2022年高考物理一輪復習夯實核心素養(yǎng)-萬有引力與宇宙航行（解析版）

4.4萬有引力與宇宙航行

必備知識清單

一、開普勒三定律

定律內(nèi)容圖示或公式

所有行星繞太陽運動的軌道

開普勒第一定律(軌道定律)都是橢圓,太陽處在橢圓的

\太陽衿-af

一個隹占上

對任意一個行星來說，它與O

開普勒第二定律(面積定律)太陽的連線在相等的時間內(nèi)

掃過的面積相等

所有行星的軌道的半長軸的a3

=k,左是一個與行

開普勒第三定律(周期定律)三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二72

次方的比值都相等星無關(guān)的常量

二、萬有引力定律

1.內(nèi)容

自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)

量如和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.

2.表達式

m\m2

F=G--G為引力常量,G=6.67X10-HNm2/kg2.

r2t

3.適用條件

(1)公式適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可

視為質(zhì)點.

(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，/?是兩球心間的距離.

4.天體運動問題分析

(1)將天體或衛(wèi)星的運動看成勻速圓囿運動，其所需向心力由互皿2提供.

(2)基本公式:

Mtn

G-----=ma=Error!

r2

三、宇宙速度

1.第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫互繞速度，其數(shù)值為Z￡km/s.

(2)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度.

(3)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度.

(4)第一宇宙速度的計算方法.

Mmv2'GM

由G~——m一得V—/

R2Rq

v2,—

由mg=m7■得v—y/gR.

2.第二宇宙速度

使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為ILZkm/s.

3.第三宇宙速度

使物體掙脫木陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為&km/s.

命題點精析(一)開普勒行星運動規(guī)律的理解及應用

典型例題

【例1】天文學家哈雷曾經(jīng)在1682年跟蹤過一顆彗星，他根據(jù)牛頓及開普勒等

人研究成果的啟發(fā)算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉(zhuǎn)半徑的18倍，并

預言這顆彗星將每隔一定時間就會出現(xiàn)，過了這一定的時間果真哈雷的預言得

到證實。由此人們更加深信牛頓及開普勒等人的科學成果是以嚴格的數(shù)學方法

和邏輯體系把宇宙間的運動統(tǒng)一起來的，這對人類解釋與預見物理現(xiàn)象具有決

定意義，為工業(yè)革命開創(chuàng)了道路，是人類認識自然歷史的第一次理論大綜合。

已知哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，請你根據(jù)牛頓及開普勒等人的科學成

果估算，它下次飛近地球大約將在(隹取1414)()

A.2030年B.2052年

C.2062年D.2080年

【答案】C

R3

【解析】設彗星的周期為A，地球的公轉(zhuǎn)周期為石，由開普勒第三定律一=C，

72

TR,—

則有—=—,解得八=72—=弋誣年-76年，所以有1986+76=2062年，故C

TRJ/?'

正確，A、B、D錯誤。

【練1】2019年10月28日發(fā)生了天王星沖日現(xiàn)象，即太陽、地球、天王星處于同一直線，

此時是觀察天王星的最佳時間.已知日地距離為扁，天王星和地球的公轉(zhuǎn)周期分別為7和

To,則天王星與太陽的距離為（）

【答案】A

R3火03[n

l

【解析】由開普勒第三定律可知：—,所以R=-/?0.

[L/uzt/UN

【練2】火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據(jù)開普勒行星運動定律可知（）

A.太陽位于木星運行軌道的中心

B.火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等

C.火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方

D.相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積

【答案】C

【解析】

由開普勒第一定律（軌道定律）可知，太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，故A錯

誤.火星和木星繞太陽運行的軌道不同，運行速度的大小不可能始終相等，故B錯誤.根

據(jù)開普勒第三定律（周期定律）知太陽系中所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期

的平方的比值是一個常數(shù)，故C正確.對于太陽系某一個行星來說，其與太陽連線在相同

的時間內(nèi)掃過的面積相等，不同行星在相同時間內(nèi)掃過的面積不相等，故D錯誤.

命題點精析（二）萬有引力定律的理解及應用

【例2】2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸。在探測器

“奔向”月球的過程中，用力表示探測器與地球表面的距離，尸表示它所受的

地球引力，能夠描述尸隨〃變化關(guān)系的圖像是（）

【答案】D

【解析】

在嫦娥四號探測器“奔向”月球的過程中，根據(jù)萬有引力定律，可知隨著

〃的增大，探測器所受的地球引力逐漸減小但并不是均勻減小的，故能夠描述

F隨變化關(guān)系的圖像是D。

【練3】假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體.已知地球表面重力加速度在兩極的大小為go,

在赤道的大小為g,地球自轉(zhuǎn)的周期為7,引力常量為G.地球的密度為（）

3￡(g0-g)3兀gO

A，GT2goB.

G72(g0-g)

3n3兀gO

c?赤D，GT2g

【答案】B

【解析】

Mm2nMm4

物體在地球的兩極時，ingo=G——,物體在赤道上時，/Hg+/w（l）2R=G——,又

R2TR23

3;cgO

nR3p,聯(lián)立以上三式解得地球的密度〃=---------,故選項B正確，A、C、D錯誤.

G72（g0-g）

【練4】“北斗”衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）、中軌道衛(wèi)星和傾斜同步

衛(wèi)星組成.地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上運行，它們距地面的高度分別約

為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說法中正確的是（）

A.靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的2倍

B.靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的2倍

c.靜止軌道衛(wèi)星的角速度大小約為中軌道衛(wèi)星的;

1

D.靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小約為中軌道衛(wèi)星的,

【答案】A

Mmv2

【解析】由萬有引力提供向心力可知G---=m一=nirco2=mi]—y=ma,整理可得周期T

丫2r\T）

；47i2r3IGMIGMGM

=——,線速度。=---,角速度/=,向心加速度〃=---,設地球的半徑為

?GMr1r3r2

R,由題意知靜止軌道衛(wèi)星的運行半徑是門=7凡中軌道衛(wèi)星的運行半徑是r2=4.4/?,由比

I73

例關(guān)系可得靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的----2倍，故A正確；同理可判斷

4.43

出選項B、C、D均錯誤.

命題點精析（三）天體質(zhì)量和密度的估算

求天體質(zhì)量和密度常用的估算方法

使用方法已知量利用公式表達式備注

、Mm4兀24兀2r3

rTG---=mr---1V1

r272G12

Mmv2w2

質(zhì)八VG...-m—M=--

尸2rG

里利用運行天體只能得到

Mmv2

的G----m——中心天體

r2rv3T

0、TM=---

計271r2兀6的質(zhì)量

T=—

算V

利用天體表面重力GMm“gR2

g、R〃'gR2M=---

加速度G

3兀r3

Mm4兀2利用近地

G---=mr---〃G72必

八T、r272衛(wèi)星只需

密利用運行天體當r=R時

R4測出其運

度M=-pnR33兀

p=---

的〃GT2.行周期

計GMm

利用天體表面重力mgR2

算-3g

g、RP

44RGR

加速度M=鏟兀7?3

【例3】半徑為R的某均勻球形天體上，兩“極點”處的重力加速度大小為g,“赤道”處的

1

重力加速度大小為“極點”處的已知引力常量為G,則下列說法正確的是()

k

gR2

A.該天體的質(zhì)量為會

kG

B.該天體的平均密度為

C.該天體的第一宇宙速度為產(chǎn)

ikR

D.該天體的自轉(zhuǎn)周期為2?！?/p>

4(Ll)g

【答案】D

MmMmg4n2

【解析】在兩"極點"處：G~—=/wg:在赤道處：G~—■—解得天體的質(zhì)量

R2R2k72

gR2IkRMgR2

為M=y,T=2n口_]尼,選項A錯誤，D正確；該天體的平均密度為"=7=1—

DgivirriUJ/-------

=4GR，選項B錯誤：由G元-=m"第=m8可知該天體的第一宇宙速度為。=、/之穴，選項

C錯誤.

【練5】深空是在地球大氣極限以外很遠的空間。若深空中有一行星X,其自

轉(zhuǎn)周期為3h,同步衛(wèi)星的軌道半徑是其半徑的3.5倍，已知地球同步衛(wèi)星的軌

道半徑約為地球半徑的7倍，則行星X與地球的平均密度之比約為（行星X與地

球均視為球體）（）

A.2B.4

C.8D.16

【答案】C

4

【解析】設中心天體的平均密度為P，半徑為R,則中心天體的質(zhì)量

設同步衛(wèi)星的軌道半徑為八周期為T,由萬有引力定律提供向心力有：G—

r2

2兀123jir3p13.53

=/n—r,解得：p=-----,可得行星X與她球的平均密度之比：—=——X

IT]GTLRip273

242

——=8。

32

【練6】（多選）衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動的速率的平方（射）與衛(wèi)星的軌道半

徑的倒數(shù)小的關(guān)系如圖所示，圖中b為圖線縱坐標的最大值，圖線的斜率為

k,引力常量為G,則下列說法正確的是（）

0

A.行星的半徑為她

B.行星的質(zhì)量為g

G

363

C.行星的密度為丁一

D.行星的第一宇宙速度為亞

【答案】BCD

Mm

【解析】衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則有：G一

r2

v21

=m—,得：v2=GM—,GM=k,設行星的半徑為A,由題圖知，當八=7?時，

k

衛(wèi)星貼近行星表面，此時線速度最大，即。2=b,解得：R=—,故A錯誤；由

b

k4..M

GA/=A得行星的質(zhì)量為：Af=—,故B正確：行星的體積〃=不火3,密度0=7

3b3

故C正確；衛(wèi)星在行星表面做勻速圓周運動時，運行速度為第一宇

4兀G〃2'

,.Mmv2\GM「

宙速度由G~~—-m—解得第'一宇宙速度v=?---=\仍，故D正確°

R2R《A

命題點精析（四）衛(wèi)星運行參數(shù)的分析

Mm

1.線速度：d^^二m

Mm

2.角速度：G—^~=ma)2r=^M—

MmI2n\

3.周期：2r=r=2兀

MmGM

4.向心加速度：G--^-=n/ia=>a=—^-

結(jié)論：，,越大，。、口、Q越小，T越大.

【例4】1970年成功發(fā)射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢

圓軌道繞地球運動.如圖所示，設衛(wèi)星在近地點、遠地點的速度分別為白、內(nèi)，近地點到

地心的距離為尸，地球質(zhì)量為"，引力常量為G則

【答案】B

【解析】

“東方紅一號”環(huán)繞地球在橢圓軌道上運動的過程中，只有萬有引力做功，因而機械能守

恒，其由近地點向遠地點運動時，萬有引力做負功，衛(wèi)星的勢能增加，動能減小，因此必

Mm

>。2；“東方紅一號”離開近地點開始做離心運動，則由離心運動的條件可知G—<m

ri

。121GM

---,解得。i>?-----,B正確，A、C、D錯誤.

r?，

【練7】已知地球質(zhì)量為木星質(zhì)量的p倍，地球半徑為木星半徑的《倍，下列說法正確的是

()

p

A.地球表面的重力加速度為木星表面的重力加速度的三倍

q2

地球的第一宇宙速度是木星“第一宇宙速度”的‘倍

B.

q

C.地球近地圓軌道衛(wèi)星的角速度為木星“近木”圓軌道衛(wèi)星角速度的

夕3

D.地球近地圓軌道衛(wèi)星運行的周期為木星“近木”圓軌道衛(wèi)星運行的周期的工倍

P

【答案】A

Mmv24兀2

【解析】萬有引力提供向心力，則有：G-m—=m(D2r=tn——r=ma

r2rT2

(GMfrTGMGM

解得：k1獲，3=J[三，片方

GMGM

星球表面重力加速度為：g=；由g=可知地球表面的重力加速度為木星表面的重力

&R2&R2

p[GM\GM

加速度的工，故A正確；由0=，可知第一宇宙速度為：v=則地球的第一宇宙

E\GM

速度是木星的“第一宇宙速度”的故B錯誤；由/=—可知近地衛(wèi)星的角速度①

[GM（7

=,地球近地衛(wèi)星的角速度為木星“近木”衛(wèi)星角速度的1三，故C錯誤；由7=2兀

7H3

/7TFR3

——可知近地衛(wèi)星的周期7=2兀一,所以地球近地衛(wèi)星的周期為木星的“近木”衛(wèi)星

7GMqGM

周期的,故D錯誤.

7p

【練8】近地衛(wèi)星繞地球的運動可視為勻速圓周運動，若其軌道半徑近似等于

地球半徑火，運行周期為T,地球質(zhì)量為引力常量為G,則（）

2兀27?

A.近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大小近似為——

72

R

B.近地衛(wèi)星繞地球運動的線速度大小近似為

GM

_M

C.地球表面的重力加速度大小近似為—

GR2

3兀

D.地球的平均密度近似為—

672

【答案】D

【解析】

2

由向心加速度公式可知，近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大小an=a>R

24兀27?

故A錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供,

Mmmv2'GM

由向心力公式得6——=----,解得近地衛(wèi)星繞地球運動的線速度大小v=

R2RR

Mm

,故B錯誤；物體在地球表面的重力等于萬有引力，所以有地球

GM

表面的重力加速度大小為g=——，故C錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由

R2

Mm2兀

萬有引力提供，由向心力公式得G=mRco2=mRI2,解得地球的質(zhì)量為加

R2

4兀2A3

4兀2/i3,..MG7237r

------,地球的平均密度近似為〃=—=------=——，故D正確。

G72V4兀ZBGTZ

3

核心素養(yǎng)大提升

衛(wèi)星的發(fā)射與變軌

1.第一宇宙速度的推導

Mm小

方法二：由〃陪=加々■得

R

vI—y[gR—>/9.8X6.4X106rn/sF.9X103m/s.

第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的

一“R

運行周期最短，％加=2兀!-=5075sg85min.

2.宇宙速度與運動軌跡的關(guān)系

三個宇宙速度

(1)。發(fā)=7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動.

(2)7.9km/s<w發(fā)<11.2km/s,衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓.

(3)11.2km/s^v發(fā)<16.7km/s,衛(wèi)星繞太陽做橢圓運動.

(4)0發(fā)216.7km/s,衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間.

3.衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述

人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示.

(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上.

(2)在4點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運動進

入橢圓軌道II.

(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道HI.

4.三個運行物理量的大小比較

(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道I和川上運行時的速率分別為。卜外，在軌道II上過/點和

8點速率分別為孫、如.在N點加速，則孫＞小，在8點加速，則。3＞內(nèi)，又因為。1＞內(nèi)，故

(2)加速度：因為在4點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道II上經(jīng)

過Z點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過8點加速度也相同.

(3)周期：設衛(wèi)星在I、H、III軌道上運行周期分別為7卜T2,T3,軌道半徑分別為

ri、廠2(半長軸)、3由開普勒第三定律卷=%可知7I＜72＜73.

【例5】(多選)如圖所示，地球衛(wèi)星“、b分別在橢圓軌道、圓形軌道上運行，橢圓軌道在

遠地點N處與圓形軌道相切，貝女)

A.衛(wèi)星a的運行周期比衛(wèi)星b的運行周期短

B.兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過/點處時，。的速度大于b的速度

C.兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過4點處時，a的加速度小于b的加速度

D.衛(wèi)星。在月點處通過加速可以到圓軌道上運行

【答案】AD

【解析】由于衛(wèi)星。的運行軌道的半長軸比衛(wèi)星6的運行軌道半長軸短，根據(jù)開普勒定

律，衛(wèi)星a的運行周期比衛(wèi)星6的運行周期短，選項A正確；兩顆衛(wèi)星分別經(jīng)過/點處

時，衛(wèi)星a通過加速可以到