC的中點，過點H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求證：①AF?MH＝AM?AE；②GF＝GD．【答案】（1）證明見解答過程；（2）①②證明見解答過程．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EC，利用SSS公理證明△BAE≌△CAE；（2）①連接AH，證明△AFD∽△MAH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明；②證明△AMH∽△DAC，再根據(jù)三角形中位線定理證明即可．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD是BC的垂直平分線，又∵E在AD上，∴EB＝EC，在△BAE和△CAE中，AB=ACEB=EC∴△BAE≌△CAE（SSS）；（2）①連接AH，∵A，H分別是ED和EC的中點，∴AH為△EDC的中位線，∴AH∥DC，∴∠EAH＝∠EDC＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH，∴△AFD∽△MAH，∴AFAM∴AF?MH＝AM?AD，∵AE＝AD，∴AF?MH＝AM?AE；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，∴∠AHM＝∠ACB，∴△AMH∽△DAC，∵A、H分別為ED和EC中點，∴AH為△EDC的中位線，∴AMAD∴AM=12AD，即M為∵AF∥GH，∴G為FD中點，∴GF＝GD．【點評】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．三角形綜合題33．（2023?廣西）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運動，滿足AD＝BE＝CF．（1）求證：△ADF≌△BED；（2）設(shè)AD的長為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．【答案】（1）見詳解（2）y=334x2?33x+43（3）當(dāng)2＜x＜4時，△DEF【分析】（1）由題意易得AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，然后根據(jù)SAS可進(jìn)行求證；（2）分別過點C，F(xiàn)作CH⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，垂足分別為點H、G，根據(jù)題意可得S△ABC＝43，AF＝4﹣x，然后可得FG=32（4﹣x），由（1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，則有S△ADF＝S△BED＝S△CFE=34（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，AD=BE∠A=∠B∴△ADF≌△BED（SAS）；（2）解：分別過點C、F作CH⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，垂足分別為點H、G，在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴CH＝AC?sin60°＝23，S△ABC=12AB?CH＝4∵AD的長為x，則AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，∴FG＝AF?sin60°=32（4﹣∴S△ADF=12AD?FG=34由（1）可知△ADF≌△△BED，同理可證，△BED≌△CFE，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE=34x（4﹣∵△DEF的面積為y，∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝43?334x（4﹣x）=334x（3）由（2）可知：y=334x2﹣33x∵a=334＞∴當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小，即當(dāng)2＜x＜4時，△DEF的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)0＜x＜2時，△DEF的面積隨AD的增大而減?。军c評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求三角形面積，學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．三角形綜合題27．（2023?成都）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，且ADBD=1n（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動點，過點D作DE的垂線交直線【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)n＝1時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=22【深入探究】（2）①如圖2，當(dāng)n＝2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【拓展運用】（3）如圖3，連接EF，設(shè)EF的中點為M，若AB＝22，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）由“ASA”可證△CDE≌△BDF，可得CE＝BF，即可求解；（2）①先證△ADN和△BDH是等腰直角三角形，可得AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，可求AD=2x，BD＝22x，通過證明△EDN∽△FDH，可求FH②分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）由題意可得點M在線段CD的垂直平分線上運動，由相似三角形的性質(zhì)可求M'R＝1，由勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求RM″＝n，由勾股定理可求解．【解答】（1）證明：連接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB=2AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC=22（2）①AE+12BF=過點D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠∴△ADN∽△BDH，∴ADDB設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，∴AD=2x，BD＝22x∴AB＝32x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ENFH∴FH＝2NE，∴AE+12BF＝x+NE+12（2x﹣FH）＝2②如圖4，當(dāng)點F在射線BC上時，過點D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠∴△ADN∽△BDH，∴ADDB設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD=2x，BD=2∴AB=2（n+1）x∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ENFH∴FH＝nNE，∴AE+1nBF＝x+NE+1n（nx﹣FH）＝2當(dāng)點F在CB的延長線上時，如圖5，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠∴△ADN∽△BDH，∴ADDB設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD=2x，BD=2∴AB=2（n+1）x∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴ENFH∴FH＝nNE，∴AE?1nBF＝x+NE?1n（FH﹣nx）＝2綜上所述：當(dāng)點F在射線BC上時，AE+1nBF=2n+1AB，當(dāng)點（3）如圖，連接CD，CM，DM，∵EF的中點為M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM=12∴點M在線段CD的垂直平分線上運動，如圖，當(dāng)點E'與點A重合時，點F'在BC的延長線上，當(dāng)點E'與點C重合時，點F″在CB的延長線上，過點M'作M'H⊥F'C于R，∴M'R∥AC，∴M'RAC∴M'R＝1，F(xiàn)'R＝CR，設(shè)AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD=2x，BD=2∴AB=2（n+1）x＝22∴x=2∵F'D＝BD=2nx∴F'B＝2nx，∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1=2n1+n?由（2）可得：CD=DN2+NE2=x?1+n2，DF″＝∴CF″＝（1+n2）x，∴CM″=(1+n∴RM″＝n，∴M″M'=1+n∴點M運動的路徑長為1+n2【點評】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．28．（2023?重慶）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動點E，F(xiàn)均以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，E沿折線A→B→C方向運動，F(xiàn)沿折線A→C→B方向運動，當(dāng)兩點相遇時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒，點E，F(xiàn)的距離為y．（1）請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）根據(jù)動點E、F運動的路線和速度分段進(jìn)行分析，寫出不同時間的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍即可；（2）根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法分別畫出兩段函數(shù)圖象，然后寫出這個函數(shù)的其中一條性質(zhì)即可；（3）根據(jù)兩個函數(shù)關(guān)系式分別求出當(dāng)y＝3時的t值即可解決問題．【解答】解：（1）當(dāng)點E、F分別在AB、AC上運動時，△AEF為邊長等于t的等邊三角形，∴點E，F(xiàn)的距離等于AE、AF的長，∴當(dāng)0＜t≤4時，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝t，當(dāng)點E、F都在BC上運動時，點E，F(xiàn)的距離等于4﹣2（t﹣4），∴當(dāng)4＜t≤6時，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y=t(0＜t≤4)y=?2t+12(4＜t≤6)（2）由（1）中得到的函數(shù)表達(dá)式可知：當(dāng)t＝0時，y＝0；當(dāng)t＝4時，y＝4；當(dāng)t＝6時，y＝0，分別描出三個點（0，0），（4，4）（6，0），然后順次連線，如圖：根據(jù)函數(shù)圖象可知這個函數(shù)的其中一條性質(zhì)：當(dāng)0＜t≤4時，y隨t的增大而增大．（答案不唯一，正確即可）（3）把y＝3分別代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值為3或4.5．【點評】本題是一道三角形綜合題，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．29．（2023?重慶）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動點E，F(xiàn)分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點E沿折線A→B→C方向運動，點F沿折線A→C→B方向運動，當(dāng)兩者相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，點E，F(xiàn)的距離為y．（1）請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）根據(jù)動點E、F運動的路線和速度分段進(jìn)行分析，寫出不同時間的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍即可；（2）根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法分別畫出兩段函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象寫出函數(shù)的一個性質(zhì)即可；（3）根據(jù)兩個函數(shù)關(guān)系式分別求出當(dāng)y＝3時的t值即可解決問題．【解答】解：（1）當(dāng)點E、F分別在AB、AC上運動時，△AEF為邊長等于t的等邊三角形，∴點E，F(xiàn)的距離等于AE、AF的長，∴當(dāng)0≤t≤4時，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝t，當(dāng)點E、F都在BC上運動時，點E，F(xiàn)的距離等于4﹣2（t﹣4），∴當(dāng)4＜t≤6時，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y=t(0≤t≤4)y=?2t+12(4＜